2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】

2024-2025学年八年级（下）期末必考题型专项复习【40大考点】

►举一反三

【考点1等腰三角形的性质】

【例1】（24-25八年级•河北沧州・期末）如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=120°,P是BC上一点，且NB4P=90。,

PC=4cm,贝UPB的长为（）

A

A.lcmB.2cmC.4cmD.8cm

【变式1-11（24-25八年级・安徽亳州•期末）如图，力D,CE分别是△力BC的中线和高.^AB=AC,LACE=32。,则应ID

的度数为（）

A

A.32°B.29°C.28°D.25°

【变式1-2］（24-25八年级•四川成都・期末）如图，△ZBC为等腰直角三角形，乙4BC=90。）8=2,点。在延长线上,

连接4D,以40为边作等腰直角=90。，连接CE交AB于点匕DC=4/F,贝WD=_____.

DB______c

£j

【变式1-3］（24-25八年级•山东泰安・期末）在△ABC中，AB=AC.

A

c

,A^C,/b\c

DDLDcoD

图1图2图3

⑴AD是BC上的高，AD=AE.

①如图1,如果NBA。=20。，则_____°；

②如图2,如果4氏4。=50。，贝IJNEDC=____.

（2）思考：通过以上两小题，你发现4比4。与NEDC之间有什么关系？请用式子表示：—

（3）如图3,如果AD不是BC上的高，AD=AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来,并说明理由.

1

【考点2等腰三角形的判定】

【例2】（24-25八年级・浙江金华・期末）如图，在RtAABC中，ZACB=9Q°,AC=3,BC=4,点E,尸在斜边A8上,

将边AC沿CE翻折，使点A落在A8上的点。处，再将边BC沿C/翻折，使点B落在C。延长线上的点处，则线段

夕F的长为（）

346

A.-B.-C.1D.-

555

【变式2-1］（24-25八年级•吉林松原•期末）如图，D为AABC内一点,CD平分乙4CB,BE1CD,垂足为交AC于点

E,若Z71=Z718E,BD=1,BC=3,贝!|4C的长为.

【变式2-21（24-25八年级•海南省直辖县级单位•期末）如图，在△ABC中，AD,4F分别是△A8C的中线和高，BE是AABD

的角平分线.

（1）若48£'。=60。，ABAD=40°,求NB2F的度数.

（2）若A4BC面积为40,AD=5,求4F的长.

【变式2-3］（24-25八年级•河南洛阳・期末）如图，在△28C中，己知点。在线段4B的反向延长线上，过AC的中点F作线

段GE交AD4C的平分线于E,交BC于G,SLAE||BC.若AE=8,AB=10,GC=2BG,求AABC的周长.

【考点3等腰三角形的判定与性质】

【例3】（24-25•山东淄博•八年级・期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴/上找点P,使得APAB、△P8C均为等腰三

角形，则满足条件的点P有（）

AB

DC

2

A.1个B.3个C.5个D.无数多个

【变式3-1](24-25八年级•山东济宁•期末)如图，AABC的两条高线相交于点F；点G是力C的中点，连接0G交CE

于点、H,DB=DF=DH.

(1)求证：KABD=ACFD-,

⑵求〃CE的度数；

(3)若ZE=3,求CF的长.

【变式3-21(24-25八年级•云南红河・期末)如图，在中，4ACB=90°,AC=8C,M是△力BC内的一点，且“MB=

120°,以MC为直角边作等腰直角AMCN,使NMCN=90。，MN交线段BC于点D,连接BN.

(1)求证：AM=BN.

(2)求NM8N的度数.

(3)当N4MC为多少度时，aBMN是等腰三角形？

【变式3-3](24-25八年级•吉林松原•期末)如图，在等腰三角形48c中，AB=AC,。为8C延长线上的一点，过点。

作。矶4B,与4C的延长线交于点E.

(1)求证：ACDE是等腰三角形；

(2)在BC上截取4F=CE,连接FB,FD,判断FB,FD的数量关系，并说明理由.

【考点4等边三角形的性质】

【例4】(24-25八年级•浙江金华・期末)如图，在等边三角形ABC的4&BC边上各取一点尸，Q(均不与端点重合)，且

AP=CQ,AQ,BP相交于点。.下列结论一定成立的是()

3

A.^ABP=20°B.BO=3OPC.乙BOQ=6。。D.^BAQ>Z.QAC

【变式4-1］（24-25八年级•浙江台州•期末）如图，在等边三角形2BC中，8C=8,点。是48的中点，过点。作DF12C于

点尸，过点尸作EF1BC于点E,贝UBE的长为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式4-2］（24-25八年级•广东广州•期末）如图，己知等边△ABC的边长为a,中线BD=6,点E在8。上运动，连接2E,

在2E的右侧作等边AAEF,连接DF,则△&£>/;1周长的最小值是

【变式4-3］（24-25八年级•四川绵阳•期末）如图，A/IBC为等边三角形，点。为BC延长线上一动点，连接4D,将线段

AD绕点A顺时针旋转120。得到4E,直线CE与4B交于点尸.过点E作EG||AC交力B的延长线于点G.

VG

⑴若血E-45。,求ND的度数;

(2)求证:BD=2AF.

【考点5等边三角形的判定】

【例5】（24-25八年级•广东深圳•期末）下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（）

A.Zy4=ZB=ZCB.AB=AC,/.B=60°

C.NA=60。"=60°D.AB=AC,且NB=zC

【变式5-1］（24-25八年级•江苏连云港•期末）己知：如图，在AABC中，AB=BC,乙48c=120。，BE14C于点D,

S.DE=DB,则ACEB是—三角形.

4

cE

【变式5-2］（24-25八年级•河南信阳•期末）如图，4AOB=120°,OP平分乙4OB,且。P=2,PE1OB.0E的长是,

若点M、N分别在射线。2、OB上，且APMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有.・个.

【变式5-3］（24-25八年级•河南商丘•期末）如图，在AaBC中，DE\\BC,^EDF=ZC.

（1）求证：Z.BDF=ZX；

（2）若N2=60。，平分NBDE,求出△ABC的形状.

【考点6等边三角形的判定与性质】

【例6】（24-25八年级•浙江杭州•期末）如图（1）是一把折叠椅实物图，支架4B与CD交于点0,0D=0B.如图（2）

是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面MN与地面水平线I平行，BD=2AC,^CAO=60°,折叠后椅子

A.42B.21V3-21C.21V3D.42—21,

【变式6-1］（24-25八年级•河南新乡•期末）如图，等边ANBC纸片的边长为12,E,尸是边BC的三等分点，分别过点E,

尸沿着平行于加，C4的方向各剪一刀，则剪下的ADEF的周长是（）

A.6B.9C.12D.15

【变式6-2］（24-25八年级•湖北武汉•期末）如图，在AABC中，Z.BAC=60°,以BC为边作等边△BCD,E,F分别为4B,

AC延长线上的点，且DE14B、DF1AC、CF=kBE,则会=（用含k的式子表示）.

5

【变式6-3］（24-25八年级•陕西渭南•期末）如图，在AABC中，AB=AC,^ACB>60°,在AC边上取点。，连接BD,使

BD=BC.以AD为一边作等边AADE,且使点E与点B位于直线"的同侧，Z.EAB=2^BAC.

（1）求NBDE的度数；

（2）点尸在2B上，连接D凡DF=BD,请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由.

【考点7含30度角的直角三角形】

【例7X24-25八年级,重庆九龙坡・期末）如图，在A4BC中，点。在4B上,CD=162BDC=60°,CE=AC,=乙BCD,

过点E作EF1CD于点F,若DG:4D=8:5,贝⑺尸为（）

A.-B.-C.-D.-

9595

【变式7-1］（24-25八年级•湖北武汉・期末）如图，AABC是等边三角形，=5,点。在边AB上，AD=3.6,过点。

作。E14C于点E,过点E作EF1BC于点R则CF的长是（）

A.2.2B.2C.1.8D.1.6

【变式7-2］（24-25八年级•福建福州・期末）如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点4与B之间的距

离为10cm,双翼的边缘"=BD=52cm,且与闸机侧立面夹角NPC4=NBDQ=30。，那么两机箱之间的距离CD为一

cm.

6

【变式7-3］（24-25八年级•山西吕梁•期末）如图，在中，ABAC=100。，zC=20°,AB=2,BC=5,AD1AB^

点2.

A

BDC

⑴求NGW与NZDB的度数.

（2）求CD的长.

【考点8直角三角形全等的判定】

【例8】（24-25八年级•山西运城・期末）如图，在△力BC中，ABAC=90°,2D1BC于点D,DE1AB于点E,则下列各

角中，与NB一定相等的是（）

A.乙BADB./.CADC.Z.BCAD.乙BDE

【变式8-1］（24-25八年级•四川成都•期末）如图,在△力BC中，/.ACB=90°,将沿CD折叠，使得点B落在边4c上

【变式8-2］（24-25八年级•河南信阳・期末）如图，已知8E和CD是△48C的两条高线，BE,CD交于点O.^ABC=50°,

乙4cB=80°,求NBOC的度数.

【变式8-3］（24-25八年级•江西赣州•期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的%我们称这两个角互

为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形例如：在△力8C中，如果乙4=80。,ZB=40°,那么乙4与NB互为“友爱

角”，△ABC是“友爱三角形”.

如图，A2BC是“友爱三角形”,且乙4与NB互为“友爱角”（乙4>28）,乙4cB=90°.

7

c

AD-------------、B

⑴求乙4,乙8的度数.

⑵若CD是A/IBC中力B边上的高，贝以47£）,△BCD都是“友爱三角形”吗？为什么？

【考点9直角三角形的性质】

【例9】（24-25八年级•安徽宣城•期末）已知，如图，在△28C中，点尸在BC边上，PM128于M,PNLAC于N,且

AM=AN,PQIIA8交AC于点Q,下列结论：①PM=PN,②4BPM+乙CPN=乙PQC,③PQ=PB其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①D.①②③

【变式9-1］（24-25八年级•安徽合肥・期末）如图，ZC=90°,AC=20,BC=10,4X1AC,点尸和点。同时从点A

出发，分别在线段4C和射线4X上运动，且48=PQ,当4P=时，以点A,P,。为顶点的三角形与△ABC全等.

【变式9-2］（24-25八年级•四川达州•期末）图，已知CD=BE,DG1BC于点G,EF1BC于点F,且DG=EF.

（2）08=OC吗？请说明理由；

（3）若N8=30。，△2D。是什么三角形？

【变式9-3］（24-25八年级•云南昆明・期末）如图1,在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△48C的三个顶点都

在格点上，请判断△ABC的形状,并说明理由.

AJ4jMLiib,;X：\E

\C\\：F；；c

图1图2

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了△力8c是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程.

甲同学说：“学习了侬股定理）,已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状."

8

解：△ABC是直角三角形，理由如下：

在网格中由勾股定理可以算出：AB=V5,AC=V5,BC=同,

■：AB2+AC2=，BC2=,

,­.=90°.

・•.△2BC是角三角形.

乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明A/IBC是直角三角形“”

解：△ABC是直角三角形，理由如下：

如图2,由网格可知：CD=AE=2,^CDA=^AEB=90°,AB=AC=V5,

在RtAADC和RtABEA中，

..{AC=BA=V5

'ICD=AE=2

RtAADCmRtABEA()

•••Z.CAD=.

又•••在RtAAEB中，4ABE+乙BAE=90°,

.­./.CAD+=90°,

.­.乙CAB=180°-(ZC4D+^BAE)=90°,

.•.△ABC是直角三角形.

【考点10勾股定理】

【例10】（24-25八年级•内蒙古包头•期末）如图，小方格都是边长为2的正方形,则△ABC中BC边上的高是（）

A.2.4B.2.6C.2.8D.3

【变式10-1X24-25八年级•四川达州•期末）如图，在四边形4BCD中，NB=90°,BC=4,4E1CD,垂足为E,4E=CE,

连接AC,若DE=5,AD=V61.求:

⑴AC的长；

⑵四边形ABCD的面积.

【变式10-2］（24-25八年级•上海松江•期末）已知：在RtAKBC中,乙4cB=90°,C4=CB.点D、E在线段4B上.

9

（1）如图1，如果CD=CE,求证：AD=BE.

（2）如图2,如果NDCE=45。，求证：DE2=AD2+BE2.

【变式10-31（24-25八年级•浙江宁波・期末）如图，RtAABC,zX=90°,将△ABC沿DE翻折，使得点C与点8重合.若

AB=6,AC=8,则折痕OE的长为（）

1525

A.4B.—C.5D.—

44

【考点11勾股定理的逆定理】

【例11】（24-25八年级•江西上饶•阶段练习）如图，已知在AABC中，CZ）_LA8于点。，BD=9,BC=15,AC=20.

⑴求CO的长；

（2）求AB的长；

⑶判断△ABC的形状.

【变式11-1］（24-25八年级•河北保定・期末）如图，在3x3网格中，每个小正方形的边长都为1,AABC的顶点均在网

格的格点（网格线的交点）上.

⑴填空：AC=,AB=,BC=；

◎）△4BC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由.

【变式11-2］（24-25八年级•贵州贵阳•期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片绿化地（四边

形2BCD）,。点处放置一雕像，已知4B=3m,BC=4m,CD=13m,AD=12m,求这片绿化地的面积.

10

D

【变式11-3］（24-25八年级•广东广州•期末）若x,y,z均为正整数，尤与y互素，且/+y2=z2,则称数组Qy,z）为

基本勾股数组.观察下列基本勾股数组:

(3,4,5)；

(5,12,13)；

(7,24,25)；

(9,40,41);

⑴根据以上规律，写出乂=11时，基本勾股数组中y,z之值；

（2）若（x,y,z）为基本勾股数组，当y=8时，求x与z的值；

（3）请你猜想基本勾股数组@y,z）中x,y,z的规律，并证明你的猜想.

【考点12勾股数（树）］

【例12】（24-25八年级•江苏南京•期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A./.A-.Z.B-.ZC=3:4:5B.a=1,b—2,c=V5

C.zC=zX—Z.BD.（b+c）（Z）—c）=a2

【变式12-1］（24-25八年级•吉林・期末）下列各组数中，是勾股数的为（）

A.1,1,V2B.1.5,2,2.5C.4,5,6D.5,12,13

【变式12-2］（24-25八年级•河北沧州•期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形,

且最大的正方形的面积为4,按照图①至图③的规律设计图案.图③中所有正方形的面积和为.

【变式12-31（24-25八年级•黑龙江牡丹江•期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S「52,

S3,S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64,9,则Si-Sz+Ss-S4的

11

【考点13勾股定理的应用】

【例13X24-25八年级•安徽安庆・单元测试）在笔直的铁路上48两点相距25km,C、D为两村庄,=10km,CB=15km,

DA14B于4,CB1AB于B,现要在力B上建一个中转站E,使得C、。两村到E站的距离相等.贝UE应建在距4km.

AEB

1~c

I。/\］5

D\

C

【变式13-1］（24-25八年级•江苏泰州•期中）如图，在笔直的公路48旁有一个城市书房C,C到公路48的距离CD为80

米，AC为100米，BC为300米.一辆公交车以3米/秒的速度从A处向8处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车

为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响.

【变式13-2］（24-25八年级•山东青岛.期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm,高为7cm.若

一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则这只蚂蚁爬行的最短路程为cm.

【变式13-3］（24-25八年级•四川宜宾・期末）如图，一条东西向的公路/旁有一所中学在中学M的大门前有两条长

度均为200米的通道M4、MB通往公路/旁的两个公交站点A、B,且A、8两站点相距320米.

M

八3、

/\、、

/\

I/\、、、

ABC

（1）现要在学校到公路/修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点。（在公路/旁），使得学生从学校走到公路/的距

离最短，求新路MD的距离；

（2）为了行车安全，在公路/旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点2的东侧，且与中学M相距312米，公

路/限速30千米/小时（约8.33米/秒）.一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由.

【考点14四种命题及其关系】

［例14］（24-25八年级•河北沧州•期末）下列命题:

①有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形；

12

②等腰直角三角形一定是轴对称图形；

③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

其中正确的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式14-1］（24-25八年级•福建泉州・期末）在用反证法证明命题：“已知△ABCMB=AC,求证：乙8<90。”时，第一

步应先假设（）

A.ZB>90°B.ZB>90°C.NB=90°D.ABAC

【变式14-2］（24-25八年级•浙江宁波・期中）等腰三角形两底角相等的逆命题是.

【变式14-3］（24-25八年级•福建泉州•期末）阅读正文并解答下列问题：

如图，已知在AaBC中，AB>AC,求证：/-ACB>/LABC.

证明：彳段设N4CBWN4BC,

①若4ACB<AABC,贝！］在BC上取点D,连接AD,使N4DB=4B.

"：AADB=4B,

：.AD=AB；

在2C上取点E,使4E=AD,则AC=AE+CE=AD+CE>AD,

即：AC>AD,

：.AC>AB.

这与已知4c相矛盾，

.••假设不成立；

②若乙4cB=N力BC,

综上，AACB>^ABC.

⑴上述证明过程采用的方法是（填写：“A”或"3”）；

A.直接证明法；B.反证法.

（2）请你补充②中所缺失的部分.

【考点15线段的垂直平分线】

【例15X24-25八年级•山东聊城•期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为3,面积是18,腰力C的垂直平分线EF分别交2C,

13

48边于E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段E尸上一动点，则^CDM周长的最小值为（）

C

A.6B.10.5C.13.5D.16.5

【变式15-1]（24-25八年级•云南红河・期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°,NB=32。，直线/是线段力B的垂直平分

线，交BC于点O,贝IUC4D的度数是（)

A.26°B.32°C.36°D.58°

【变式15-2]（24-25八年级•青海海东・期末）如图，在△ABC中，AB=AC,乙4=120。，分别以点2、C为圆心，大于豺C

的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ,分别交8C、4C于点。和点E.若CD=3,贝的长为.

【变式15-3]（24-25八年级•浙江杭州•期末）在RtAdBC中，AC=BC=4,乙4cB=90°,E是线段CB上任一点（不与C

重合），作EM1BC交2B于M,。是C4延长线上一点，连结DE交4B于F,AD=BE.

⑴求证：DF=EF；

（2）过产作GF1DE,若CG=GF,

①证明：乙D=30°；

②求E8的长（结果不化简）.

【考点16角平分线】

【例16】（24-25八年级•广东广州•期末）如图,在A4BC中,LB4C和UBC的平分线4E,BF相交于点。，IE交BC于E,

BF交AC于F,过点。作。D1BC于D,下歹U三个结论：①N40B=90。+|/。；②若。D=a,AB+BC+CA=b,贝!]S》BC=

ab；③当NC=60。时，AF+BE=AB.其中正确的是（）

14

A

c.①②③D.①③

【变式16-1］（24-25八年级・广西河池•期末）如图,已知44BC中,点。是NC4B、N4CB角平分线的交点，点。到边力B的

距离为3,且2L4BC的面积为6,贝112MBe的周长为（）

A.6B.4C.3D.无法确定

【变式16-2］（24-25八年级•河南商丘・期末）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接

触点为尸，其中一把直尺的一边恰好在射线04上，E为该直尺的一个顶点，而另一把直尺的一边在直线0B上，一边与

射线A交于点连接0P,若NB0P=30。，ME=2,贝|OE的长为.

【变式16-3］（24-25八年级•福建厦门・期末）如图，在RC48C中，乙4cB=90。，延长8C至点D,使得E是

边力B上一点，DE交4C于点F.

（I）在4C上求作点G,使得点G到的距离等于CG；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若4F=4E,BG交DE于点、P,求证：P是EF中点.

【考点17不等式的基本性质】

【例17］（24-25八年级•河南周口・期末）设a,b,c,d都是整数，且a<26,b<3c,c<4d,d<10,贝Ua的最大值

是（）

A.207B.208C.209D.239

【变式17-1］（24-25八年级•安徽安庆・期末）设a>b,则下列不等式中错误的是（）

15

A.a+2>b+2B.CL-3>b—3

C.-4b>-4aD.-<-

22

【变式17-2]（24-25八年级•广东深圳•期末）若不等式（爪-3）y—1>0（根为常数，且小大3）的解集为V<意，则

m的取值范围是.

【变式17-3]（24-25八年级•湖南长沙•期末）我们定义区表示不小于实数x的最小整数，例如：[3.7]=4.现给出下列

结论：

①[-3,14]=—3；②若[%]=3,则2<%<3；③若1.2<x<2,则[久]=2；④若[%]=2,[y]=4,则4<[x+y]<6.

以上选项中，所有正确的序号是.

【考点18解一元一次不等式（组）】

【例18】（24-25八年级•浙江金华・期末）小明同学解不等式2-等〉詈的过程如下.请指出首次出现错误步骤的序号，

并写出正确的解答过程.

解：去分母，得2—3（久+4）>2（1-①

去括号，得2-3x一