2023年高考数学二轮复习（新高考版）截面交线问题

微重点13截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形

面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

考点一截面问题

考向1多面体中的截面问题

例1(多选)如图，设正方体ABC。一AiSGA的棱长为2,E为的中点，尸为CQ上的

一个动点，设由点A,E,尸构成的平面为a,贝1()

A.平面a截正方体的截面可能是三角形

B.当点尸与点Ci重合时，平面a截正方体的截面面积为2加

C.点D到平面a的距离的最大值为半

D.当尸为CG的中点时，平面a截正方体的截面为五边形

答案BCD

解析如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P,

连接尸尸与y轴交于点

则平面a由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知截面不可能为三角形，故A错误；当尸

与Ci点重合时，平面a截正方体的截面为边长为小的菱形，易得截面面积为2#,故B正

确；当尸为CG的中点时，易知平面a截正方体的截面为五边形，故D正确；

0(0,0,0),4(2,0,0),尸(0,0,4),

设点M的坐标为(0,t,0)(re[2,4]),

DA=(2,0,0),AM=(-2,t,0),加=(2,0,-4),

则可知点P到直线AM的距离为

/一，PA-AM,/20?+64

4寸。AF-谪fk,

SABAD=1X2X4=4,

设点。到平面。的距离为九

利用等体积法VD-APM=VM-PAD9

1_1

即W'APM历△阴z”

可得人4/行丁十4!

4

因为仁产市在fG24］上单调递增，

75+下

所以当/=4时，〃取到最大值为2手，故c正确.

考向2球的截面问题

例2（2022•华大新高考联盟联考）已知在三棱锥S-ABC中，SA_L平面ABC,SA^AB=BC

=巾,AC=2,点、E,尸分别是线段42,BC的中点，直线AF,CE相交于点G,则过点G

的平面a截三棱锥S-ABC的外接球球O所得截面面积的取值范围是.

...「8兀3兀一

答案L9,T

解析因为A4+BC2=AC2,

ikAB±BC,又因为SAJ_平面ABC,

故三棱锥S-ABC的外接球球。的半径

0、2+2+2水

R~2—2；

取AC的中点O,连接2D,2。必过点G,如图所示，

因为AB=BC=巾,

故DG=^BD=^,

◎

因为。。=晋，

故°G2=(¥)+G)=*

则过点G的平面截球。所得截面圆的最小半径

户=｛乎＞—1|=也过点G的平面截球。所得截面圆的最大半径为球半径R=坐，

故截面面积的最小值为学，最大值为竽.

故截面面积的取值范围是［咨，y.

规律方法作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面；

(2)利用相交直线找截面.

跟踪演练1(1)(多选X2022•江苏六校联考)如图，直四棱柱ABC。一A15CQ1的底面是边长为

2的正方形，侧棱长为3,E,F分别是AB,8c的中点，过点。i，E,尸的平面记为a,则()

A.平面a截直四棱柱ABCD-AiBiCiDi所得截面的形状为四边形

B.平面a截直四棱柱ABCD-AiSG。所得截面的面积为差

C.平面a将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47：25

D.点Ai到平面a的距离与点B到平面a的距离之比为1：3

答案BC

解析如图，延长EF分别与D4,0c的延长线交于点P,Q,连接AP,交AAi于点M,连

接。12，交CC1于点N,连接ME,NF,则平面a截直四棱柱ABC。一A1B1C1D1所得截面为

五边形DiMEFN,故A错误；

由平行线分线段成比例可得，AP=BF=1,

故DP=DDi=3,

则△DO4为等腰直角三角形，

由相似三角形可知AM=AE=1,故4M=2,则。1〃=。囚=2吸，ME=EF=FN=®连

接MN,易知MN=2、「,

因此五边形DrMEFN可以分成等边三角形DiMN和等腰梯形MEFN,

等腰梯形MEFN的高

g'（例2—吟耳=杀

则等腰梯形MEFN的面积为

陋+2必就3仍

22-21

所以五边形的面积为2小+平=乎，故B正确；

记平面a将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为W,匕，

=|x|x3X3X3-|x|xiXlXl-|x|xiXlXl=f,

则V1:16=47:25,故C正确；

因为平面a过线段AB的中点E,所以点A到平面a的距离与点B到平面a的距离相等，

由平面a过44的三等分点M可知，点Ai到平面a的距离是点A到平面a的距离的2倍，

因此点4到平面a的距离是点B到平面a的距离的2倍，故D错误.

（2）（2022・芜湖模拟）已知正三棱柱ABC—AIiG的各棱长均为2,。为棱的中点，则过点

。的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为.

答案无，y

解析正三棱柱ABC—AiBiG的外接球的球心0为上、下底面的外接圆圆心的连线。。2的

中点，连接4。2,AO,OD,如图所示，设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r

“平，

7

则7?2=^+1=--

①当过点。的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆

的面积最大为兀肥=可；

74

②当过点。的平面垂直0。时，截面圆的面积最小，0£>2=。42—人。2=可—1=Q,

截面圆的半径为、R2—CQ2=y1—g=i,

所以截面圆的面积最小为兀・12=兀，

7兀

综上，截面面积的取值范围为上，y.

考点二交线问题

考向1多面体中的交线问题

例3在四面体中，△ABC是正三角形，△AC。是直角三角形且AD=C£>,AB=BD

=2,平面a过点A,C,且平面a,则平面a与侧面C8D的交线长为.

答案乎

解析如图1,因为△ABC是正三角形，△AC。是直角三角形且AO=C。，AB=BD=2,

所以AB=AC=BC=BD=2,AD=CD=也,

所以△BC。与△8A。全等，且为等腰三角形，

所以在△A3。中，过顶点A作边8。上的高，垂足为£,取A。的中点。，连接。8,如图2,

因为A8=BO=2,AD=\[2,

■\/t4

所以0B_LA。，0B=p,AE1BD,

所以由等面积法得=^BDAE,

即/=p2XAE,

解得AE=亭，

所以DE=-\IAD2—AE~=^.

所以在△BC。中，过顶点C作边8。上的高，垂足为凡取CD的中点连接MB,

如图3,

同在△A3。中的情况，可得。下=坐，DF=\,

所以点E,尸重合，即8CAE(用，BD±CE(F),

因为AECCE=E,所以_L平面ACE,

平面a即为平面ACE,平面a与侧面的交线为线段CE,长度为乎.

考向2与球有关的交线问题

例4(2022・广州模拟)已知三棱锥尸一ABC的棱AP,AB,AC两两互相垂直，AP=AB=AC

=2小,以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则

最长弧的弧长等于.

定案—

口木3

解析由题设，将三棱锥P—ABC补全为棱长为2馅的正方体，O为底面中心，如图所示，

BD4

若AO=AP=2,则PO=PF=4,即。，尸在以尸为球心，4为半径的球面上，

又。4=黄＞2,OP=3巾＞4,

所以，平面A8C与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为兀；

平面P2C与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为空的圆弧，故弧长为苧；

平面PA4,PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为古的圆弧，故弧长为全

所以最长弧的弧长为手.

规律方法找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

跟踪演练2(1)(2022•泸州模拟)己知三棱锥P—ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶

点P到底面ABC的距离为4,体积为生，若该三棱锥的外接球。的半径为加1则满足上述

条件的顶点P的轨迹长度为()

A.6兀B.1271

C.2小兀D.4、/5兀

答案D

解析依题意得，设底面等腰Rt/VIBC的直角边长为x(x＞0),

・•・三棱锥产一ABC的体积

V=；X3X/X4=竽，

解得x=2y(2.

・・・△ABC的外接圆半径为

n=3义也义2啦=2,

/.球心。到底面ABC的距离为

山=弋医一公=713-4=3,

又：顶点尸到底面A8C的距离为4,

顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.

当球心在底面A8C和截面圆之间时，

球心0到该截面圆的距离为42=4—3=1,

•截面圆的半径为相=勺R2—於=勺13—1=2小,

顶点P的轨迹长度为2a2=4小兀；

当球心在底面A8C和截面圆同一侧时，

球心0到该截面圆的距离为d3=3+4=7>R=W§,故不成立.

综上，顶点P的轨迹长度为4小兀.

(2)(2022・广安模拟)如图，正方体ABCD-AiSGA的棱长是2,S是43的中点，P是49

的中点，点。在正方形。CCQi及其内部运动，若P。〃平面SB。，则点。的轨迹的长度是

答案小

解析如图所示,

要使PQ〃平面SBG,作PE〃GS交CQ1于瓦

SCiu平面SBCi,PEa平面SBCi,

则PE〃平面SBCi,

因为正方体ABCD-AiBiQDi的棱长是2,

所以£>i£=^CiZ)i=1,

连接BZ）,取BZ）的中点。，连接尸。，

则尸加。为平行四边形，则P0〃S8,S2U平面MG,POC平面MG,

则尸。〃平面SBCi,

又POCPE=P,PO,PEU平面POE,

所以平面POE〃平面SBQ,

设平面POEC平面DCCiDi=EF,

33

则DF=^DC=2,

11

连接OF,EF,则PEFO为平行四边形，。的轨迹为线段EEEF=^{DF-DxE）+Dxb=

、1+22=#.

专题强化练

1.（多选）（2022・重庆模拟）如图，一个平面a斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为

椭圆E.若圆柱底面圆半径为r,平面a与圆柱底面所成的锐二面角大小为。（0＜。＜与），则下列

对椭圆E的描述中，正确的是（）

A.短轴为2厂，且与。大小无关

B.离心率为cos。，且与厂大小无关

C.焦距为2rtan＜9

D-面积为总

答案ACD

解析由题意，椭圆短轴长26=2厂，而长轴长随。变大而变长且2a=磊,

所以c=7a2—b2=rtan仇

故e=-=sin0,

焦距为2c=2rtan仇

由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos。等于圆的面积与椭圆面积的比值，

所以椭圆面积为S=^.

综上，A,C,D正确，B错误.

2.（多选）（2022.资阳模拟）如图，在棱长为1的正方体ABC。一AhBiCQ中，点、E,F,G分别

是棱CG，CB,C£＞的中点，尸为线段ADi上的一个动点，平面a〃平面EPG,则下列命题

中正确的是（）

A.不存在点P,使得CPL平面EFG

B.三棱锥尸一EPG的体积为定值

C.平面a截该正方体所得截面面积的最大值为竽

D.平面a截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

答案ABD

解析如图，连接AC,可得AC平面EFG,由4C与Ad异面可知，不存在点P,使得

CP_L平面E/G,故A正确；

由AOi〃平面EPG,可得动点尸到平面EFG的距离为定值，故三棱锥尸一EPG的体积为定

值，故B正确；

如图，当截面为正六边形〃KLWN时（其中/,J,K,L,M,N都是棱的中点），所得截面面

积最大，易得该正六边形的边长为A竽/2，

所以其面积为6X9X惇＞=乎，故c错误;

截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.

3.（多选）在三棱锥P-ABC中，出_L平面ABC,E4=4,AB=AC=2吸,BC=3,PB,PC

与以物为直径的球。的球面分别交于点M,N,则下列结论正确的是（）

B.MN〃平面A8C

C.MN=2

D.球。的球面上点M,N所在大圆劣弧的长为]

答案BC

解析对于A选项,

因为朋1.平面ABC,ABU平面ABC,所以出_LAB,

因为B4=4,AB=AC=2取,

则PB=yjm2+AB2=2^6,

所以

cos^APB—rDJ,

在△(?而中，0M=0尸=3出=2,

由余弦定理可得

0M2=OP2+PM1-WPPMcosZAPB,

所以尸M=2OPCOSNAPM=Y-,

同理可知PN=半，A错误；

对于B选项，在△尸中，PB=PC=2y[6,

PM=PN=+,

nPMPN

历么pg—PC，

所以MN〃BC,

因为MNC平面ABC,5CU平面ABC,

所以MN〃平面ABC,B正确；

对于C选项，因为"N〃3C,

则△PMNSMBC,

匕MNPM2

所以京=诟=不

2

因此加7=铲。=2,C正确；

对于D选项，因为MN=OM=ON=2,

则△OMN为等边三角形，

JT

则ZMON=y

所以球。的球面上点M,N所在大圆劣弧的长为5义2=专，D错误.

4.(多选)(2022•莆田模拟)已知正四面体ABC。的棱长为2加.点E,尸满足前1=%曲，彷=力话,

用过A,E,尸三点的平面截正四面体A8C。的外接球O,当2e[l,3]时，截面的面积可能为

()

A.6兀B.7兀C.8兀D.9兀

答案CD

解析如图，在棱8C上取点R,在棱8。上取点S,使得肝=3/，BD=3BS,

取CD的中点G,连接AR,AS,RS,BG,AG,

记RSABG=M,连接AM.

过点A作？U/L平面BCD,垂足为反，

则以为△BCD的中心，正四面体ABC。外接球的球心。在A8上，A。为球。的半径.

由题中数据可得AM=AG=3HG=3HAf=3蛆，AH=4,BH=2小.

设球O的半径为R,

则R=(AH—OH)?=BH2+OH2,

解得R=3,OH=1.

当4e[1,3]时，截面AEF从平面4RS转动到平面ACD,要求截面的面积只需考虑球心。到

截面的距离的取值范围即可.

由题意可知CZ)〃RS且CZ)_L平面ABG,如图,

过点。作ON工AM,

垂足为N,

则ON_L平面ARS.

因为△AONs^AM”，

匕一、，八AO-MH

所以ON=F-=I，

即球心。到截面的距离de[0,1],

则截面圆的半径满足r=R2一心6[8,9],

故所求截面的面积SG[8兀，9兀].

5.（2022・临沂模拟）已知正三棱台ABC-A向G的上、下