2025-2026学年湖南省武冈市高三年级上学期开学数学基础检测试卷（含解析）

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页2025-2026学年湖南省武冈市高三年级上学期开学数学基础检测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．[5分]设集合，则（

）A． B．C． D．2．[5分]若复数满足，则z的虚部为（

）A．1 B．-1 C．i D．-i3．[5分]双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．[5分]已知，且，则（

）A． B． C． D．5．[5分]已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（

）A． B． C． D．6．[5分]设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．7．[5分]已知是离散型随机变量，，则（

）A． B． C． D．8．[5分]在四棱锥中，，且，则（

）A．不存在平行四边形截面 B．存在唯一的平行四边形截面C．存在两个平行四边形截面 D．存在无穷多个平行四边形截面二、多选题（本大题共3小题，共15分）9．[5分]在的展开式中（

）A．所有奇数项的二项式系数的和为128B．二项式系数最大的项为第5项C．有理项共有两项D．所有项的系数的和为10．[5分]下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．11．[5分]如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（

）A．环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B．环比涨跌幅的平均数为C．环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D．同比涨跌幅的75百分位数为三、填空题（本大题共3小题，共15分）12．[5分]13．[5分]过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为.14．[5分]在等差数列中，若，则．四、解答题（本大题共5小题，共80分）15．[14分]已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.16．[15分]已知．（1）求的值；（2）求．17．[16分]高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入（单位：百万元）与该产品的收益（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为．x568912y16202528（1）求的值；（2）若将图表中的点去掉，判断样本相关系数是否改变，并说明你的理由．参考数据：样本相关系数18．[15分]在四棱锥中，底面是菱形，，，．

（1）若分别是的中点，证明：平面；（2）若，证明：平面平面．19．[20分]已知函数．（1）若函数在处的切线经过，求的值；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若满足，证明：．

参考答案【知识点】并集及其运算1．【答案】A【详解】.则，从而.故选A【知识点】复数的定义及分类、复数的除法运算2．【答案】A【详解】由题意可得，则的虚部为.故选A.【知识点】双曲线的离心率、渐近线3．【答案】B【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以渐近线为，且，所以，所以双曲线的离心率为.故选B.【知识点】商数关系、诱导公式五、六4．【答案】A【详解】因为，且，所以，所以，又因为.故选A.【知识点】球的切接问题、球的表面积5．【答案】B【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；由题可知：，，解得；设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：

若要满足题意，则，也即，，解得，故，则该圆台外接球表面积.故选B.【知识点】对数函数的单调性、指数函数的单调性6．【答案】D【详解】，，，，，，.故选D.【知识点】离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的数学期望及其性质、离散型随机变量的方差7．【答案】B【详解】根据题意，，则则只有两个变量，则，得，即，则，则.故选B【知识点】截面问题8．【答案】D【详解】如图，过的截面交平面于，则因为，平面，平面，所以平面，因为，且，则存在，所以为平行四边形，同时在四棱锥中，作底面的平行平面截四棱锥截面都是平行四边形，所以存在存在无穷多个平行四边形截面，即四棱锥中存在无穷多个平行四边形截面；故选D.【知识点】二项展开式中各项的系数和、各二项式系数的和、增减性与最大值、赋值法在二项式定理中的应用9．【答案】AB【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；对于B,二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.故选AB.【知识点】余弦函数的单调性、余弦函数的周期性、正切函数的单调性、正切函数的周期性、正弦函数的单调性、正弦函数的周期性10．【答案】AC【详解】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求;对于B，的周期为，不符合要求;对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求;对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求.故选AC.【知识点】平均数、折线图、百分位数11．【答案】AC【详解】A选项，环比涨跌幅的极差为，同比涨跌幅的极差为，环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，A正确；B选项，，，故环比涨跌幅的平均数为，B错误；C选项，根据统计图可以看出，环比涨跌幅的波动情况小于同比涨跌幅的波动情况，且从A可知环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差，故环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差，C正确；D选项，同比涨跌幅从小到大排序为，，故从小到大，选取第9个和第10个的平均数作为75百分位数，即，D错误.故选AC【知识点】对数运算、化简与求值、有理数指数幂的运算12．【答案】0【详解】.【知识点】直线与圆相交13．【答案】【详解】圆的半径为，圆心为，则，所以，此时圆心到直线的距离为，若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，故直线的方程为.【知识点】两角和与差的正弦公式、积化和差公式、等差数列的性质14．【答案】【详解】因为，，所以.【知识点】三角函数的叠加及其应用（辅助角公式）、二倍角的余弦、二倍角的正弦、函数y=Asin（ωx＋φ）的图象和性质15．【答案】（1）（2）最小值为，最大值为【详解】（1）..（2）∵，.则当时，即时，取得最小值；当时，即时，取得最大值.【知识点】二项展开式中各项的系数、赋值法在二项式定理中的应用16．【答案】（1）（2）【详解】（1）令，则.（2）令得：；令得：；两式作差得：，.【知识点】相关系数r、线性回归分析17．【答案】（1）；（2）不变，理由见详解.【详解】（1）由题设，，所以，可得；（2）由（1）知，，故去掉点后样本中心仍然是，去掉点前，去掉点后，显然前后数值没有改变，同理，的值都没有变化，所以相关系数不变.【知识点】平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定18．【答案】（1）见详解（2）见详解【详解】（1）如图，取的中点，连接，∵是的中点，是的中点，∴，且，∵底面是菱形，且为的中点，∴，，则得，故四边形为平行四边形，∥，又∵平面，平面，∴平面.

（2）取的中点，连接，∵，∴，又∵，，∴，∵，，四边形是菱形，∴△是等边三角形，∴，由，可得，∵，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．

【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数证明不等式、导数几何意义的应用19．【答案】（1）（2）（3）见详解【详解】（1）由函数，定义域为，则.则，而，则切线方程为，又切线经过点，则，解得.（2）令，由题意，在上至少有两个不同的根.令则.当时，,当时，,故在上单调递增，在上单调递减，所以，又当，当，作出函数的大致图象，结合图象可知，要使在上至少有两个不同的根，则.验证：当时，则方程在有两个根，设为，且，则当时，，即，在单调递减；当时，，即，在单调递增；当时，，即，在单调递减；即此时存在两个极值点，其中为极小值点，为极大值点；综上所述，的取值范围为.（3）