《勾股定理的探究》同步练习-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年数学八年级上册苏科版第三章勾股定理

3.1勾股定理的探究（同步练习）

一、选择题

1.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形48CD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这

样就组成一个“赵爽弦图“，若4B=5,AE=4,则正方形E7GH的面积为（）

A.IB.2C.4D.6

2.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的

直角三角形的一条直角边长为5,大正方形的边长为13,则中间小正方形的面积是（）

A.144B.49C.64D.25

3.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）

A.三个角的比为1：2：3B.三条边满足关系次=庐一

C.三条边的比为1：2：3D.三个角满足关系4B+乙。=乙4

4.△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

5.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（）.

A.I个B.2个C.3个D.无穷多个

6.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点

A、B在围成的正方体中的距离是（）

A.0B.1C.V2D.V3

7.如图，/LBAC=^DAF=90°,AB=AC,AD=AF,D,E为BC边上的两点，且4O/E=45°,

连结EF,BF有下列结论：®LAFB=^ADC；②△ABD等腰三角形；③NADC=120。；@BE2+

DC2=OF?.其中正确的个数是（）

二、填空题

8.如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，Si，S2,S3,S4分别表示其对应

正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64,9,则，-52+53-54的值为_

9.人们很早就发现直角三角形的三边a,b,c满足的关系Q2+62=C2,我国汉代“赵爽弦图”（如

图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系.下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这

一关系的图有_________.（直接填写图序号）

10.如图，以Ata48C的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若4B=而，则图中阴影部分

的面积为.

11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相互垂直，若AB=3,BC=4,CD=5,则AD的长

12.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1）,后人称其为“赵爽弦图”.由图

1变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形正方形EFGH,正

方形MNKT的面积分别为Si，S2,S3.若52=12,则S1+S3的值为.

13.我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如

图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形

EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是

14,青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图

形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与

青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2,若记朱方对应正方形GD/H的边长为a,青方对应

正方形48co的边长为b,已知仍-Q=3,Q2+M=29，则图2中的阴影部分面积为.

（3）若AC=5,BC=3,EC=1,请直接写出线段AF的长.

17.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，在RSABC中,

ZACB=90",BC=a,AC=b,AB=c；在正方形IECF中，IE=EC=CF=FI=Xo

小明发现了求止方形边长的方法：由题意可得BD=BE=a-x,AD=AF=b-x,因为AB=BD+AD,所

以a-x+b-x=c,解得x=o

（2）探究2

小亮发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC,利用5"!^=5"旧+5”忆+541^可以得到*与

a、b、c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程。

（3）探究3

请结合小明和小凫得到的结论验证勾股定理（注：根据比例的基本性质，由。=（可得ad=bc）。

18.如图，△ABC中，乙4cB=90。，AB=10,BC=6,若点P从点A出发，以每秒1个单位长度

的速度沿折线4-C-B-4运动，设运动时间为t秒(£>0).

(2)若点P恰好在284c的平分线上，求t的值;

(3)若以P,C,B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值.

19.如图1,在等边三角形ABC的4C,BC边上分别取点E,F,使AE=C几连结BE,A尸相交于点

(1)求2BP/的度数.

(2)若“BE=45。,PF=2,求BF的长.

(3)如图2,连结CP,若N8PC=90。，AB=7,求8P的长.

20.定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直

角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形.

(1)如图1,在智慧三角形ABC中，AD±BC,/O为该三角形的智慧线，CD=1,AC=2,则

8。长为,48的度数为.

(2)如图2,△A8C为等腰直角三角形，^BAC=90°,F是斜边8c延长线上一点，连结A尸，以

AF为直角边作等腰直角三角形4尸E(点4,F,E按顺时针排列)，^EAF=90°,4E交于点D,连

结EC,EB,当々BOE=2/8CE时，求证：EO是AEBC的智慧线.

（3）如图3,△ABC中，AB=AC=5,BC2=80,若aBC。是智慧三角形，且力C为智慧线，求

△BCD的面积.

21.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三

角形PCQ,其中NPCQ=90。，探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AO1+6，PA=V2,贝lj：

①线段PB=,PC=；

②猜想：PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给

出证明过程；

（3）若动点P满足第=上求养的值.（提示：请利用备用图进行探求）

ft55/IC

参考答案

1.A

2.B

3.C

4.C

5.C

6.C

7.C

8.55

9.③④

10.5

11.4V2

12.24

1310

14.10

15.2g

16.(1)解：EF=BE.

(2)解：过点A作AG_LAC交ED延长线于点G,连接FG,

，AG〃BC,

JNAGD=/BED,

在AAGD和ABED中：VZAGD=ZBED,/ADG=NBDE,AD=BD,

.*.△AGD^ABED,

AAG=BE,

•・・FD垂直平分GE,

-FE,

VGF2=AG2+AF2,

AEF^BE^AF2；

（3）解：如图，当点E在线段BC上时,

22222

设AF二x,则CF=5-x,BE=2,由EF=AF+BE=CF-t-CEf得好+2?=(5一

设AF=x,则CF=5-x,BE=4,同理由%2+42=(5-%)2+1,得x=L

综上所述，AF的长为9或1.

17.(1)吗一,

(2)解：*/SAABC=SAABI++SABIC+SAAIC

a+b+c

(3)解：根据(1)和(2)得乂=驾二=需即2ab=(a+b+c)(a+b-c),

化简得a2+b2=c2…

18.(1)竽

(2)孝或24

(3)2或19或20或增

19.(1)解：•・•△48C是等边三角形，

LBAC=ZC=60°,AB=AC,AE=CF,

在AABE和尸中,

(AB=CA

\^EAB=乙FCA,

(EA=FC

ABE三AC”(SAS),

:.LABE=Z-CAF,

二LBPF=Z.ABE+乙BAP=^CAF+Z-BAF=60°；

(2)解：如图，过点尸作尸MIBP于点M,

•••LBPF=60°,

...LMFP=90°-60°=30°.

:.PM=*PF=1，MF=y/PF2-PM2=V22-I2=百，

vLMBF=45°,^BMF=90°,

BM=MF=V5,

BF=7BM2+MF2=J(⑹2+(⑹之=V6；

(3)解：如图，过点8作BNJ.4"于点N,

设PN=x,

•••在RtABNP中,Z-BPN=60°,

•••LPBN=30°,

BP=2x,

•.•在等边三角形48c中，乙BAC=乙ABC=60°,AB=AC,

又；乙ABE=乙CAF,

•••LBAN=乙CBP,

又「乙ANB=乙BPC,AB=BC,

在A48八和4CBP中，

(^BAN=Z.CBP

l^ANB=乙BPC,

(AB=CB

ABNCBP^AAS),

:.AN=BP=2x,

222

•••BN=BP-PN=(2x)2_x2=3/,

•.•在R£2M8N中，AB2=BN2-^AN2,

3x2+(2x)2=72,

解得：x=±V7,

vx>0,

x=V7,

•♦.BP=277.

20.(1)®45°

(2)证明:如图2中,yZ-BAC=Z.EAF=90°,

A

J.LBAE=Z-CAF,

在AB4E和△C45中,

AB=AC

Z-BAE=ACAF,

AE=AF

：-LBAE=LCAF(SAS)，

：,LABE=^ACF,

9：LABC=Z-ACB=45°,

：.LABE=/-ACF=135°,

"EBD=90°,

•ZBDE=乙DCE