实际问题与二元一次方程组教学设计人教版数学七年级下册

10.3实际问题与二元一次方程组教学设计一、内容和内容解析内容

本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第十章“二元一次方程组”第10.3节“实际问题与二元一次方程组”，主要内容包括：通过具体生活实例（如养殖场饲料分配、土地划分、运输成本核算等）建立二元一次方程组模型，分析问题中的等量关系，掌握列方程组解决实际问题的基本步骤，并运用消元法求解方程组。内容解析

学生在已掌握二元一次方程组解法的基础上，需进一步学习如何将实际问题转化为数学模型。本节课通过典型例题的剖析，培养学生从复杂情境中抽象出数学问题的能力，强化方程思想的应用。解决问题的核心在于正确理解题目中的数量关系，并灵活选择直接设元或间接设元的方法。本节内容为后续学习分式方程、不等式及函数等知识奠定基础，是培养学生数学建模能力的关键环节。二、目标和目标解析1.目标

(1)能够从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确识别问题中的等量关系。

(2)掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本方法，提高数学建模能力。

(3)通过解决综合应用题，发展逻辑推理能力和运算能力，体会数学的应用价值。2.目标解析

通过本节课的学习，学生需经历“实际问题→数学建模→求解验证”的完整过程，学会用数学语言描述现实问题。在探究过程中，学生应逐步掌握分析问题、设定变量、建立方程组的策略，并能够通过检验解的合理性，体会数学的严谨性。这些能力将为学生后续学习更复杂的数学模型（如二次函数、几何证明）提供必要支撑。三、教学问题诊断分析抽象建模困难：部分学生难以从文字描述中提取有效信息，无法准确找到等量关系。变量设定偏差：学生可能因对问题理解不透彻，导致变量设定错误或遗漏关键条件。运算能力不足：解方程组时易出现符号错误或消元方法选择不当，导致计算效率低下。检验意识薄弱：忽略实际问题中对解的合理性检验，如解是否为整数、是否符合现实意义等。四、教学过程设计（一）情景引入问题1养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg。饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料1820kg，每头小牛1天需饲料78kg。他的估计准确吗？

问题2若用方程描述上述问题，应如何设定未知数？题目中的哪些信息可以转化为方程？

问题3如果更换问题背景（如运输成本、商品利润），如何保证所建方程组的正确性？设计意图：

通过真实情境激发兴趣，引导学生从具体问题中抽象出数学模型。问题1侧重信息提取，问题2强化变量设定，问题3拓展迁移能力，对应目标（1）和（2）。（二）合作探究1探究1某运输公司用2辆大货车和3辆小货车一次运货15.5t，5辆大货车和6辆小货车一次运货35t。求每辆大货车和小货车的载重量。分析：

设大货车每辆运货xt，小货车每辆运货yt。

根据题意列方程组：

2x

解法：消元法：将第一个方程乘以2，得4x+6y=31x验证：将解代入原方程，检验是否符合实际意义（如载重量不能为负数）。追问：若题目中增加“每辆大货车比小货车多运2t”的条件，应如何修改方程组？（三）巩固练习1练习1学校图书馆购买2套《西游记》和3套《水浒传》共花费151元；购买4套《西游记》和2套《水浒传》共花费178元。求每套书的价格。

解析：

设《西游记》每套x元，《水浒传》每套y元，列方程组：

2x

解得：

x练习2甲地到乙地由一段上坡路和平路组成。运动员上坡速度为30km/h，平路速度为40km/h，下坡速度为50km/h，从甲到乙需54分钟，从乙到甲需42分钟。求全程距离。

解析：

设上坡路长xkm，平路长ykm，列方程组：

x

解得：

x

全程距离为15+（四）合作探究2探究2将一块长200m、宽100m的长方形土地分为两部分，分别种植甲、乙两种作物。已知甲、乙单位面积产量比为1:2，要求总产量比为3:4。如何划分土地？分析：

设甲作物种植区域长为xm，乙作物种植区域长为ym，满足x+y100x

联立方程组：

x

解得：

x研究3若将土地按宽划分（即分为上下两部分），方程应如何调整？设计意图：

通过几何问题渗透数形结合思想，探究2侧重等量关系的多角度分析，研究3拓展分类讨论能力，对应目标（3）。（五）典例分析例1丝路纺织厂从A地购长绒棉制成面料运往B地。已知长绒棉进价3.08万元/t，面料出厂价4.25万元/t，公路运费0.5元/(t·km)，铁路运费0.2元/(t·km)，两次运输共支出公路费5200元、铁路费16640元。求销售额比原料费与运输费的和多多少元。解析：设定变量：设购买长绒棉xt，制成面料yt。运输费用：公路：公路里程公路里程0.5铁路：铁路里程铁路里程0.2价值计算：原料费：30800x销售额：42500y联立方程组：

0.5

解得：

x最终差值：42500×设计意图：

通过综合应用题强化复杂问题的分步处理能力，对应目标（2）和（3）。（六）巩固练习练习13辆大货车与5辆小货车一次可运货多少吨？（数据见合作探究1）

解析：

由合作探究1的解：

x

总运量：3×练习2缆车票问题：20人购票花费1180元，往返票80元/张，单程票45元/张。求两种票各多少张。

解析：

设往返票x张，单程票y张，列方程组：

x

解得：

x练习3广告公司制作展板、宣传册、横幅，总时间25h，利润975元。已知宣传册数量是展板的5倍，求总件数。

解析：

设展板a件，宣传册5a件，横幅b件，列方程组：

a

解得：

a

总件数：10+设计意图：

通过多背景练习巩固建模技巧，对应目标（1）和（3）。（七）归纳总结实际问题解决步骤关键要点.审题，提取有效信息明确已知条件和所求目标2.设定未知数直接设元或间接设元3.建立方程组根据等量关系列方程4.解方程组并检验消元法、代入法，验证解的合理性5.回归实际问题作答答案需符合实际意义（八）感受中考(2023·江苏)某商店销售A、B两种商品，A每件利润50元，B每件利润80元。某日售出两种商品共20件，总利润1360元。求A、B各售出多少件。

解析：

设A售出x件，B售出y件，列方程组：

x

解得：

x(2024·浙江)甲、乙两人从相距36km的两地相向而行。甲步行速度5km/h，乙骑车速度15km/h，乙带狗同时出发，狗以20km/h的速度在两人间往返跑动。求两人相遇时狗跑的总路程。

解析：

相遇时间：365+15(2022·广东)某工厂用2台A型机器和3台B型机器每日生产零件460个；3台A型机器和2台B型机器每日生产零件540个。求每台机器的日产量。

解析：

设A型机器日产量x个，B型机器日产量y个，列方程组：

2x

解得：

x(2023·湖北)学校采购篮球和足球共20个，预算不超过3000元。已知篮球单价180元，足球单价150元。最多能买多少个篮球？

解析：

设篮球x个，足球y个，列不等式：

x

解得最大整数解：

x设计意图：通过中考真题练习，帮助学生熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力。（九）小结梳理知识点关