同步培优：二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）（解析版）

同步培优：二次函数推理计算与证明问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷试题共24题，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共24小题）1．（2021•芜湖模拟）已知二次函数，，为常数，．（1）若，求二次函数的顶点坐标．（2）若，设函数的对称轴为直线，求的值．（3）点，在函数图象上，点，在函数图象上．若函数图象的对称轴在轴右侧，当，时，试比较，的大小．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据对称轴公式即可求得；（3）根据题意求得，即可判断函数图象开口向下，令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，据此函数图象，根据图象即可求得．【解答】解：（1）若，则，，二次函数的顶点坐标为；（2）若，则，对称轴为直线，设函数的对称轴为直线，则；（3）函数图象的对称轴在轴右侧，，，函数图象开口向下，，，令，整理得，解得或，两抛物线的交点的横坐标为0和1，如图，由图象可知，当，．方法二：，，，，，，．2．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数是实数）．（1）当时，若点在该函数图象上，求的值．（2）小明说二次函数图象的顶点可以是，你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【分析】（1）把点代入解析式即可求得；（2）根据题意得出，，两个等式求得的的值不同，即可判断小明说法错误；（3）由点，的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线，即可得出，求得，得到，代入解析式即可得到，根据二次函数的性质即可证得结论．【解答】解：（1）当时，则，点在该函数图象上，；（2）若顶点是，则①，②，由①得，由②得，故小明说法错误；（3）点，都在该二次函数图象上，对称轴为直线，，，，，．3．（2021•新疆）已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值；（3）设点，在抛物线上，若，求的取值范围．【分析】（1）根据，可得抛物线的对称轴为：直线；（2）由根的判别式△，建立等式可求出的值；（3）分或两种情况，利用数形结合思想，结合两个点距抛物线对称轴的距离列不等式求解．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线；（2）抛物线沿轴向下平移个单位，可得，抛物线的顶点落在轴上，△，解得或．（3）①当时，则原抛物线开口向上，若，，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，即，或，解得：或，又，；②当时，则原抛物线开口向下，若，，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，，即，，解得：，又，故此情况不成立，综上，的取值范围为．4．（2021•焦作模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点为．（1）若抛物线经过点时，求顶点的坐标；（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，由顶点坐标可求点坐标；（2）分顶点在线段下方和线段上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．【解答】解：（1）由题意可得：，，抛物线的解析式为：，，顶点坐标为，；（2）如图，当顶点在线段下方时，由题意可得：，解得：；当顶点在时，当时，，，，综上所述：当或时，抛物线与线段恰有一个公共点．5．（2020秋•长春期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点．（1）求点的坐标．（2）用含的式子表示．（3）当时，随的增大而减小，求的取值范围．（4）直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点．当抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．【分析】（1）把代人即可求得；（2）把点代入，即可求解；（3）当时，依题意抛物线的对称轴需满足；当时，依题意抛物线的对称轴需满足，即可求解；（4）①当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点，在点的下方，即可求解；②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】解：（1）抛物线经过点，与轴交于点．当时，，；（2）把点代入中，得．；（3）当时，依题意抛物线的对称轴需满足，解得．当时，依题意抛物线的对称轴需满足，解得．的取值范围是或；（4）设直线的表达式为：，则，解得：，故直线表达式为，把代入得．，由平移得，．①当时，若抛物线与线段只有一个公共点（如图，，当时，，则抛物线上的点，在点的下方，．解得．；②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图，．解得（舍去）或，综上，的取值范围是或．6．（2021•汝阳县一模）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表：12342125（1）求该二次函数的表达式；（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数的图象，分别在、的图象上取点，，，试比较与的大小．【分析】（1）找出顶点代入一个点可求得二次函数的表达式；（2）分别把、两点的坐标代入表达式中，求出对应的和的值，比较大小即可．【解答】解：（1）从表格看，二次函数顶点为，则，把代入中得：，，二次函数的表达式；；（2）由题意得：，把，，分别代入、的表达式中，，，，，，，，当时，，即，当时，，即，当时，，即．7．（2020秋•中山区期末）已知：抛物线．（1）若抛物线经过点．①的值为1；②当时，，求的值；（2）平面直角坐标系内的两点，，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围．【分析】（1）①把点，的）代入即可求得；②化成顶点式，根据题意得到当时，或当时，，解得即可；（2）分两种情况讨论即可求得符合题意的的取值．【解答】解：（1）①抛物线经过点，，解得，故答案为1．②，，，当时，，当时，或当时，，当时，，则，解得或（舍去），当时，，，解得或（舍去），故的值为或；（2），，直线为，由整理得，由△得，①当时，当抛物线经过时，则，解得，②当时，当抛物线经过点时，则，解得，由①知，抛物线不过点，故，综上，的取值范围为或．8．（2021•九江一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式；（3）已知点，．若该抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围．【分析】（1）由，即可求解；（2）点在第一象限，且点的坐标为，则，解得，即可求解；（3）分、、三种情况，利用数形结合的方法即可求解．【解答】解：（1），故点的坐标为；（2）点在第一象限，且点的坐标为，则，解得，故抛物线的表达式为；（3）将点的坐标代入抛物线表达式得：，此方程无解；将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得或3，如图1，当时，抛物线和线段有公共点；如图2，当时，抛物线和线段无公共点；如图3，当时，抛物线和线段有公共点；故或时，抛物线和线段有公共点．9．（2021•高新区模拟）已知，抛物线与直线有一个公共点，且．（1）求与的关系式和抛物线的顶点坐标（用的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为，求的面积与的关系式；（3）时，直线与抛物线在第二象限交于点，点、关于原点对称，现将线段沿轴向上平移个单位，若线段与抛物线有两个不同的公共点，试求的取值范围．【分析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得到与的关系，可用表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点的坐标；（2）把点代入直线解析式可先求得的值，联立直线与抛物线解析式，消去，可得到关于的一元二次方程，可求得另一交点的坐标，根据，判断，确定、、的位置，画图1，根据面积和可得的面积即可；（3）先根据的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当与抛物线只有一个公共点时，的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，的值，可得：线段与抛物线有两个不同的公共点时的取值范围．【解答】解：（1）抛物线有一个公共点，，即，，抛物线顶点的坐标为，；（2）直线经过点，，解得，，则，得，，解得或，点坐标为，，，即，，如图1，设抛物线对称轴交直线于点，抛物线对称轴为，，，，，，设的面积为，，（3）当时，抛物线的解析式为：，有，，解得：，，，点、关于原点对称，，设线段平移后的解析式为：，，，△，，当点平移后落在抛物线上时，坐标为，把代入，，当线段与抛物线有两个不同的公共点，的取值范围是．10．（2021•湖北模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；（3）在（2）的条件下，连接交于，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对称轴，则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2）的面积，即，联立抛物线与直线的表达式并整理得①，根据题意可得，，，即可求解；（3）待定系数法求得的解析式，联立和解析式可得点坐标，再证明，可得，，则点，将该坐标代入抛物线表达式，即可求解．【解答】解：（1）对称轴，则点，则抛物线的表达式为：，即，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）设直线交轴于点，点、横坐标分别为，，的面积，即，联立抛物线与直线的表达式并整理得：①，，，，解得：（舍去）或1；将代入①式并解得：，故点、的坐标分别为：，、，．（3）设点，线段绕点顺时针旋转，得到线段．联立和的表达式并解得：，故点，过点作轴的平行线交函数对称轴于点，交过点与轴的平行线于点，则，，，故点的纵坐标为：，则点将该坐标代入抛物线表达式解得：，故，故点．11．（2021•罗湖区校级模拟）已知：如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，（1）求，的值；（2）连接，点为第一象限抛物线上一点，过点作轴，过点作于交直线于点，设点的横坐标为，长为，求与的函数关系式（请求出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，与交于点，过点作交于点，点为直线上方抛物线上一点，连接、，若，时，求点坐标．【分析】（1）根据待定系数法可求，的值；（2）如图2，过点作于点，交轴于点，结合三角函数表示出，，得出四边形为矩形，得到，再根据即可求解；（3）如图3，过点作于点，根据可证，再分两种情况：当点在第一象限时，过点作于点；当点在第二象限时，过点作；进行讨论可求点坐标．【解答】解：（1）抛物线过点，，则，解得．故抛物线解析式为；（2）如图2，过点作于点，交轴于点，，轴，，，，，，，，四边形为矩形，，；（3）如图3，过点作于点，在与中，，，，四边形为矩形，，，，解得，（舍，把代入抛物线，点，与轴交于点，，，，，，，，当点在第一象限时，过点作于点，，，设点，则，，则，解得，（舍，把代入，，当点在第二象限时，过点作，，，设点，，解得，（舍，把代入，，．综上所述，点坐标为或，．12．（2021•泰兴市二模）直线与二次函数的图象有两个交点、，与轴相交于点．（1）若，求的取值范围；（2）若，在某一范围内的值始终保持不变，求此时的范围及的值．【分析】（1）根据题意得到，由△即可求得；（2）若，则，得到抛物线开口向下，对称轴为直线，当、在轴的两侧时，则有，即可得出，进而即可得出当时，的值始终保持不变，．【解答】解：（1）若，则，即，直线与二次函数的图象有两个交点、，△，；（2）若，则，抛物线开口向下，对称轴为直线，当、在轴的两侧时，则有，，时，，当时，的值始终保持不变，．13．（2020•南通模拟）已知二次函数和一次函数，其中、、，满足，．（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；（2）设这两个函数的图象交于，两点，作轴于，轴于，求线段的长的取值范围．【分析】（1）首先将两函数联立得出，再利用根的判别式得出它的符号即可；（2）利用线段在轴上的射影长的平方，以及，，的符号得出的范围即可．【解答】解：（1）联立方程得：，△，，，，，△，两函数的图象相交于不同的两点；（2）设方程的两根为，，则，，，，，，，，，此时，．14．（2020秋•泰兴市期末）已知二次函数过点、点．（1）求证：；（2）若平行于轴的直线与抛物线有交点，求的取值范围．（3）若为整数，为正整数，当时，对应函数值有且只有9个整数，求、的值．【分析】（1）将点和点代入解析式，化简得证结论；（2）将函数与直线有交点转化为方程有解，求；（3）将和分别代入解析式，然后将函数值作差列出方程，结合为整数和为正整数求和的值．【解答】（1）证明：将点和点代入解析式，得：，化简得：；（2）解：由（1）得函数解析式为：，平行于轴的直线与抛物线有交点，方程有解，△，；（3）解：，，当时，随的增大而减小，当时，，当时，，当时，对应函数值有且只有9个整数，，化简得：，为整数，为正整数，时；时，．15．（2021•崇川区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数．（1）若，当时，函数图象的最低点的纵坐标为，求的值；（2）若该函数的图象上有两点，，，，设，当时，总有，求的取值范围；（3）已知和，若抛物线与线段只有一个共同点，求的取值范围．【分析】（1）先求得抛物线的开口向下，对称轴为直线，即可得到当时，，解得；（2）根据题意得到点在右侧，点，在与之间，即可得到，解得：；（3）分两种情况讨论：当抛物线顶点在线段上时，令，则△，解得；由解析式可知抛物线过点，且对称轴，所以点关于的对称点为，故抛物线仅在线段上有一个交点，所以当时，，当时，，解得：，从而求得或时抛物线与线段有一个交点．【解答】解：（1），，抛物线开口向下，，且对称轴为直线，当时，，，解得：；（2）当时，总有，当时随的增大而增大，如图，，关于对称的直线为，过此点作轴的平行线，，点在右侧，当时，总有，点，在与之间，，解得：；（3）抛物线与线段有一个交点，且对称轴为直线，令，当△时，抛物线顶点在线段上，，解得：，又抛物线过点，且对称轴，如图，点关于的对称点为，抛物线仅在线段上有一个交点，当时，，当时，，，解得：，综上所述：当或时抛物线与线段有一个交点．16．（2021•南通一模）已知抛物线过点，，．（1）求的值；（2）当时，请确定，的大小关系；（3）若当时，有最小值3，求的值．【分析】（1）根据二次函数的对称性对称对称轴为直线，即可得出，求得；（2）由，是抛物线上两点，得出当时，为，，关于对称轴对称，则，然后根据图象即可得出当时，，的大小关系；（3）分两种情况讨论，借组图象得到关于的方程，解方程即可求得．【解答】解：（1），是抛物线上的两点，对称轴为直线，，；（2）如图，，是抛物线上两点，当，时，，由图可知，①当时，；②当时，；（3）如图，①当时，在时取最小值，此时，令，则（不合题意，舍），②当时，在时取最小值，此时，令，解得：或（舍去），综上所述：．17．（2021•海安市模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和．（1）求的值，并用含的式子表示；（2）直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．【分析】（1）把点和分别代入，即可求解；（2）①当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点在点的下方，即可求解；②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】解：（1）把点和分别代入中，得，．；（2）设直线的表达式为：，则，解得：，故直线表达式为，把代入得．，由平移得．①当时，若抛物线与线段只有一个公共点（如图，，当时，，则抛物线上的点在点的下方，．解得．；②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图，．即．解得（舍去）或．综上，的取值范围是或．18．（2021•启东市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．（1）此抛物线的对称轴直线，点的坐标为（用含的式子表示）；（2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，利用轴上点的坐标特征求解即可．（2）对于任意实数，都有，可知点在点的上方，令抛物线上的点，可得，分，两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）由抛物线，可知，抛物线的对称轴为直线．抛物线与轴交于，令，得到，．故答案为直线，．（2）对于任意实数，都有，可知点在点的上方，令抛物线上的点，，①如图1中，当时，，点在点的上方，结合图象可知抛物线与线段没有公共点．②当时，（a）如图2中，当抛物线经过点时，，，结合图象可知抛物线与线段巧有一个公共点．（b）当时，观察图象可知抛物线与线段没有公共点．（c）如图3中，当时，，点在点的下方，结合图象可知抛物线与线段恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的的取值范围是．19．（2020秋•茶陵县期末）已知：二次函数为，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）为何值时，顶点在轴上方；（3）若抛物线与轴交于，过作轴交抛物线于另一点，当时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）根据抛物线的开口方向与有关，利用对称轴与顶点坐标公式列式计算即可得解；（2）根据顶点在轴上方，顶点纵坐标大于0列出不等式求解即可；（3）先求出点的坐标，再根据抛物线的对称求出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1），抛物线开口方向向上；对称轴为直线；，顶点坐标为，；（2）顶点在轴上方时，，解得；（3）令，则，所以，点，轴，点、关于对称轴直线对称，，，解得，所以，二次函数解析式为或．20．（2020秋•海门市校级月考）在平面直角坐标系中，点、，抛物线为实数）．（1）写出抛物线的对称轴；（2）若点，，在抛物线上，且，求的取值范围．（3）若该抛物线图象在的部分与两直角边的交点个数为2，求的取值范围．【分析】（1）利用对称轴方程即可求得；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得到，即，解得；（3）当抛物线顶点在轴上时，该抛物线图象在的部分与两直角边的交点个数为2，此时，根据图象经过点和时与两直角边的交点个数为3和1，把点的坐标代入解析式求得的值，即可求得的取值．【解答】解：（1）抛物线为实数）．抛物线的对称轴为直线；（2）抛物线开口向上，点，，在抛物线上，且，，即，当时，不成立；当时，则成立，当时，则，解得，的取值范围是；（3）当抛物线顶点在轴上时，该抛物线图象在的部分与两直角边的交点个数为2，，解得，此时，，正好抛物线经过点，，关于对称轴的对称点为，把代入得，，解得，，抛物线与轴的交点为，此时与两直角边的交点个数为3，把代入得，，解得，此时与两直角边的交点个数为1，该抛物线图象在的部分与两直角边的交点个数为2，的取值范围为或．21．（2020•奉化区校级模拟）已知二次函数（是常数）．（1）求此函数的顶点坐标．（用含的代数式表示）（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围．（3）当时，该函数有最大值4，求的值．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；（2）根据二次函数的增减性质进行解答便可；（3）分三种情况：；；．根据二次函数的性质，则最大值为4列出的方程，进行解答便可．【解答】解：（1），顶点坐标为；（2），抛物线开口向下，在对称轴的右边随的增大而减小，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，；（3）当时，该函数有最大值4，①若，则当时，，解得，；②若，则，解得，（舍；③若，则当时，，解得，．综上，或4．22．（2020•思明区校级模拟）已知抛物线，直线．（1）判断命题“抛物线的对称轴不可能是轴”的真假，并说明理由；（2）求证：直线恒过抛物线的顶点；（3）①当，时，恒成立，直接写出的取值范围；②当，时，若在直线下方的抛物线上至少存在两个横坐标为整数的点，求的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为，当时，抛物线的对称轴即为轴，即可求解；（2）由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为，然后证明点在直线的解析式上即可；（3）①令，依据抛物线的解析式可得到抛物线的顶点在直线上，由时，恒成立可得到抛物线的顶点坐标为，然后找出抛物线位于直线上方时自变量的取值范围，即可求解；②由（2）可知抛物线与直线都过点．当时，，在直线下方的抛物线上至少存在两个横坐标为整数点，即当时，恒成立，然后由可得到关于的不等式，进而求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为，当时，抛物线的对称轴即为轴，故命题“抛物线的对称轴不可能是轴”为假命题；（2）抛物线的顶点坐标为，当时，，所以直线恒过抛物线的顶点；（3）①当时，抛物线解析式为，不妨令，如图1所示，抛物线的顶点在直线上移动，当时，恒成立，则可知抛物线的顶点为，设抛物线与直线除顶点外的另一交点为，此时点的横坐标即为的最小值，由，解得：或，所以的最小值为1，的取值范围为：；②如图2所示，由（2）可知：抛物线与直线都过点．当时，，在直线下方的抛物线上至少存在两个横坐标为整数点，即当时，恒成立．所以，整理得：．又因为，所以，所以．23．（2021•九台区一模）函数为常数）（1）若