函数与极限考试题及答案

函数与极限考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.当\(x\to0\)时，与\(x\)是等价无穷小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)3.极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{2x^2-3x+1}\)的值为（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.0D.\(\infty\)4.设函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\e^x,&x>0\end{cases}\)，则\(\lim_{x\to0}f(x)\)为（）A.0B.1C.不存在D.25.函数\(y=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处（）A.有定义B.极限存在C.连续D.无定义但极限存在6.下列极限存在的是（）A.\(\lim_{x\to\infty}\sinx\)B.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}\)7.当\(x\to0\)时，\(f(x)=o(x)\)表示（）A.\(f(x)\)是比\(x\)高阶的无穷小B.\(f(x)\)是比\(x\)低阶的无穷小C.\(f(x)\)与\(x\)是同阶无穷小D.\(f(x)\)与\(x\)是等价无穷小8.极限\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值为（）A.0B.1C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在9.函数\(y=\sqrt{4-x^2}\)的连续区间是（）A.\((-\infty,-2)\)B.\((-2,2)\)C.\([-2,2]\)D.\((2,+\infty)\)10.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，则（）A.\(f(a)=A\)B.\(f(x)\)在\(x=a\)处有定义C.\(\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)=A\)D.\(f(x)\)在\(x=a\)处连续答案：1.C2.C3.A4.B5.D6.C7.A8.B9.C10.C二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)D.\(y=\sinx\)2.当\(x\to0\)时，下列哪些是无穷小量（）A.\(x^2\)B.\(\sinx\)C.\(1-\cosx\)D.\(\ln(1+x)\)3.下列极限计算正确的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)B.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^3+1}{x^2}=\infty\)4.函数\(f(x)\)在\(x_0\)处连续的充要条件是（）A.\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在B.\(f(x_0)\)有定义C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(\lim_{x\tox_0^+}f(x)=\lim_{x\tox_0^-}f(x)\)5.下列函数中，在其定义域内连续的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)6.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)与\(\lim_{x\toa}g(x)\)都存在，则（）A.\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)\)B.\(\lim_{x\toa}[f(x)-g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)-\lim_{x\toa}g(x)\)C.\(\lim_{x\toa}[f(x)\cdotg(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)\)D.当\(\lim_{x\toa}g(x)\neq0\)时，\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}\)7.当\(x\to\infty\)时，下列函数为无穷大的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)8.下列说法正确的是（）A.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量B.无穷大量与有界量的乘积是无穷大量C.两个无穷小量的和是无穷小量D.两个无穷大量的和是无穷大量9.函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导是\(f(x)\)在\(x_0\)处连续的（）A.充分条件B.必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件10.下列函数中，是初等函数的有（）A.\(y=\sqrt{x^2+1}\)B.\(y=\sin(\lnx)\)C.\(y=e^{-x^2}\)D.\(y=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\e^x,&x>0\end{cases}\)答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.BCD6.ABCD7.AC8.AC9.AC10.ABC三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是\(x\neq1\)。（）2.当\(x\to0\)时，\(x\)与\(x^2\)是等价无穷小。（）3.极限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1\)。（）4.函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有定义，则\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)一定存在。（）5.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，则\(f(a)=A\)。（）6.函数\(y=\sqrt{x}\)在其定义域内连续。（）7.无穷小量就是零。（）8.两个无穷大量的乘积一定是无穷大量。（）9.函数\(y=\sinx\)在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数。（）10.初等函数在其定义区间内都是连续的。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.简述函数极限的\(\varepsilon-\delta\)定义。答案：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数\(\varepsilon\)（不论它多么小），总存在正数\(\delta\)，使得当\(x\)满足不等式\(0<|x-x_0|<\delta\)时，对应的函数值\(f(x)\)都满足不等式\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常数\(A\)就叫做函数\(f(x)\)当\(x\tox_0\)时的极限，记作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。2.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)。答案：利用等价无穷小，当\(x\to0\)时，\(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}\)。3.简述函数在一点连续的定义。答案：设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)的某一邻域内有定义，如果\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就称函数\(f(x)\)在点\(x_0\)连续。4.说明无穷小量与无穷大量的关系。答案：在自变量的同一变化过程中，如果\(f(x)\)为无穷大，则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷小；反之，如果\(f(x)\)为无穷小，且\(f(x)\neq0\)，则\(\frac{1}{f(x)}\)为无穷大。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\0,&x=0\\x-1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)处的连续性与极限情况。答案：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1\)，左右极限不相等，极限不存在。且\(f(0)=0\)，与极限值不等，所以函数在\(x=0\)处不连续。2.讨论当\(x\to\infty\)时，函数\(y=\frac{x^2+1}{x^3-2x+1}\)的极限情况，并说明函数的变化趋势。答案：分子分母同时除以\(x^3\)，\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3-2x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=0\)。当\(x\to\infty\)时，函数值无限趋近于0。3.讨论函数\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的间断点情况。答案：函数\(y=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)}\)，分母为0时\(x=\pm1\)。\(\lim_{x\to\pm1}\frac{1}{x^2-1}=\infty\)，所以\(x=\pm1\)是函数的无穷间断