2024-2025学年北京某中学八年级（下）期中数学试卷

2024-2025学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V?B.Vo73c.712D•4

2.（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.6,8,10C.L,LlD.百，2,近

345

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.V2xV5=V7B.2V3-V3=2

C.7（-3）2=-3D•旄+7§=亚

5.（3分）已知一次函数y=-X+2,那么下列结论正确的是（）

A.图象经过第一、二、三象限

B.图象经过点（1,1）

C.当x>2时，j>0

D.直线y=-尤+2是由直线y=-x向下平移2个单位长度得到的

6.（3分）如图，已知。为数轴原点.在数轴上截取线段04=2,过点A作直线"垂直于以。为圆

D.713

7.（3分）如图，四边形的对角线相交于点O,且互相平分.若添加下列条件（

A.AC=BDB.ZDAB=90°

C.AB=ADD.ZAZ)C+ZABC=180°

8.（3分）如图，/XABC中。、E分别是A3、AC的中点，尸是。片上一点，若5C=14,DF=1（

C.12D.11

9.（3分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第

一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的

部分按照“提高电价”收费.设每个家庭月用电量为x度时，根据图象，得出以下结论中错误的是（）

B.“提高电价”是0.56元/度

C.当x>240时，y与x的函数表达式为y二&x-24

5

D.若明明家五月份缴纳电费144元，则明明家这个月用电量为280度

10.（3分）对于函数y=|R的图象我们可以这么理解：如果点（xo,.）在y=|x|的图象上，那么点（-刈,

yo）一定也在y=|x|的图象上.我们发现：点（xo,yo）和点（-xo,yo）是关于y轴对称的.

若在函数y=|x-上，存在两个点A（xi,yi）,B（%2,”）给出下面四个结论：

①若〃=2,当y=3时，x有唯一的对应值5；

②当点A在点5上方时，则无论。为何值，都有Xl>%2；

③若xi=a+2,X2=a-1,则无论。为何值，都有yi〈y2；

④若对于OVxiVl,1VX2<2,都有yiV”，则。满足条件的最大整数值为1.

上述结论中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

11.（3分）若二次根式丁言有意义，则实数x的取值范围是.

12.（3分）如图，直线了=丘+/?与丁=如+〃相交于点闻,则关于乂‘卜'+七的解是

,y=mx+n

13.（3分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（-1,yi）,B（3,”）是一次函数y=-4%+。图象上的两

个点，则声与”的大小关系为:J1”（填或

14.（3分）如图，在△ABC中，AB^AC,D,2C的中点，BF//DE,若BC=8,AC=2泥，则四边形瓦组尸

的面积为

15.（3分）在RtAABC中，ZACB=90°,AC=8C=2,且A。=3,则线段8Q的长

为

16.（3分）观察所给等式寻求规律：第1个等式：上；第2个等式：值*=3出；第3个

等式:

直接写出第4个等式:

根据上述规律，化简：出023+」一XA/6075=（直接写出化简后的结果）.

V2025

17.（3分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,BC=2,ZABD=1500,AB的长

18.（3分）如图，将正方形A8CD绕点B顺时针旋转9（0°<0<90°）,得到正方形8EFG.连接AG,

K,连接EC,DF.

①/BAG=45。-工。；

2

②/CKG=90°-1。；

2

③/BEC=45。+1。；

2

©DF//AG-,

@AG=\[2CE+DF.

以上结论中正确的有（请填写正确结论的序号）.

三、解答题（本题共46分，第19、20、22题每题6分，第21题5分，第23题3分，第24、25题每题7

分，第26题6分）

19.（6分）计算：

⑴强-加+64；

（2）已知x=&+l，求代数式的值.

20.（6分）已知：AABC.

求作：直线AZ),使得AD〃BC.

作法：如图.

①分别以点A、点C为圆心，大于L1C长为半径画弧；

2

②作直线MN交AC于点E；

③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点£＞；

④作直线AD.

所以直线AD就是所求作的直线.

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：连接CD

.BE=.

四边形A8CZ)是平行四边形.()(填推理的依据).

C.AD//BC()(填推理的依据).

21.(5分)在解决问题“已知a=—―，求2/-8a+l的值”时，小蓝是这样分析与解答的:

2^3

••_1_2-V3_o历

,a赤一(23)(2-«)-2~

•'•a-2=-V3>

(tz-2)2=3,cr-467+4=3,

・・〃-4〃—■—1,

2a2-8a+1—2(/-4cz)+1—2X(-1)+1=-1.

请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题:

(1)化简:2

3-V7

(2)若]求3a2+6fl-4的值.

a不行

22.(6分)在矩形ABC。中，点E,点F分别为边BC,且=AF,连接AE,BF.

(1)求证：四边形8EDF是平行四边形;

(2)若AE平分NOE2,AB=2,BC=，R

23.(3分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,网格的中心标记为点O.按要求画四边

形，且点。为其对角线交点：

(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；

(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等.

O

图1图2

O

图3

24.(7分)在平面直角坐标系xOy中，直线>=履+6(%#0)与y=x平行(2,1),过点A作y轴的垂线,

垂足为点B.

(1)贝°左=,b—；

(2)点C在y轴上，点。(2,m),四边形ABC。是矩形.

①如果矩形4BCO的面积小于8,求机的取值范围；

②直线y=fcv+b(20)与直线C£)交于点E,AD=2CE

X

备用图

25.（7分）如图，在菱形ABC。中，ZB=60°（不与点8,C重合），连接AE,尸在线段CD上，满足

ZCEF+ZAEB=120°.

（1）依题意补全图1,用等式表示A3、EC和CF的数量关系，并证明；

（2）连接AC,过尸作BC的平行线，交AC于点G.写出一个理，使四边形EC尸G为平行四边形，

AB

并证明.

26.（6分）在平面直角坐标系尤0y中，对于第一象限的P,Q两点，无轴正半轴上存在点。'，使PP'//

QQ'（如图），则称点尸与点。为a-反射点.对第一象限的点P和图形G,若图形G上存在点。,

则称图形G为尸-a-反射图形.

（1）在点①（3,1）,②（5,2）,③（6,2）,④（12,10）中，与（1,3）为45°-反射点的是（填

所有符合要求的序号）；

（2）已知A（1,8）,B（2,6）,CG,6）,D（L1,8）。>2）.

①若线段（含端点）为A-45。-反射图形，求，的取值范围；

②已知/<6百，MG+s,5）（s20）,A,B,C,。关于M的对称点为Ai,Bi,Ci,Di,若四边形ABC。

上至少存在一点R,使得四边形ALBICLDI为R-60°-反射图形，直接写出s的取值范围.

2024-2025学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案ABDCBDCCBA

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V7B.Vo73c.412D.7^2

【解答】解：是最简二次根式；

B而诵噜不是最简二次根式；

C.y/12=2加不是最简二次根式；

D.席=11nl不是最简二次根式.

故选：A.

2.（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.6,8,10C.-1,工，工D.向，2,粕

345

【解答】解：A、1+2=7,故A选项不符合题意；

B、62+32=102,能构成直角三角形，故3选项符合题意；

C、（1）2+（g）2#（1）2,不能构成直角三角形，故C选项不符合题意；

453

。、2+24W（y）2,不能构成直角三角形，故。选项不符合题意；

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.V2xV5=V7B.2V3-V3=2

C.7（-3）2=-3D.娓+炳=如

【解答】解：A.近义正=国，所以A选项不符合题意；

B.2五-百=叮，所以B选项符合题意；

C((-3)2=7；

D.瓜近,所以。选项符合题意.

故选：D.

4.（3分）如图，^ABCDZB+ZD=110°（）

B

A.70°B.110°C.125°D.135°

【解答】解：；四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,/B=/D,

'：ZB+ZD=110°,

：.ZB=55°,

'JAB//CD,

AZB+ZC=180°,

.\ZC=125°.

故选：C.

5.（3分）己知一次函数y=-尤+2,那么下列结论正确的是（）

A.图象经过第一、二、三象限

B.图象经过点（1,1）

C.当x>2时，y>0

D.直线y=-x+2是由直线>=-无向下平移2个单位长度得到的

【解答】解：一次函数y=-x+2的图象经过第一、二、四象限，不符合题意；

在y=-x+2中，令x=7时，故y=-x+2的图象经过点（1,2正确；

当x>3时，-尤+2<0,故C错误；

直线y=-尤+3是由直线y=-x向上平移2个单位长度得到的，故D错误；

故选：B.

6.（3分）如图，已知。为数轴原点.在数轴上截取线段。4=2,过点A作直线”垂直于。4,以。为圆

心，08的长为半径作弧，点C所表示的数是（)

A.V5B.3C.4D.VI3

【解答】解：在中，。8=而西币=^^7^=旧，

；.OC^OB^y/13,

...点C表示的数为Jm.

故选：D.

7.（3分）如图，四边形A8CL1的对角线相交于点0,且互相平分.若添加下列条件（）

A.AC^BDB.ZDAB=90°

C.AB=ADD.ZADC+ZABC=180°

【解答】解：：四边形ABC。的对角线相交于点0,且互相平分，

.,•四边形ABCD是平行四边形，

若AC=BO,则四边形A3C。是矩形，

故选项A不符合题意；

若ND48=90°,则四边形是矩形，

故选项B不符合题意；

若则四边形ABC。是菱形，

故选项C符合题意；

V四边形ABCD是平行四边形，

ZADC^ZABC,

若NADC+NA8C=180°,

AZADC^ZABC^90°,

则四边形ABCO是矩形，

故选项。不符合题意;

故选：C.

8.（3分）如图，ZkABC中。、E分别是A3、AC的中点，F是DE上一点,若BC=14,DF=1（）

A.14B.13C.12D.11

【解答】解：•••£）,E分别是AB,

是△ABC的中位线，

：.DE=^BC=5,

2

VZ）F=1,

:・EF=7-8=6,

在RtZkA尸C中，E是AC的中点，

：.AC=2EF=8X6=12,

故选：C.

9.（3分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第

一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的

部分按照“提高电价”收费.设每个家庭月用电量为无度时，根据图象，得出以下结论中错误的是（）

B.“提高电价”是0.56元/度

C.当尤＞240时，y与x的函数表达式为y=&x-24

5

D.若明明家五月份缴纳电费144元，则明明家这个月用电量为280度

【解答】解：4“基础电价”是故本选项正确；

240

B、“提高电价”是（216-120）+（400-240）=0.6（元/度），符合题意；

C、当龙>240时，

由图象可得：（240k+b=120,

l400k+b=216

解得：（k=7.6,

lb=-24

/.y-0.3x-24（尤>240）,故本选项正确；

。、当>=144时，

解得尤=280,

明明家这个月用电量为280度，故本选项正确.

故选：B.

10.（3分）对于函数y=|x|的图象我们可以这么理解：如果点（xo,W）在y=|x|的图象上，那么点（-xo,

jo）一定也在y=|x|的图象上.我们发现：点（xo,yo）和点（-xo,yo）是关于y轴对称的.

若在函数y=|x-3上，存在两个点A（xi,yi）,B（双，”）给出下面四个结论：

①若。=2,当y=3时，x有唯一的对应值5；

②当点A在点8上方时，则无论。为何值，都有无1>双；

③若xi=a+2,X2=a-1,则无论a为何值，都有yi<y2；

④若对于1<X2<2,都有yi<”，则a满足条件的最大整数值为1.

上述结论中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：①若。=2,则y=|x-2|,

当y=5时，\x-2|=3,

解得x=6或彳=-1,

所以x对应的值有5和-6,故①错误；

②函数y=|尤-。|图象关于直线x=a对称，

当时，y随x的增大而减小，

当点A（xi,yi）,B（必，>2）在对称轴的左侧时，

点A在点8上方时，XI<XT,故②错误；

③若尤i=a+2,X8=a-1,则yi=|x-3=|。+2-a|=2,j2=|a-2-a|=l,

，yi>y3,故③错误；

⑤若对于0VxiV4,1<X2<6,都有yi<y2f

则仅8-a\<\x2-a\,

（XI-。）5<（X2-a）2,

整理得：X22-X25<2a（XI-X8）,

V0<xi<6,1<X2<6,

/.XI-X2<7f1<X1+X6<3,

2a<x4+x2i

...2〃W8,即〃《工

2

・・・。满足条件的最大整数值为7.故④错误.

故选：A.

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

11.（3分）若二次根式J言有意义，则实数x的取值范围是G3.

【解答】解：•二次根式有意义，

328,

解得x23.

故答案为：尤N3.

12.（3分）如图，直线尸五+Z?与尸始十几相交于点M,则关于人+b的解是x=2

,y=mxtny=4—

【解答】解：,直线与>=小+"相交于点M（2,4）,

关于X,y的方程组pix+b（x=5.

,y=inxtn{y=4

故答案为［x=2.

ly=2

13.（3分）在平面直角坐标系％Oy中，若点A（-1,yi）,B（3,>2）是一次函数y=-4x+/?图象上的两

个点，则yi与”的大小关系为：V1>y2(填”或

【解答】解：：4=-4<0,

随x的增大而减小，

又：点A(-5,ji),B(3,j4)是一次函数y=-4x+6图象上的两个点，且-1<7,

•*.yi>y2.

故答案为：>.

14.(3分)如图，在△ABC中，AB^AC,D,BC的中点，BF//DE,若BC=8,AC=2遥，则四边形

的面积为4.

【解答】解：连接。尸交BE于M,连接AE,

,CBF//DE,EF//DB,

四边形BDEF是平行四边形，

;点。，E分别是

.•.OE为△ABC的中位线，

：.DE//AC,

：.ZDEB=ZC,

'：AB=AC,

:./C=NDBE,

：.ZDEB=ZDBE,

：.BD=DE,

四边形BDEF为菱形,

：A8=AC=2\,，点E为8C的中点,

：.AE±BC,

在RtaABE中，AC=6VS—BC=4,

6

由勾股定理得AE=Q皿2.BE2=2,

;又点。为A8的中点，

DM为LABE的中位线，

.•.DM=LLE=I,

7

：.DF=2DM=8,

菱形BDEF的面积=J.BE•。尸=7.

2

15.（3分）在口1八42。中，乙4。2=90°,AC=BC=2,且AQ=3,则线段BQ的长为辰-2或泰+2

【解答】解：建立坐标系将点C置于坐标原点（0,0）,

故点A坐标为（8,2）,0）.

设点。的坐标点。在直线BC上，故其坐标为（尤.

根据题意，AQ=2d（x-0）2+（3-2）2=6,

平方后化间：*2+4=4^^乂2=5^^乂=。*^或x=f/^,

当x=1时，点。在点8右侧，BQ=l&-2l=J^，

当x=-•、几时，点Q在点B左侧机-2|="./2，

故答案为：匹-2或近.

16.（3分）观察所给等式寻求规律：第1个等式:旧啸;第2个等式:旧=3后；第3个

等式:房*'…

直接写出第4个等式：—《4=5心■一；

根据上述规律，化简：J2023+-^-X^/6075=_2024V3_（直接写出化简后的结果）.

■2025

【解答】解：由题知,

因为房=2秒厚=3秒辰明…，

所以第W个等式可表示为=（n+6）,士

当〃=6时，

第4个等式为丘亮=54-

由上述规律可知，

原式=2024、—1一xV6075

V2025

=2闯嬴X6075

=202473.

故答案为:居=5，看，2024V3.

17.(3分)如图，在梯形A8CD中，AD//BC,BC=2,ZABD=15°450,A8的长为_三十?々

【解答】解：：梯形ABC。中，AD//BC,ZC=60°,

AZABC=90°,ZADC=180°-ZC=120°.

在中，VZA=9O°,

:./ADB=15°.

：./BDC=ZADC-ZAZ)B=45°.

过点B作BELCD于点E,DF±BC于点F,

在RtZXBCE中，•；BC=2,

,1.C£=1BC=1>

b

•，•BE=VBC2-CE7=a，

,：ZBDC=45°,

:.DE=BE=M.

：.CD=DE+CE=\[3+l-

■:BC・DF=CD・BE,

.DF-CD・BE_E+6)V—4m

''BC22

\'AD//BC,ZA=90°,

：.AB=DF=^.

2

故答案为：45,史返.

18.（3分）如图，将正方形A8C。绕点8顺时针旋转9（0°<0<90°）,得到正方形BE/G.连接AG,

K,连接EC,DF.

①/BAG=45。-工。；

2

②/CKG=90。-le；

2

③/BEC=45。+工。；

2

@DF//AG；

⑤AG=MCE+DF.

以上结论中正确的有①③④（请填写正确结论的序号）.

AZ£BC=90°,

AZABG=0+90°,

'：BA=BG,

：.ZBAG=ZBGA^1.(180°-90°-0)=45°-^.0；

22

•..四边形ABC都是正方形,

ZABC=90°,

：.ZCKG=ZAKB=90°-ZBAG=45°+le,故②错误；

3

•：BE=BC,

：・NBEC=NBCE=L(180°-90°+0)=45°+&9；

22

延长A。，GF交于点、N.

'：ZBAD=ZBGF=90°,ZBAG=ZBGAf

：./NAG=/NGA,

:.NA=NG,

'：AD=FG,

：.ND=NF,

：.ZBDF=NNFD,

VZN+2ZNDF=180°,NN+8NM4G=180°,

・•・/NDF=/NAG,

：.DF//AG,故④正确；

・・・四边形AZ)尸G是等腰梯形，

过点。作。7UAG于点T,过点/作也，AG于点L.则△ADT之△GFL,

：.AT=GL,

•:BE=BC,ZEBC=90°-0,

：.ZCEB=45°+1

2

•・・NE/M=NNBAG+NA8E=0+45°-Ze=450+10,

22

/EHA=NBEC,

：.AG//EC,

•；BE=BC,BJLEC,

：・EJ=JC,/EBJ=/CBJ=45°-工6,

2

VZADT+ZDAT=90°,ZDAT+ZBAG=90°,

AZADT=ZBAG=45°-生①

2

：・NCBJ=NADT,

VAD=BC,NATD=NCJB=90°,

:.4D7A冬4BJC（AAS）,

C.AT^CJ,

:四边形。也T是矩形,

：.DF=LT,

：.AG^2.AT+TL^EC+DF,故⑤错误.

三、解答题（本题共46分，第19、20、22题每题6分，第21题5分，第23题3分，第24、25题每题7

分，第26题6分）

19.（6分）计算：

⑴我-a+64；

（2）已知x=&+l，求代数式7-2x的值.

【解答】解：⑴原式=2点-后+3加«；

（2）VX=V5+1-

.*.x3-2x

~~x（x-2）

=（V2+1）（V5

=（V3+I）（V5

=2-1

=4.

20.（6分）己知：AABC.

求作：直线AD,使得AO〃8C.

作法：如图.

①分别以点A、点C为圆心，大于L1C长为半径画弧；

2

②作直线MN交AC于点E；

③以点E为圆心，8E长为半径画弧，交射线8E于点D；

④作直线AD.

所以直线AD就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD

:AE=EC.BE=ED.

四边形AB。是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）.

：.AD//BC（平行四边形的对边平行）（填推理的依据）.

'：AE=EC.BE=ED.

四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,

C.AD//BC（平行四边形的对边平行），

故答案为：EC,ED,平行四边形的对边平行.

21.（5分）在解决问题“已知a=—、一，求2/-8a+l的值”时,小蓝是这样分析与解答的:

2^3

12H3

•a-2-*V3-(2-*V3)(2-V3)

•,•a-2=-V3，

(〃-2)2=3,a1-4(24-4=3,

・•a~4。=-1,

；.2/-8a+l=2_4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题:

(1)化简：2=3+S；

3-V7

（2）若&=——，求3a2+6。-4的值.

1-V2

2（3斯）

【解答】解：⑴2=3+5,

3-V2(3-V7)(6+>/7)

故答案为：3+、/7；

（2）a=—

1-V2

••d—臭尸=一7-近,

(1-V5)(1+V2)

Q+1=-我，

(。+1)2=6,即〃2+1+7〃=2,

••a+6〃19

3/+6〃-4

=7(。2+2。)-8

=3X1-2

=-1.

22.（6分）在矩形ABC。中，点点尸分别为边8C,_&CE=AF,连接AE,BF.

（1）求证：四边形3位不是平行四边形；

（2）若AE平分NDEB,AB=2,BC=y[^

FAD

【解答】(1)证明：：四边形ABC。是矩形，

：.AD^BC,AD//BC,

:点E,点尸分别为边BC,MCE=AF,

：.DF//BE,DF=BE,

四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：：四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD,ZFAB=ZECD=90°,

：四边形8即尸是平行四边形，

：.BF=DE,

平分/。防，

：.NBEA=/DEA,

'：DF//BE,

:./BEA=/DAE,

：.ZDEA^ZDAE,

:.AD=DE=BC=^,

在RtzXCOE中，由勾股定理得：CE=VDE2-DC4=^6-22=^2>

:.AF=CE=&.

23.(3分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,网格的中心标记为点0.按要求画四边

形，且点。为其对角线交点：

(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；

(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等.

p

图3

【解答】解：⑴如图1,矩形ABC。即为所求;

(2)如图2,平行四边形ABCS。即为所求；

(3)如图6,正方形A8CD即为所求.

AP

0

BC

图3

24.(7分)在平面直角坐标系xOy中，直线(%W0)与y=x平行(2,1),过点A作y轴的垂线,

垂足为点B.

(1)贝!jk=1,b=-1；

(2)点C在y轴上，点。(2,根)，四边形ABC。是矩形.

①如果矩形ABC。的面积小于8,求相的取值范围；

②直线(%W0)与直线CD交于点E,AD=2CE

%

__

__

__

0X

备用图

【解答】解：(1)•.•直线＞=丘+/?(ZNO)与y=x平行,

k=1,

再将A(8,1)代入得，

解得b=-1,

故答案为：2,-1；

(2)由(1)知直线解析式为y=x-1,

由题可知A0=|M-8|,AB=2,

：.S=AB^D=2\m-4|<8,

：.\m-1|<3,

解得-3〈机<5；

②令尸工-7=m,

解得x=l+m,

:・E(l+m,m),

9

：AD=2CEf

1-m=6(1+m),

解得m=-工，

4

(2,-3)；

33

'：ADVICE,

1-m=rl(-1-m),

解得m=-3,

：.E(-2,-3)；

如图，当点。在点A上方时,

Am-1=2（1+m）,

解得m=-3,

此时不合题意，舍去；

综上，点E的坐标为（0，-1,-3）.

35

25.（7分）如图，在菱形A3CZ）中，NB=60°（不与点2,C重合），连接AE,歹在线段CD上，满足

ZCEF+ZAEB=120°.

（1）依题意补全图1,用等式表示AB、EC和CF的数量关系，并证明；

（2）连接AC,过产作8C的平行线，交AC于点G.写出一个理，使四边形ECFG为平行四边形，

AB

并证明.

【解答】解：（1）补全图形如图1①所示:

AD

图1①

AB.EC和CF的数量关系是：AB=EC+CF

连接AC,过点石作EG〃A8交AC于点G

•・•四边形ABCD是菱形，

：.AB^BC=CD=AD,AB//CD,

・・・△ABC和△ADC都是等边三角形，

AZACB=ZB=60°,AB=AC,

：.ZECF=ZACB-^ZACD=120°,

,:EG〃AB,

：.ZGEC=ZB=60°,

：.ZGEC=ZACB=60°,

•••△GEC是等边三角形，

；・EG=EC=GC,ZEGC=60°,

AZAGE=180°-ZEGC=120°,

AZAGE=ZECF=120°,

VZCEF+ZAEB=120°,

ZAEF=180°-(/CEF+/AEB)=60°,

ZAEF=ZEGC=60°,

ZT+/GEF=NGEF+N5,

/.Z1=Z2,

在△AEG和△BEC中，

rZAGE=ZECF

<EG=EC，

,Z8=Z2

A