2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=z1z2，其中z−A.2 B.2 C.1 D.2.设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，则a在A.−56b B.56b 3.已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为4π，则圆锥的高为(

)A.1 B.2 C.3 4.如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是(

)A.42π3

B.4m

C.5.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC等于(

)A.33 B.2393 6.一个体积为43π的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为A.543 B.54 C.27二、多选题：本题共6小题，共36分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。7.已知圆锥的顶点为S，AB为底面直径，△SAB是面积为1的直角三角形，则(

)A.该圆锥的母线长为2 B.该圆锥的体积为13π

C.该圆锥的侧面积为π 8.2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.如图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AH=2HB，AG=2GDA.AC=ABB.AB+BC=ADD.EF9.在△ABC中，若cosA=45，cosC=1213，a=1A.sinA=−35 B.sinB=5665 C.10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3，a=3A.若b=2，则△ABC有一解

B.若b=2，则△ABC有两解

C.△ABC面积的最大值为334

D.若11.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，则(

)A.BC=27

B.当AD为角A的角平分线时，AD=1235

C.当点D为边BC上点，BD=2DC时，AD=412.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是(

)A.|AD|≤10

B.AB⋅AD的最大值是78

C.当AB⋅CD=0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与−3a+2b14.已知a，b∈R，复数z1=a+i，z2=−b−i，且z1+z15.“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为60°、45°、30°，且AB=BC=106米，则雕像高为______米16.在△ABC中，E为AC上一点，且AC=4AE，P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则1四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，3bsinA=a(2+cosB)．

(1)求B；

(2)若a=3c，点D是AC的中点，且BD=718.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosA．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积是334,a=2，求△ABC的周长；

(3)若△ABC为锐角三角形，求19.(本小题12分)

如图，在高为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，D是棱AB的中点．

(1)求三棱锥D−A1B1C1的体积；

(2)设

答案解析1.【答案】B

【解析】解：复数z=z1z2，其中z−1=1−3i,z2=2−i，则z1=1+3i，

所以z=z1z2.【答案】C

【解析】解：设|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120°，

则a在b上的投影向量为a⋅b|b3.【答案】C

【解析】解：设球的半径为r，则圆锥的底面半径为r，设圆锥的高为ℎ，

则球的表面积为4πr2=4π，∴r=1，

∴圆锥的母线l=r2+ℎ2=1+ℎ24.【答案】C

【解析】解：因为半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，

且这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，

所以大圆直径2R=22，所以R=2，

所以这个半球的表面积是2πR2+πR2=3π×2=6π．5.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为3，

则12bcsinA=3，

即c=4，

由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA可得：a2=13，

即a=6.【答案】A

【解析】解：设球的半径为R，因为43πR3=43π，

所以R=3，

因为球面与该正三棱柱的所有面都相切，

所以正三棱柱的高为23，

设正三棱柱底面边长为a，

因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径，

所以3=13×7.【答案】ABD

【解析】解：设该圆锥的母线长为l，因为轴截面SAB是面积为1的直角三角形，所以12l2=1，解得l=2，A正确；

设该圆锥的底面圆心为O，在△SAB中，SA=SB=2，所以AB=2，则圆锥的高SO=1，

所以该圆锥的体积V=13π×12×1=13π，

侧面积为πrl=π×1×2=2π，B正确、C错误；

设该圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则8.【答案】BCD

【解析】解：对于A，由题图可知在四边形ABCD中，AC=AB+AD不一定成立，故A错误；

对于B，AB+BC=AC，AD+DC=AC，所以AB+BC=AD+DC，故B正确；

对于C，HG+GD=HD，AD−AH=HD，所以HG+GD=AD−AH，故C正确；

对于D，连接BD，如下图所示，因为E，F分别是9.【答案】BD

【解析】解：根据A、C是三角形内角，可得sinA=1−cos2A=45，sinC=1−cos2C=513．

所以sinB=sin(π−B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×1213+45×513=5665，10.【答案】ACD

【解析】解：A选项，根据正弦定理，asinA=bsinB，即332=2sinB，得sinB=22，

且b<a，则B=π4，则△ABC有一解，故A选项正确；

B选项，若b=2，则332=2sinB，可得sinB=1，得B=π2，则△ABC有一解，故B选项错误；

C选项，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，3=b2+c2−bc≥bc，当b=c时等号成立，

所以S△ABC=12bcsinA=34bc≤3311.【答案】ABC

【解析】解：在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，点D为边BC上一动点，

对于A选项：根据余弦定理可得BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=16+36−24=27，故A选项正确；

对于B选项：当AD为角A的角平分线时，

根据三角形的面积公式可得12×6×AD×sinπ6+12×4×AD×sinπ6=12×6×4×sinπ3，

所以52AD=63，可得AD=1235，故B选项正确；

对于C选项：当点D为边BC上点，由BD=2DC，

根据向量的加法和减法法则可得AD=AC+CD=AC+13CB=AC+13(AB−AC)=12.【答案】AD

【解析】解：对于A，点D为⊙C上一动点，

可知当点A，C，D三点共线时，

|AD|的值最大，为2AC=10，故A正确；

对于B，如图1所示，建立平面直角坐标系，

则A(−4,−3)，B(4,−3)，设点D(5cosθ,5sinθ)，

则AB=(8,0)，AD=(5cosθ+4,5sinθ+3)，AB⋅AD=40cosθ+32，

所以当cosθ=1，即θ=0时，AB⋅AD取得最大值72，故B错误；

对于C，当AB⋅CD=0时，有AB⊥CD，

此时，点D在⊙C上有两个位置，如图所示，

故sin∠DAB有两个值，故C错误；

对于D，由AB=8，AC=5及垂径定理可得：

AC⋅AB=|AC|⋅|AB|cos13.【答案】14【解析】解：因为a，b是夹角为60°的两个单位向量，

所以|a|=|b|=1，a⋅b=|a||b|cos60°=12，

因为λa+b与−3a+2b垂直，

所以(λ14.【答案】6【解析】解：由z1+z2=0，复数z1=a+i，z2=−b−i，

可得a+i+(−b)−i=0，即可得a=b；

因此|z−3i|=|a+bi−3i|=a2+(b−15.【答案】30

【解析】解：设雕像高为ℎ，设雕像底部为点O，

因为点A、B、C处雕像顶的仰角为60°、45°、30°，

所以根据直角三角形正切函数可得：OA=ℎtan30°=33ℎ,OB=ℎtan45°=ℎ,OC=ℎtan60°=3ℎ，

因为AB=BC=106，所以由余弦定理得：

cos∠ABO=AB2+OB2−OA22AB⋅OB,cos∠CBO=CB16.【答案】9

【解析】【分析】本题考查了平面向量共线定理、利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．

由AC=4AE，且满足AP=mAB+n【解答】解：∵AC=4AE，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，

∴AP=mAB+4nAE，

∵P为BE上一点，

由向量共线定理可得：m+4n=1，又m>0，n>0，

∴117.【答案】B=2π3；

3【解析】(1)因为3bsinA=a(2+cosB)，

所以3sinAsinB=sinA(2+cosB)，

由于A∈(0,π)，可得sinA>0，

所以3sinB=2+cosB，

可得32sinB−12cosB=1，可得sin(B−π6)=1，

由于B∈(0,π)，可得−π6<B−π6<5π6，

所以B−π6=π2，即B=2π3；

(2)因为点D是AC的中点，

所以BD=12(BA+BC)，即2BD=BA+BC，

故4BD18.【答案】π3；

2+13；

【解析】解：(1)根据余弦定理，可得bcosC+ccosB=b⋅a2+b2−c22ab+c⋅a2+c2−b22ac=a，

结合bcosC+ccosB=2acosA，可得a=2acosA，

所以cosA=12，结合A为三角形的内角，可知A=π3．

(2)由△ABC的面积S=33