（人教A版）必修一高一数学上册同步题型讲与练专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-提高篇（解析版）

第页第二章一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题1．如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但1a＞1对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误，对于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正确，对于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，满足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D错误．故选：C．2．已知a≥0，设P=a+1−aA．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q【解题思路】由a+2+【解答过程】解：∵a+2+a+1＞即a+2−a+1＜a+1−a，即3．已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【解题思路】由题意可得1x+4y=x+y−4，再将两边同时乘以x+y【解答过程】解：∵正实数x，y满足1x+4∴(1x+4当且仅当yx=4xy，即y＝2x，又1x+4∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+13，∴x+y的最小值为2+13．故选：4．若函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝0，f（﹣1）＝8，则下列判断错误的是（）A．b+c＝﹣1 B．f（3）＝0 C．f（x）图象的对称轴为直线x＝4 D．f（x）的最小值为﹣1【解题思路】把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c可求得b、c值，然后可解决此题．【解答过程】解：把f（1）＝0，f（﹣1）＝8代入f（x）＝x2+bx+c得b+c+1=0−b+c=7，解得b=∴f（x）＝x2﹣4x+3，∴f（3）＝32﹣4×3+3＝0，f（x）图象的对称轴为直线x＝2，f（x）的最小值为f（2）＝22﹣4×2+3＝﹣1．由上分析可知ABD对，C错．故选：C．5．若不等式（a﹣3）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[﹣2，2] C．（﹣22，22） D．（﹣∞，2）【解题思路】讨论二项式系数为0时和不为0时对应不等式恒成立，此时a的取值范围是什么．【解答过程】解：当a﹣3＝0，即a＝3时不等式化为2x﹣4＜0，解得x＜2，不满足题意；当a≠3时，须满足a−3＜∴﹣22＜a＜22；综上，实数a的取值范围是（﹣22，22）．故选：C6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】由已知结合二次函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由图象可知，a＜0，−b2a=1，c＞0，所以b＝﹣2a＞0，所以abc＜由图象可知，抛物线与x轴有2个交点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，②正确；因为f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝8a+c＜0，③正确；因为f（﹣1）＝a﹣b+c＞0，f（2）＝4a+2b+c＞0，所以5a+b+2c＞0，④正确．故选：B．7．已知关于x的不等式ax2+bx+4＞0的解集为(−∞，m)∪(4m，+∞)，其中A．﹣4 B．4 C．5 D．8【解题思路】先根据答案在两根之外判定开口向上，即a＞0，再根据韦达定理求出a＝1，把b表示成m的函数，求出b的取值范围，最后求出ba【解答过程】解：ax2+bx+4＞0的解集为(−∞，m)∪(4m，+∞)，则a＞0，且m，am是方程ax2+bx+4＝0的两根，根据韦达定理m⋅4∴ba+48．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列说法错误的是（）A．a＜0 B．不等式ax+c＞0的解集为{x|x＜6} C．a+b+c＞0 D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|【解题思路】由题意得a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，∴a＜0−2+3=−ba−2×3=ca，即b＝﹣a，c＝﹣6不等式ax+c＞0可化为x﹣6＜0，故其解集为{x|x＜6}，故选项B中的说法正确，a+b+c＝a﹣a﹣6a＝﹣6a＞0，故选项C中的说法正确，不等式cx2﹣bx+a＜0可化为6x2﹣x﹣1＜0，故其解集为{x|−13＜x＜1故选：D．二．多选题9．下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＜0，则a2c＜b2c B．若a＞b，c＜0，则a3c＜b3c C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 D．函数y=|x|+5|x|+4【解题思路】由已知结合不等式的性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：由a＞b，但a2与b2的大小无法确定，A错误；若a＞b，则a3＞b3，因为c＜0，则a3c＜b3c，B正确；若a＜b＜0，则由不等式性质可得a2＞ab＞b2成立，C正确；因为|x|+4≥4，所以|x|+4≥2，y=|x|+5|x|+4=|x|+4+110．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D．图象的对称轴是直线x＝3【解题思路】根据所给的图象可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在y轴的正半轴，由过A（1，0），B（5，0），可知对称轴的方程以及最值情况．【解答过程】解：当x＝0时，y＝c，由二次函数的图象可知，图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，即c＞0，故A错误；因为图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故B错误；因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），所以对称轴方程为x=1+52=3，故D正确；结合图象可知，在x＝3处函数取得最小值，故C11．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1） D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解题思路】将不等式转化为方程，再利用图象即可求解．【解答过程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），则a＜0，正确．B：由题意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正确．C：由题意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，则由韦达定理得ba=−1，ca=−2，即bx2+cx+3a＞0变为﹣ax2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或x＞1，关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C错误，12．已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（）A．不等式cx2+bx+a＜0的解集是(−1B．123b+4+b的最小值是C．若m2−m＞b+4b+3有解，则m的取值范围是m＜﹣1D．当c＝2时，f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1的取值范围是[2，4]【解题思路】根据给定条件，得到b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，解不等式判定A；利用均值定理判断B；利用对勾函数求范围，判断C；探讨二次函数的值域判断D．【解答过程】解：∵ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），∴﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，∴−ba=1ca=−6，∴b＝﹣a，c＝﹣6对于A，不等式cx2+bx+a＜0化为6x2+x﹣1＜0，解得−12＜对于B，b＞0，123b+4+b=123b+4+13（3当且仅当123b+4=13(3b+4)，即对于C，b＞0，令b+3=t＞3，则b+4b+3=t+1t在t∈（∵m2−m＞b+4b+3有解，∴m2−m＞4对于D，当c＝2时，b＝﹣a=13，则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2f（x）max＝f（1）＝1，依题意，n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得x＝﹣1或x＝3，∵f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，∴n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，∴2≤n2﹣n1≤4，故D正确．故选：ABD．三．填空题13．已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝1【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+当且仅当x﹣2=ax−2，即x＝2+a时取等号，∴x+ax−2（a＞0∵x+ax−2（a＞0）最小值为3，∴2a+2＝3，∴a=14．正数a，b满足1a+2b=2，若存在a，b满足不等式2a+b＜x2+3x有解，则实数x的取值范围为{x|x＞1或【解题思路】先根据基本不等式求得2a+b的最值，再结合已知求出实数x的取值范围即可．【解答过程】解：∵正数a，b满足1a+2b=2，∴2a+b=12（2a+b）（≥12（4+24ab⋅ba）＝4，当且仅当b＝2a时等号成立，∵不等式2a+b∴x2+3x＞4，解得x＞1或x＜﹣4，∴实数x的取值范围为{x|x＞1或x＜﹣4}．故答案为：{x|x＞1或x＜﹣4}．15．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立．则t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【解题思路】由题意可知﹣1和3是方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，即可求出b＝4，c＝6，则对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，转化为t≤2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，根据二次函数的性质求出最小值即可得出答案．【解答过程】解：∵不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程﹣2x2+bx+c＝0的两根，∴−1+3=b2−3=−c2，解得b=4c=6，∵对任意﹣1≤x≤0，不等式﹣2x2+bx∴t≤2x2﹣4x﹣2在x∈[﹣1，0]上恒成立，令y＝2x2﹣4x﹣2，二次函数开口向上，对称轴为直线x＝1，∴y＝2x2﹣4x﹣2在[﹣1，0]上单调递减，∴当x＝0时，ymin＝﹣2，∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有4个．【解题思路】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②③；由a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，即可判断④；讨论ax2+bx+c＝±1，结合根与系数关系求四个根的和判断⑤．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴−b2a=−2，4ac−b24a−9a，∴b＝4∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，②正确；9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，③正确；∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1.0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确；若方程|ax+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则x1+x22=−2，可得x1设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则x3+x42=−2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣四．解答题17．比较下列各题中两个代数式的大小：（1）x2+2x+6与2x2﹣4x+16；（2）x2+y2+2与2（x+2y﹣2）．【解题思路】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用作差法即可比较大小．【解答过程】解：（1）∵（x2+2x+6）﹣（2x2﹣4x+16）＝﹣x2+6x﹣10＝﹣[（x﹣3）2+1]＜0，∴x2+2x+6＜2x2﹣4x+16；（2）∵（x2+y2+2）﹣2（x+2y﹣2）＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+1＞0，∴x2+y2+2＞2（x+2y﹣2）．18．设a，b，c均为正数，且a+b＝1．（1）求1a（2）证明：2−【解题思路】（1）由已知结合乘1法及基本不等式即可求解；（2）法一：证明：由柯西不等式即可直接证明，法二：结合分析法，要证明2−a+2−b≤6，只需证明(2−a【解答过程】解：（1）∵a，b均为正数，且a+b＝1，∴1a当且仅当ba=2ab，即a=2−1，b=2（2）法一：证明：由柯西不等式可得，（2﹣a+2﹣b）（12+12）≥（2−a+2−b）当且仅当a=b=1法二：证明：（分析法）要证明2−只需证明(2−a+2−b)只需证明(2−因为(2−a)(2−b)≤2−a+2−b2=32，当且仅当2﹣综上所述：2−19．已知关于x的不等式ax2+bx﹣3＞0（a，b∈R）．（1）若不等式的解集为(−1，−35)（2）若b＝a﹣3，求此不等式的解集．【解题思路】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程组求出a、b的值．（2）把b＝a﹣3代入不等式，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答过程】解：（1）因为不等式ax2+bx﹣3＞0的解集为(−1，所以﹣1和−35是方程ax2+bx﹣3＝0的两个实数根，所以−1−35=−ba（2）b＝a﹣3时，不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，解不等式得x＜﹣1；当a＞0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＞0，且3a＞−1，解不等式得x＜﹣当a＜0时，不等式化为（x−3a）（x+1）＜若a＝﹣3，则3a=−1，不等式化为（x+1）2＜若﹣3＜a＜0，则3a＜−1，解不等式得3a若a＜﹣3，则3a＞−1，解不等式得﹣1＜综上知，a＝0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）；a＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3a，+a＝﹣3时，不等式的解集为∅；﹣3＜a＜0时，不等式的解集为（3a，﹣1a＜﹣3时，不等式的解集为（﹣1，3a20．已知函数f（x）＝x2+ax+3．（1）若函数f（x）对任意实数x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x）成立，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求实数a的值．【解题思路】（1）由题意可知函数f（x）关于x＝1对称，即可求出a的值．（2）由题意可得函数f（x）的对称轴为x=−a2，分别讨论−a2≤−1，﹣1＜−【解答过程】解：（1）∵函数f（x）对任意实数x∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x）成立，∴函数f（x）关于x＝1对称，∴−a2=1，解得a＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2（2）函数f（x）＝x2+ax+3，对称轴为x=−①当−a2≤−1，即a≥2时，函数f（x）在[﹣1∴f（﹣1）＝﹣3，即1﹣a+3＝﹣3，解得a＝7，符合题意，②当﹣1＜−a2＜1，即﹣2＜a＜2时，函数f（x）在[﹣∴f（−a2）＝3，即a24−a22+3＝﹣3，解得③当−a2≥1，即a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1∴f（1）＝3，即1+a+3＝﹣3，解得a＝﹣7，符合题意，综上所述，实数a＝7或a＝﹣7．21．已知函数f（x）＝x2+2ax+2．（1）当a＝1时，求函数f（x）在﹣2≤x＜3上的取值范围；（2）当a＝﹣1时，求函数f（x）在t≤x≤t+1上的最大值．【解题思路】（1）把a＝1代入，对函数配方，可得其对称轴，从而可求得其单调区间，进而可求出f（x）的取值范围；（2）把a＝﹣1代入，对函数配方，可得其对称轴，然后分t＜12【解答过程】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，其对称轴