2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 专题02 一定是直角三角形吗（2知识点+6大题型+思维导图+过关测）（原卷版）

专题02一定是直角三角形吗内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：7大核心考点精准练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点01：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点02：勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【题型1勾股树（数）的判定】例题：（24-25八年级下·广东东莞·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10【变式训练】1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（

）A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，152．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各组数是勾股数的是（

）A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，133．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15【题型2判断三边能否构成直角三角形】例题：（辽宁省大连市金普新区2024-2025年八年级下学期期中数学试题）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，2，3 B．5，12，13C．5，6，10 D．12，13，14【变式训练】1．（24-25八年级下·吉林松原·期中）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（24-25八年级下·云南玉溪·期中）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，3．（24-25八年级下·北京密云·期中）在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【题型3在网格中判断直角三角形】例题：（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（

）A． B．C．是直角三角形 D．的面积是【变式训练】1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为．

2．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在由边长为1的小正方形组成的“”的网格中，线段，的端点都在格点上，两线所夹锐角的度数为．3．（2025·江苏盐城·一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点是网格线的交点，则．【题型4利用勾股定理的逆定理求解】例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，，，，求的度数．【变式训练】1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，．(1)求证：；(2)若，求的长．2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：如图，四边形中，，，，，，(1)判断△ACD的形状，并说明理由；(2)求四边形的面积．3．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，且．(1)求的长；(2)求的度数；(3)求四边形的面积．【题型5勾股定理逆定理的实际应用】例题：（24-25八年级下·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．(1)小溪流的长为________千米．(2)求四边形的面积．【变式训练】1．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．(1)请求出的长度；(2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准．2．（24-25八年级下·天津河北·期中）校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，．(1)求蔬菜区边的长；(2)求花卉区的面积．3．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，．(1)是直角三角形吗？为什么？(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【题型6勾股定理逆定理的拓展问题】例题：（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判断：当时，当为直角三角形时，则的取值为________；当为锐角三角形时，则的取值范围________；当为钝角三角形时，则的取值范围________．2．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”．(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积．一、单选题1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列数组中，是勾股数的是（

）A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，，2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（）A． B．C． D．3．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年级下·新疆和田·阶段练习）如图，在的网格中，每个正方形的边长均为1，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为10，其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，，则的面积为．7．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是．8．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）欲检验画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框填“合格”或“不合格”．9．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是．10．（2025·陕西渭南·二模）《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）三、解答题11．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因．由村庄到取水点的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．是否为从村庄到河边最近的路？（即与是否垂直？）请通过计算加以说明．12．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，点在边上，且，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．13．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点．(1)直接写出下列线段的长度：，；(2)连接，判断形状，并证明你的结论．14．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．(1)求证：(2)求四边形的面积．15．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直．(1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？(2)求这片绿化区的面积．16．（24-25八年级下·广西贺州·期中）【阅读与思考】勾股定理