2024-2025学年北京市某中学分校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2024・2025学年北京市景山学校远洋分校高二(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知鬣=15,则1等于()

A.6B.5C.4D.3

2.在等差数列｛/｝中，己知十%=16，则该数列前11项和S”=()

A.58B.88C.143D.176

3.国古代典籍涸易》又称《易经》，分为经部和传部，其中经部之原名就为调易》，

是用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻(ya。)组成，爻分为阳二二

爻“一”和阴爻“---------”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重----------

卦恰有2个阳爻的概率是()

A噂B.||

16323264

4.等差数列｛即｝的首项为1,公差不为0.若。2,。3,。6成等比数列，则｛册｝前6项的和为()

A.-24B.-3C.3D.8

5.若Q+a产的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中，项的系数为()

A.6B.7C.8D.9

6.已知数列｛斯｝的前几项和为%,若%=07告一不，则$5=()

XI乙IJI-I14

A.2B.1C.|D.1

4J0

7.某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取''三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军.

已知甲每局获胜的概率为：，且比赛没有平局.记事件力表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，

则P(4|B)=()

11r13

AA2BD-4C5Dn8

8.数列｛陶｝是等比数列,则对于“任意的71WN3册+2＞斯”是“｛斯｝是递增数列”的()条件.

A.充分不必要B,必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

9.14-(1+1)+(1+1+^)+...+(14-11+...+击)的值为()

A.18+击B.20+/C.22+击D.18+击

第1页，共15页

10.已知数列：幺金，…,0（kGN*）,按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列｛斯｝：

KK-«L1

1,若，另（，…,则5首次出现时为数列｛%｝的（）

A.第44项B.第76项C.第128项D.第144项

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

52345

11.已知二项式（2%—I）=a0+a6+a2x+a3x+a4x+agx,则由+Q3+Q$=____.

12.已知等差数列｛%｝的公差为2,若由，的，。4成等比数列，则即=，数列｛%｝的前几项和S„的最小值

是.

13.已知随机变量x,丫均服从。一1分布，若p（x=1）=P（Y=1）=!，

且p（xy=o）=i,则p（x=y）=_____.小

14.如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度

•••

的右若已知小球经过的路程为察中，则小球落地的次数为______・

15.已知数列｛即｝的各项均为正数，其前几项和又满足%•S'UMTIEN*）,给出下列四个结论：

①（斯｝的第2项大于1；

软即｝为递减数列；

③（即｝为等比数列；

④（斯｝中存在小于盛的项.

其中所有正确结论的序号为_____.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

已知数列｛册｝是等差数列，满足%=2,。4=8,数列出“｝是等比数列，满足%2=4,%=32.

（1）求数列｛%｝和｛b｝的通项公式；

（2）求数列｛%+Q｝的前？i项和十.

17.（本小题15分）

研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义.中国明确提出节

能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一.中国某地区从

2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表.（注：汽车总销量指新能源汽车销

量与非新能源汽车销量之和）

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年份2015201620172018201920202021

新能源汽车销量占

1.5%2%3%5%8%9%20%

比

①从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；

(0)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分

布列和数学期望；

(IH)对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车

销量之和，则称第三年为“爆发年”.请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份.(只需写出

结论)

汽乍总销量(万辆)

5.65.65.5M4盆

i2015l2016l2017l2018l2019l2020l2021年份

图-

18.(本小题15分)

n(n+l)

已知数列小｝,.在既I列｛%｝的前几项和为S〃,Sn=2%-2；含散列小｝的前几项之积为%=2-T-(nG

川),这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答(注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.

在答题前应说明“我选_____”)

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)令%=an+log2%，求数列｛4｝的前九项和Tn.

19.(本小题15分)

治理垃圾是S市改善环境的重要举措.去年S市产牛的垃圾最为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系

列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃

圾排放量为上一年的75%.

(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n(neN)的表达式：

(2)设4为从今年开始几年内的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的

治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

2

【解析】解：鬣=皿展=15，却/_n_30=0,则〃=6或n=—5(舍).

故选:A.

根据组合数计算公式计算即可.

本题考查组合数公式的应用，为基础题.

2.【答案】B

【解析】解：在等差数列｛%｝中,%+。6=16,

则该数列前11项和：

x

Su=y(«i+«io)=y(a4+«6)=y16=88.

故诜：B.

利用等差数列的前几项和公式、通项公式能求出该数列前11项和S".

本题考查等差数列的前11项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，

其中6爻中恰有2个阳爻情况有味,

•••该重卦恰有2个阳爻的概率为垓=得

故选:D.

每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻与阴爻，则共有26种情况；一重卦恰有2个阳爻,

则有痣种情况，进而可求得概率.

本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查等差数列的前n项和公式，等比数列的性质，属于基础题.

利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出｛aj前6项的和.

【解答】

解：•••等差数列包,｝的首项为1,公差不为0,。2,%，。6成等比数列，

吊=©♦。6，

第5页，共15页

•••（at+2d）2=（a1+d）（a1+5d）,且%=1,dH0,

解得d=-2,

­.{6}前6项的和为S6=6al+号d=6x1+竽x（-2）=-24.

故选：A.

5.【答案】B

【解析】解：因为的展开式中前三项的系数底、/[髭成等差数列，

所以鬣=C，，BPn2-9n+8=0,解得：n=8或九=1（舍）.

丁用=品二（丹品》8-匕

令8-2r=4可得，r=2,所以第4的系数为（"＞《=7,

故选B

求出a+2）”的展开式中前三项的系数叱、）以、J鬣，由等差数列知识求出，，再利用通项公式求出/项

的系数即可.

本小题主要考查二项式定理的基础知识：展开式的系数、展开式中的特定项的求解.属基本题型的考查.

6.【答案】c

【解析】解：由于册=]+2+；+..二=享=版扁=2（；-熹）,

所以又=2（1一如＞卜...+9磊）=2（1-磊）=含；

10

故场$c5二不二亍5

故选：C.

首先利用关系式的变换整理得%=2（彳-焉），进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和.

本题考杳的知识要点：数列的通项公式的变换，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意可知，事件43表示“比赛进行两局，且甲获得冠军”，即前两局都是甲获胜，

所以P（丽=（5=、

又因为P山）=6）2+弓）2=，

第6页，共15页

所以P（川访=丝丝=iX|=i

尸⑻955

故选：C.

求出尸（痛）、P面的值，利用条件概率公式可求得P（用力的值.

本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：设等比数列｛斯｝的公比为q,q手0,

2

若7+2>an,则即+2-4=an（q-1）>0,

当61>0时，由Qi（q2—1）>0得q2-1>0,解得q<-l或q>L

若qV-l,则。2=。1口<0，此时。2（[2-1）>0与已知矛盾；

若q>l,则%>0,此时｛%｝为递增数列.

当G1<0时，由%（q2-1）>0,得q2-K0,解得-1Vq<0或OVqVl,

若一1VqV0,则a?=Q[q>0,此时。2（。2-1）<0与已知矛盾；

若OVqVl,则即<0,此时｛/｝为递增数列.

反之，若｛即｝是递增数列，则即+2>即，

所以“对于任意的〃WN*,%+2>%”是“｛册｝是递增数列”的充要条件.

故选：C.

根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.

本题主要考查等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于中档题.

9.【答案】B

1_i_

【解析】解：,••%=1+|+^+-+j-2（1一喜），

1

S"=20+210.

故选：B.

利用等比数列的通项公式及其前几项和公式即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，…,

分子，分母之和为16的有15项，

第7页，共15页

分子，分母之和为17的有76项，排列顺序为n，g2…，学，学，

1O1314-L1

其中£为分子，分母之和为17的第8项，

故共有等x15+8=128项.

故选:C.

观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求H片的位次.

本题考查数列的应用，涉及等差数列求和公式，属于中档题.

11.【答案】122

【解析】解：令得，a。+%+…+%=1.....①,

令X=-1得，Q。—Q[+。2-。5=-243.....②

①一端，出+Q3+Q5=122.

故答案为：122.

利用赋值法，即可解出.

本地考查了二项式定理，赋值法，学生的数学运算能力，属于基础题.

12.【答案】一6；-20

【解析】【分析】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法,

考查运算能力，属于中档题.

运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到。2,再由等差数列的求和公

式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值.

【解答】解：等差数列｛斯｝的公差d为2,

若G>a3,成等比数列，

可得出=。1。4，

即有(ai+2d)2=Q[(ai+3d),

化为由d=-4d2,

解得=—8,a2=—8+2=—6；

数列｛Q“｝的前n项和=ncii+|n(n-l)d

=-8n+n(n-1)=n2-9n

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当於二4或5时，Sn取得最小值一20.

故答案为:-6,—20.

13.【答案吗

【解析】解：根据题意，因为随机变量x,y均服从0-1分布，且p(x=i)=p(y=i)=J,

所以p(x=1)=p(x=i,v=0)+P(X=i,y=i)=1(p,

P(y=i)=p(x=i,y=i)+p(/=o,r=1)=1②,

又由p(xy=o)=1,即p(x=i,y=o)+p(x=o,y=i)+p(x=o,y=o)=1,

则有P(X=i,y=i)=i-P(XY=o)=o③，

将@(弋入g得：P(X=1,r=o)=i,

将③f弋入②可得：P(X=o,r=i)=I，

又由尸(x=1,y=o)+P(X=o,r=i)+P(X=o,r=o)=i,

则户(x=o,y=o)=1-p(x=Ly=o)—p(x=o,y=i)=1-[一,=!，

ooo

所以p(x=r)==o,y=o)-i-p(x=1,r=i)=i+o=i

故答案为:j.

根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可.

本题考查0-1分布的性质和应用，涉及概率的计算，属于中档题.

14.【答案】3

【解析】【分析】

设小球落地的次数为71，小球每次着地后又弹回的高度构成一个等比数列，其中首项为与，公比为J，再结

合等比数列的前几项和公式，得解.

本题考查等比数列的实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

【解答】

解：设小球落地的次数为八，

小球每次着地后又弹回的高度构成一个等比数列，其中首项为当，公比为最

所以10+2X二罢,即10+10x(1-5)=甯，

学"1：-1给27'3”，27

第9页，共15页

解得n=3.

故答案为：3.

15.【答案】®（2）®

2

4即2

【解析】解：对于①，因为%•=4（九WN*）,所以当九=1时,a1-

当n=2时，a2s2=与（2+做）=4,整理可得涕+2与-4=0,解得。2=-1＞1，故⑦正确:

对于@当力之2时，由S”=上可得Sn.1=J-，

两式作差得：斯=；a_a"="c尸a＞0,可得即＜Qn_l，

nn-lnn-l

所以数列｛aj为递减数列，故②正确：

对于③，假设数列｛册｝为等比数列，设其公比为q,则厩=ag，即（$2=^,

解得q

所以黑=S】S3,即aj(l+q)20,不合题意,

所以数列｛心｝不是等比数列，故⑤错误：

对于假设对任意的nWW,壶,则S20253220253x^=20252,

所以。20253=士工薪〈击，与假设矛盾，假设不成立，故@正确.

2025，

故答案为：®®®,

令n=1、n=2,求出由，与的值，可判断①：推导出，利用数列单调性的定义可判断②;

an即-1

利用反证法可.判断@（益

本题考查由数列的递推式求数列的通项公式，属于中档题.

3n-42

16.【答案】册=2九，bn=2；Sn=n+n+

【解析】（1）数列｛%｝是等差数列,设公差为d,

由％=2,4=8，可得2+3d=8,解得d=2,

则Gn=2n；

数列｛"｝是等比数列，设公比为q,

2

由力2=4,%=32,可得b1q=4,bAq=32,

可得仇=q=8,

则儿=JX8"T=23-4；

Q）Sn=（%+瓦）+&+尻）+…+（%+

第10页，共15页

”…+/.九）』2+2切+/

2,上8M-1

=nz+n+—rr-.

14

(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，可得所求；

(2)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力,

属干中档题.

17.【答案】解：(I)由汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，

则这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率为*

(H)根据图表可知新能源汽车2015-2021年的销量如下表：

年份2015201620172018201920202021

新能源汽车销量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16

由表可知新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个,

则随机变量X可能取值为：0,1,2,

P（X=0）W=3P（X=1）=警=3P（X=2）W4

••・X的分布列为:

X012

10101

P

212121

,0•E（x）=0X9+1X^y+2x^-=y.

(in)由(ii)中表可知：

2015年与2016年新能源汽车销量之和为0.0625+0.112=0.1745>0.168,2017年不符合要求,

2016年与2017年新能源汽车销量之和为0.112+0.168=0.28>0.275,2018年不符合要求，

2017年与2018年新能源汽车销量之和为0.168+0.275=0.443<0.456,2019年符合要求，

2018年与2019年新能源汽车销量之和为0.275+0.456=0.731>0.54,2020年不符合要求,

2019年与2020年新能源汽车销量之和为0.456+0.54=0.996<1.16,2021年符合要求，

故“爆发年”为2019、2021.

【解析】。)根据汽车销量图可知7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，根据古典概型公式计算即可；

(II)根据图表算出新能源汽车每年的销量，再求出X的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的概率分

第11页，共15页

布列及期望公式计算即可；

（HI）根据。I）中计分别算出前两年的销量与第三年比较即可.

本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题.

18.【答案】解：（1）选⑦，当n=l时，a1=2。1-2,即即=2,

当九22时，Sn=2an-2,S“_i=2aT?_1-2,

两式相减可得，Q”=2%-2%_I，即0-=2,

an-l

所以数列作”｝是以2为首项，2为公比的等比数列

所以册=2n；

选②，当九=1时，Q]=S]=2,

n（噂1）

当nN2时，an=熟=；（：）'

〃(n-】)

即/=22-=2”,

当71=1时，=2符合上式.

所以数列｛aj是以2为首项，2为公比的等比数列,

所以册=2,

nnn

(2)因为勾=an+log2an=2+log22=2+n,

所以Tn=(21+22+…2n)+(1+2+••・+n)

2(l-2n)n(n+l)

+2”+l-2+磅曲,

Tn=1-2-2-

所以Tn=2计】-2+等.

【解析】（1）结合所选条件，把已知递推关系转化为项与项的关系，结合等比数列的定义及性质即可分别求

解；

（2）先求出以，然后结合分组求和及等差数列与等比数列的求和公式即可求解.

本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式求解中的应用，还考查了分组求和及等差数列与

等比数列的求和公式的应用，属于中档题.

19.【答案】解：（1）设治理n年后，S市的年垃圾排放量构成数列｛Q“｝,

当九W5时，数列｛Qn｝是首项为由=200-20=180,公差为一20的等差数列,

斯=180—20（n—1）=200—20n>

当n>5时，数列｛册｝是以的=100为首项，公比为扣勺等比数列，

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f200-20n,1<n<5

治理n年后，S市的年垃圾排放量的表达式为即=Lnn,3.n_5>l.

(2^Sn为数列｛%｝的前几项和，则4=学，

4+1-4n

_Sn+i_Sn

n+1n

_吗+1-5+l)Sn

n(n+l)

_n(Sn+a”+i)-(n+l)Sn

n(n+l)

——n+lf

-n(n+l)

_('』+1-'1)+)5+1-42)+……+(Q”+l-u”)

n(n+l)，

由(1)知,时,Qn=200-20n,•••｛%｝为递减数列,

n-5

n26时，an=100x(1),｛斯｝为递减数列，且与<。5，

••・｛4｝为递减数列,

*,•%叶[—V0,a)i+[—。2<0，...—V0,

,,・4i+i-4<。，

二数列G%)为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的.

【脩析】⑴分别求出当n<5时和〃>6时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式.

(2)根据4=手，结合作差法可证得数列｛4J为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，从而作出

判断.

本题主要考查了数列的实际应用，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的单调性，属于中档

题.

20.【答案】解：正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃

圾分类知识水平位“一般”的频率为：

所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：p=

(H)由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一股”的人在讲座后，达到“优秀”的概

率估计为：

第13页，共15页

正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：

由题意，X的值可以为：0,1,2,3,

且：P(X=O)=|X(|)2=A,

n/vy、2,2、23z1220

P(X=1)=-X(-)+--C2X-X-=-,

P(7=2)=|xClx|x|+|x(i)2=1|,

^=3)=lx(l)2=i

所以X的分布列为:

X0123

P420112

15454545

所以%)=。4+1嘲+2藻+3吗=保

(W)从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件4则P(力)=右讲座后，知识水

平为“良好”的概率估计为去

从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件B,则P(B)=得，讲座后，知识水平

为“良好”的概率估计为多

从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件C,则P(C)=］讲座后，知识水平为

“良好”的概率估计为0；

从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为''良好”记为事件八则P(