导数2015年高考数学试题分类及答案分析(专题八)

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析专题八：导数及其应用1.（2015年北京理科）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为【解析】（Ⅰ），曲线在点处的切线方程为；（Ⅱ）当时，，即不等式，对于成立，设，则求得，当时，，故在上为增函数，则，因此对，成立；（Ⅲ）使对恒成立，等价于对成立，设，，则，当时，，函数在上为增函数，，符合题意；当时，令，，极小值，不成立，综上所述可知：的最大值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2.（2015年北京文科）设函数．（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（Ⅱ）证明详见解析【解析】（Ⅰ）由，得，由，解得，所以与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而，当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点，当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点；综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.【考点】1.导数的运算，2.利用导数判断函数的单调性，3.利用导数求函数的极值和最大、最小值，4.函数零点问题.3．（2015年安徽理科）设函数.（=1\*ROMANI）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（=2\*ROMANII）记，求函数在上的最大值；（=3\*ROMANIII）在（=2\*ROMANII）中，取，求满足时的最大值.【答案】（=1\*ROMANI）极小值为；（=2\*ROMANII）；（=3\*ROMANIII）【解析】（=1\*ROMANI）由，得：而；当时，函数在单调递增，无极值，当时，函数在单调递减，无极值，当时，函数在内存在唯一的零点，使得，且时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以时，函数有最小值，；（=2\*ROMANII）当时，，当时，取等号成立，当时，取等号成立，可知在上的最大值为；（=3\*ROMANIII）当即，而，得到，这是取满足且，由此可知，满足条件的最大值为.【考点】1.函数的单调性、极值与最大（小）值；2.绝对值不等式的应用.4.（2015年安徽文科）已知函数，（=1\*ROMANI）求的定义域，并讨论的单调性；（=2\*ROMANII）若，求在内的极值.【答案】（=1\*ROMANI）递增区间是，递减区间为和；（=2\*ROMANII）极大值为；无极小值【解析】（=1\*ROMANI）由题意可知即，所以的定义域为，又，而，令，令或，所以得的单调递增区间为，单调递减区间为和；（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可知在内的极大值为，在内无极小值；所以在内极大值为，无极小值.【考点】1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.5.（2015年福建理科）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由已知条件，必须构造函数，则，所以在上单调递增，而，故即，所以本题一定错误的是选项C，而A、B、D选项不能确定.【考点】函数与导数．6.（2015年福建理科）已知函数(=1\*ROMANI)证明：当时，；(=2\*ROMANII)证明：当时，存在,使得对任意恒有；(=3\*ROMANIII)确定的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．【答案】(=1\*ROMANI)详见解析；(=2\*ROMANII)详见解析；(=3\*ROMANIII)【解析】(=1\*ROMANI)令则有，当,所以在上单调递减；故当时，，即当时，；(=2\*ROMANII)令则有，当时，,所以在上单调递增,，即，故对任意正实数均满足题意，当时，令，得，取，对任意，恒有,所以在上单调递增,,即，综上，当时，总存在,使得对任意的恒有；(=3\*ROMANIII)法一：当时，由（=1\*ROMANI）知，对于，故，令，则有，故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的不存在，当时，由（=2\*ROMANII）知存在,使得对任意的任意的恒有，此时,令，则有，故当时，在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当时，恒有，故满足题意的不存在，当，由（=1\*ROMANI）知，当，令则有，当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数满足题意，综上，只有.法二：当时，由（=1\*ROMANI）知，对于，故，令，解得，从而得到当时，对于，恒有,所以满足题意的不存在，当时，取，由（=2\*ROMANII）知存在,使得任意恒有，此时,令解得，此时,记与中较小的为，则当时，恒有，故满足题意的不存在，当，由（=1\*ROMANI）知，当，令，则有，当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数满足题意，综上，只有.【考点】导数的综合应用．7.（2015年福建文科）“对任意”，是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，构造函数，则，所以在单调递减，故得，则成立；而当时，不等式等价于，构造函数，则，所以在单调递减，故得，得到也成立；综上“对任意”，是“”的必要不充分条件.【考点】导数的应用．8.（2015年福建文科）已知函数.(=1\*ROMANI)求函数的单调递增区间；（=2\*ROMANII）证明：当时，；（=3\*ROMANIII）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(=1\*ROMANI)；（=2\*ROMANII）详见解析；（=3\*ROMANIII）【解析】(=1\*ROMANI)，由故的单调递增区间是；（=2\*ROMANII）令，则有，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，；（=3\*ROMANIII）由（II）知，当时，不存在满足题意，当时，对于，有，则，从而不存在满足题意，当时，令，则有，由得，解得，，当时，，故在内单调递增，从而当时，，即，综上，的取值范围是．【考点】导数的综合应用．9.（2015年新课标1理科）设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】设，由题意可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，而，所以当时，，当时，，所以当时，，，，当时，，直线恒过定点，斜率为，故且，解得.【考点】导数的综合应用．10.（2015年新课标2理科）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】构造函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且，当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是.【考点】导数的综合应用．11.（2015年新课标2理科）设函数.（=1\*ROMANI）证明：在单调递减，在单调递增；（=2\*ROMANII）若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（=1\*ROMANI）见解析，（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）因为，所以在时恒成立，所以在时单调递增，而，所以时，时，故在单调递减，在单调递增；（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，当时，，在上的最大值为，所以有成立，当时，，设关于的函数，所以，所以在单调递增，而，所以时，得，时，得，当时，，当时，，综上所述的取值范围是.【考点】导数的综合应用及均值不等式．12.（2015年新课标2文科）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则．【答案】【解析】由可得曲线在点处的切线斜率为,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.【考点】导数的几何意义.13.（2015年新课标2文科）已知.（I）讨论的单调性；（II）当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.【答案】（I）在是单调递增；在单调递增,在单调递减；（II）【解析】（I）的定义域为，，若，则在单调递增，若，则当时，，当时，所以在单调递增，在单调递减；（II）由（I）知时在单调递增，无最大值，当时在取得最大值，最大值为，根据题意得，设，则在上为增函数，且，于是当时，，当时，，所以满足条件的的取值范围是.【考点】导数的应用.14.（2015年陕西理科）对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（A）是的零点（B）是的极值点（C）是的极值（D）点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，可得，因为是的极值点，是的极值，所以，由于点在曲线上，所以，解得，所以，这是，所以不是的零点.【考点】1.函数的零点；2.利用导数研究函数的极值．15.（2015年陕西理科）设是等比数列的各项和，其中．（I）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．【答案】（I）证明见解析；（II）当时，，当时，，证明见解析【解析】（I），因为则，，所以在内至少存在一个零点，又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点，因为是的零点，所以，即；(II)解法一：由题设，，设，当时,，当时,，若,，若,所以在上递增，在上递减，所以，即，综上所述，当时，，当时，.解法二由题设，，当时，，当时,用数学归纳法可以证明，当时,所以成立，假设时，不等式成立，即，那么，当时，，又，令，则所以当在上递减，当在上递增，所以，从而故对于不等式也成立，所以，对于一切的整数，都有.【考点】1.零点定理；2.利用导数研究函数的单调性.16.（2015年陕西文科）函数在其极值点处的切线方程为______.【答案】【解析】，令，而，所以函数在其极值点处的切线方程为.【考点】导数的几何意义.17.（2015年天津理科）已知函数.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：.【答案】(I)当为奇数时，在上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.(II)见解析；(III)见解析【解析】(I)由，得分两种情况讨论：=1\*GB3①当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以在上单调递减，在内单调递增，=2\*GB3②当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减；(II)证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，令，即，则，由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有；(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由(II)知可得，类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对任意，，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此，故得，又时，，所以，所以.【考点】1.导数的运算及导数的几何意义；2.利用导数研究函数性质、证明不等式.18.（2015年天津文科）已知函数,其中为实数,为的导函数,若,则的值为．【答案】【解析】因为,所以.【考点】导数的运算法则.19.（2015年山东理科）设函数，其中.（=1\*ROMANI）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（=2\*ROMANII）若成立，求的取值范围.【答案】（=1\*ROMANI）当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点；（=2\*ROMANII）【解析】（=1\*ROMANI）因为，定义域为，所以，设，当时，，函数在为增函数，无极值点；当时，，若时，，函数在为增函数，无极值点；若时，设的两个不相等的实数根，且，则，所以，故得当单调递增，当单调递减，当单调递增，此时函数有两个极值点；当时，而，所以当单调递増；当单调递减，所以只有一个极值点；综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点；（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可知当时在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，在单调递增，而，则当时，，符合题意；当时，，所以函数在单调递减，而，则当时，，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意；综上所述，的取值范围是.【考点】导数的综合应用.20.（2015年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为千米和千米，点到的距离分别为千米和千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线符合函数（其中为常数）模型.（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）设公路与曲线相切于点，的横坐标为，请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.【答案】（=1\*ROMANI）求；（=2\*ROMANII）=1\*GB3①，定义域为，=2\*GB3②千米【解析】（=1\*ROMANI）由题意知，点的坐标分别为，代入函数式，得，解得；（=2\*ROMANII）=1\*GB3①由（=1\*ROMANI）知，则点的坐标为，设在点处的切线交轴分别于点，，则的方程为，可得