2024-2025学年广西某中学高二（下）期末数学试卷（B卷）含解析

2024-2025学年广西桂林中学高二（下）期末数学试卷（B卷）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},B={x\x2=x},则ACB=（）

A.{-1,2}B.{-1,0}C.[0,1}D.{-1,0,1）

2.在等比数列{厮}中，+a2-1,a4+as=8,则公比q的值为（）

A.4B.±4C.2D.±2

3.已知抛物线C：必=2px（p>0）的焦点为F,准线为/,点P（-9,0）与点尸关于直线1对称，贝"C的方程为

（）

A.y2=3xB.y2=6xC,y2—12xD.y2=24x

4.若（2x-专产的展开式中二项式系数之和为32,则该展开式中;的系数为（）

A.-48B.48C.-80D.80

5.已知角aeR,贝U"a为第二象限角”是“cosa<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表,

2

Mad-be)______在萱得2

并由f《7.822,参照附表，则下列结论正确的是（

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)"再1中Z)

附:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

A.根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关

B.根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过

0.001

C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

7.设数列的前几项和为%.若%=1,an+1=2Sn+1,则$6=（）

A.61B.121C.125D.364

8.已知函数/(%)与其导函数r(x)的定义域均为R,且广(鲁。)>0,则/(2—尤)=/Q)e2x-2,不等式

等<早的解集是()

A.(0,e2)B.(1,e2)C.(e,e2)D,(e2,+oo)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于(1-2x)7的展开式，下列结论正确的是()

A.第2项为一14%B.%2的系数为84

C.各项系数和为-2D.二项式系数的和为128

10.若函数/(X)=：%3—9X+2,下列说法正确的是()

A./(久)的单调递减区间是(-3,3)

B.x=一3是/(x)的极小值点

C.f(%)没有最大值也没有最小值

D.若函数g(x)=/(%)-a在区间［0,6］上有两个零点，则a的取值范围为(—16,2］

11.已知直线I：口久一y-4a+1=0,点P,Q是圆C：(久一4/+(y-2/=4上的动点，则下列结论成立

的是()

A.当。=时，直线2的倾斜角为与

B.直线1与圆C一定相交

C.直线锌皮圆C截得的弦长最大值为4

D.若点4在直线久+y-10=0上，NP2Q的最大值为60。，则点4的坐标可以是(4,6)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知随机变量X服从两点分布，其中P(X=1)=；,若Y=2X+3,则D(Y)=

13.在平面四边形2BCD中，AB=3,BC=4,CD=6,DA=7,则不•前的值为.

14.已知函数/'(久)=e*+s讥久，/'(久)为/'(久)的导函数，给出下列三个结论：

①f(x)在区间(0,+8)上单调递增；

②/Q)在区间(―兀,0)上有极小值；

③/''(X)在区间(-兀,+8)上有两个零点.

其中所有正确结论的序号是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/'(x)=2a-4X+2X—1.

(1)当a=—1时，求在xG［—3,0］上的值域；

(2)若/(X)在［1,+8)上单调递增，求实数a的取值范围.

16.(本小题15分)

强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标双考察

数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标y(考察逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取5名

考生的测试结果如下表：

X689t12

y23456

(1)若学科知识整合能力指标的平均值i=9,

(i)求1的值;

(苴)求y关于X的经验回归方程y=bx+a,并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；

(2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独

立；

甲高校：每门科目通过的概率均为最通过科目数记为随机变量X；

乙高校：第一门科目通过概率为爪(0<1),第二门科目通过概率为第三门科目通过概率为主通过

科目数记为随机变量y；

若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.

(附：经验回归方程y=bx+a中b和a的最小二乘估计分别为：b=

17.(本小题15分)

如图1,在直角梯形ABCD中，已知ADAB^BC=2,ABAD=90°,现将△4BD沿BD折起到

△PBD的位置，使平面PBD1平面BCD,如图2.

(1)求证：CD1PB-,

(2)求PC与平面BCD所成的角的正弦值；

(3)求二面角P-BC-。的平面角的余弦值.

18.(本小题17分)

nn

已知数列｛时｝满足曰=2+2T禺T+2或2c厂2+…+22C2+2碎,数列｛%｝满足%=nan.

⑴求数列也｝的前7项和土;

2

(2)若&<|fon-(1+2)n+n+［对任意的九eN*恒成立，求实数2的取值范围.

19.(本小题17分)

在直角坐标系xOy中，已知动圆过定点2(。,1),且截x轴所得的弦长为2.

(1)求动圆圆心的轨迹方程C；

(2)8,。为曲线C上的两个动点，过B,。中点M且与y轴平行的直线交曲线C于点N,曲线C在点N处的切线

交y轴于点P

(i)证明：BD//NP；

(过)若点”在直线)7=x上，求4BNP面积的最大值.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4={—1,0,1,2},B={x\x2=x)={0,1},所以4cB={0,1}.

故选：C.

先计算集合B,然后根据交集运算判断即可.

本题主要考查交集的运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为{即}是等比数列，且的+a2=1,a4+a5=8,

所以(％_+(22)q3=8,即q3=8,解得q=2.

故选：C.

利用等比数列的通项公式可求答案.

本题主要考查等比数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：由抛物线C：y2=2px(p>0),

知准线方程为乂=一8

根据对称性得+(—9)=2x(-,因此p=6,

故C的方程为f=12%.

故选：C.

根据点P(-9,0)与点F关于直线/对称列出方程，求解即可.

本题主要考查抛物线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：若(2久-《尸的展开式中二项式系数之和为32,则2n=32,

所以n=5,

则展开式的通项为〃+i=CI•(2久)5寸•(―力=(—1)。-25-r•备■x5-3r,

令5-3r=-1,贝忏=2,

展开式中工的系数为23x《=80.

故选：D.

由己知结合二项式系数的性质求出n,然后结合二项展开式的通项即可求解.

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：①若a是第二象限角，贝ijcosa<0,

②当cosa<0时，则a是第二象限角或者第三象限角或者终边在x轴负半轴上，

“a为第二象限角”是“cosa<0”的充分不必要条件.

故选：A.

根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解.

本题考查的知识点：三角函数的符号，命题的充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力，属

于基础题.

6.【答案】A

【解析】解:因为7.822<10.828,

所以根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概率超过

0.001,故A正确，B错误;

又因为7822>6.635,

所以根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过0.01

的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，

故C和。错误.

故选：A.

利用％2y7.822与临界值比较即可.

本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解:当n=1时，a2=2S1+l=2a1+l=3,

当nN2时，由%i+i=2Sn+1,

可得=2Sn_i+l(n>2),

相减可得，an+1—an-2(Sn—Sn_i)=2an,

所以tZn+i=3a5(MN2),

_3a1，

所以数列｛an｝是首项为1,公比为3的等比数列，

所以56=与甲=蓼=竽=364.

1-3ZZ

故选：D.

根据递推关系式求出及册+i与册的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可.

本题考查数列的通项与前n项和的关系、等比数列的通项公式和求和公式，考查转化思想和运算能力，属

于中档题.

8.【答案】B

【解析】解:令9(久)=exf(x'),则g'(久)=ex[f'(x)+/(%)],

因为小当鱼>0，所以当乂>1时，+/(x)>0,g'O)>0,g(x)在(1,+8)上为增函数，

当*<1时，f'(x)+/(%)<0,g'(x)<0,g(x)在(一8,1)上为减函数，

因为f(2尸%)=/(%比2*-2,所以e2-x/(2-£)

所以g(2-久)=g(x),故g(2)=g(0),

因为'警)<乌等价于<e2/(2),等价于g(伉x)<g(2),

所以0〈伍x<2,故l<x<e2,即不等式的解集是(l,e2)

故选：B.

构造函数g(x)=exf(x),通过求导结合条件分析g(x)的单调性，由/(2-x)=/(x)e2x-2,可得g(2)=

g(。)，将所求不等式转化为9(洗出)<9(2),利用单调性可得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于(1—2x)7,其展开式的通项公式为〃+1=OX廿-『X(―2x)r=(―2)r。/,r=0,

1,2,3,4,5,6,7,

对于2,令r=l得，72=(-2)1Gxi=-2x7Y=—14x,故A正确；

对于8,令r=2,则B=(-2)2。>2=4x疗=4x=84/,所以/的系数为84,故B正

0、''21(7—2)!2x1

确；

对于B,令久=1,则(1—2x1)7=(—1)7=—1,所以各项系数和为—1,故C错误；

对于C,根据二项式系数和的性质，二项式(1-2x)7的二项式系数和为27=128,故。正确.

故选：ABD.

根据二项式展开式的通项公式、各项系数和以及二项式系数和的相关知识来逐一分析选项.

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解:导函数f'Q)=%2=9=(x+3)(%-3),

当x6(―8,—3)U(3+8)时，/(久)>0,

当xG(一3,3)时，［(X)<0,

因此函数f(x)在(-3,3)上单调递减，在(-8,-3)和(3+8)上单调递增,

对于选项4〃久)的单调递减区间是(-3,3),因此选项A正确；

对于选项2：根据单调性可知x=-3是极大值点，因此选项2错误；

对于选项C：当Kt+8时，/(无)7+8,当*7—8时，f(X)T—8,

结合函数/(")的单调性可知，/(X)既没有最大值也没有最小值，因此选项C正确;

对于选项。：〃久)在［3,6］上单调递增，在［0,3］上单调递减，

所以/(久)疝n=/(3)=—16,又因为/(0)=2,〃6)=20,

函数g(x)=/(%)-a在区间［0,6］上有两个零点，

则a的取值范围为(-16,2］.故D正确.

利用导数分析函数的单调性可判断4C；根据极值定义可判断8；根据函数单调性及零点定义可判断。.

本题考查导数的综合应用，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项A,直线I：ax-y-4a+1=0,当a=V"^时，直线，的

倾斜角为或可知A正确；

对于选项8,直线八ax—y—4a+1=0,恒过(4,1)点，圆C：(%—4)2+(y—

2)2=4的圆心(4,2),半径为2,显然直线1与圆C一定相交.可知2正确；

对于选项C,因为直线过定点(4,1)且斜率一定存在，所以直线不过圆心，可知

C错误；

对于。选项，点4是直线八x+y-10=0上一定点，点P,Q是圆C：(x-4/+(y—2)2=4上的动点,

如图，

圆c的半径为2,所以直线上的点a到圆心的距离为4,结合图形，可知a的坐标为(4,6)满足题意.可知〃正

确.

故选：ABD.

求解倾斜角判断4判断点与圆的位置关系，判断B；通过直线的斜率判断直线与圆的位置关系判断C；求

解a的坐标，判断D.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

12.【答案】|

【解析】解：根据两点分布的特点得p(x=o)=',

22

mX)-lxi+Ox1=l,D(X)=lx(l-i)+|x(0-i)=^,

根据方差的性质得D(y)=22X令=g

故答案为：

根据两点分布的特点和方差公式得D(X)=得，再利用方差的性质即可得到答案.

本题考查两点分布的方差，考查方差的性质，是中档题.

13.【答案】10

【解析】解：平面四边形4BCD中，AB=3,BC=4,CD=6,DA=7,

故方-~BD=~CA-AD-~CA-AB-\AC\'\AD|cosz£)XC+\AC\'\AB|coszFXC

_|^C|2+|^D|2-|DC|2|ZC|2+|^B|2-|BC|2-|^D|2+|DC|2+|^B|2-|BC|2

=---------2-------+-------2-------=-----------2----------=T°.

利用向量减法的法则和定义法求解数量积可得刀-BD=CA-(AD-AB)=~\AC\-\AD\cosADAC+

\AC\-\AB\cosABAC，再结合余弦定理即可求解.

本题考查的知识点：向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

14.【答案】①②

【解析】解：因为/'(x)=ex+sinx,

所以/''(x)—ex+cosx,

对①当x6(0,+8)时，ex>1,cosxE［-1,1］>

所以此时((©>0,所以/(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以①正确；

对②③，因为/''(久)=ex+cosx,令fO=0,可得e*=—cosx,

因为y=与y=-cosx在(一兀,+8)仅有一个交点，且交点的横坐标&e(一兀,0),

且当x€(一兀,久°)时，ex<-cosx；久6。0，+8)时，ex>—cosx；

所以当xG(一兀,比)时，f<x)<0；6(%o,+8)时，f'(x)>0,

所以/(久)在区间(-兀,0)上仅有一个极小值点与，所以②正确；

所以尸(x)在区间(-兀,+8)上仅有一个零点沏，所以③错误.

故答案为：①②.

根据导数的几何意义，指数函数与三角函数的性质，针对各个问题，分别求解即可.

本题考查导数的综合运用，属中档题.

15.【答案】［一2,-刍；

［。,+8).

【解析】(1)当a=-1时，f(x)=—2•#+2*—1=-2(2，)2+2X-1.

1

々t=2",X6［—3,0］,tE［g/1］•

i7

则y=-2t2+t-1=-2(t--)2-

-17

当t=，时％nax=—7当土=1时％nin=-2,

故函数y=-2(t—2)2—LtE焉1］的值域为［—2,—刍.

4-0oo

所以当a=-1时，/(久)在久£［-3,0］上的值域为［-2,-)

(2)当a=0时，/(%)=2X-1,满足f(x)在［1,+8)上单调递增，满足题意；

当a力0时，设t=2",贝Uy=2<1产+t-1,(t>2).

因为1=2工单调递增，

所以要使/(乃在［1,+8)上单调递增，

须使y=2at2+t—1在［2,+8)上单调递增，

(a＞0,

所以11々,解得。＞°-

【一正42,

综上可得：实数a的取值范围为a20,即［0,+8).

(1)先利用换元法将指数型函数/(X)转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域.

(2)分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解.

本题主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题.

16.【答案】(i)t=10；(0)y=0.7x=2.3,7.5；

答案见解析.

【解析】(1)(。根据题意可得】==%解得［=10,

(ii)将题干数据代入所给公式中可得：

,_2区1阳为-5成_194-5x9x4在_AoQQ

b-2-.„_zci，//T\y\b-0.79CL-4-9x0.7——2.3,

^=1x?-5x425-5x81

所以y=0.7x-2.3,

令x=14,解得y=0.7x14-2.3=7.5,

所以预测值为7.5；

(2)由题意易知，随机变量个X满足二项分布X〜B(3,|),

所以E(X)=3x|="

由题意易知，随机变量丫的所有可能取值为0,1,2,3,

P(y=0)=(l-m)(l-11)x(l-|2)=i1(l-m),

12121271

12121215

P(Y=2)=mx-x(l—-)+mx(l—-)x-+(l—m)x-x-=-+—m,

121

P(Y=3)=mx-x-=-m,

436

7iir111

所以E(Y)=--+2(-+—m)+3x-m=—+m,

1Z5o1ZoiZ

当E(X)=E(Y)时，此时＜=［+m,得加=系

当E(X)＞E(Y)时，此时於居+机，又0＜机＜1,得0＜小＜系

当E(X)＜E(Y)时，此时5＜号+小，又0＜机＜1,得言＜小＜1,

所以，当他=会时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；

6U

当。＜小＜券时，该考生更应报考甲高校；

6U

当券＜小＜1时，该考生更应报考乙高校.

(1)。)由题意可得6+8+?"12=9,求解即可；(ii)利用最小二乘法求得回归方程，可求得预测值；

(2)利用X〜8(3,|),求得E(X),利用独立事件同时发生的概率公式与互斥事件的概率加法公式求得y的分

布列与数学期望，比较可得结论.

本题主要考查线性回归方程以及离散型随机变量的期望，属于中档题.

17.【答案】证明见解析；富

63

-1

【解析】(1)证明；因为力D=AB=^BC=2/BAD=90°,

则BD=CD=

可得BO?+CZ)2=贝UBDICD.

又因为平面PBD1平面BCD,且平面PB。Cl平面BCD=BD,CDu平面BCD,

可得CD，平面PBD,

且PBu平面PBD,

所以CD1PB.

(2)过点P作PE1BD,交BD于点E.

尸⑷

因为PB=P。，贝UE为8。的中点，

又因为平面PBO_L平面BCD,平面PBDCl平面BCD=BD,PEu平面PBD,

所以PE_L平面BCD.

连接CE,贝UNPCE为PC与平面BCD所成的角.

由(1)知BD=CD=22，

因为PE="CE=y/CD2+DE2=YIU,

则PC=7PE2+CE2=2/3,

所以直线PC与平面BCD所成的角的正弦值Sin/PCE=霹=?

(3)由(2)知PE1平面BCD,BCu平面BCD,所以PE1BC.

过E作EF1BC交BC于点F,连接PF,

尸⑷

因为PECEF=E,PE,EFu平面PEF,所以BCJj;fffiPEF,

且PFu平面PEF,所以BC1PF,

可知NPFE为二面角P-BC-D的平面角.

在△BCD中，EF=^-BC=1,贝！)PF=，P£2+£7/2

4

所以二面角P-BC-D的平面角的余弦值为子.

(1)根据题意利用勾股定理可得8。1CD,结合面面垂直可得CDJ_平面PBD,即可得结果;

(2)作辅助线，根据垂直关系可知NPCE为PC与平面BCD所成的角，即可得结果；

(3)作辅助线，根据垂直关系可知NPFE为二面角P-BC-D的平面角，即可得结果.

本题考查线线垂直的判定，已经空间角的计算，属于中档题.

n11

【解析】解：(1)数列｛厮｝满足厮=2"+2-Cr+2时2c厂2+…+22C2+24,数列｛4｝满足匕=

由二项式定理可得斯=(l+2)n-l=3n-l,

n

贝昉n=nan=n-3—n,

设几=1x31+2x32+3x33+-+nx3n,

贝!)3*=1x32+2X33+3X34+•••+(n-1)X3n+nX3n+1,

两式相减得：-2T=31+32+33+…+3n-71X3n+1=警-？)-nX3n+1=•3n+1-

n1—322

在l、lc(2n-l)-3n+1+31/「、

1

所以Si=-----4-------^Zn(n+1).

□i0

(2)若与<-—(-+A)n2+几+4对任意的荏EN*怛成立,

即有"1-3n+1+'一双等<1(n-3n-n)-1n2+n-An2+p

44ZZZ4

qH+1

整理得a<ga，

令r=”.耳状「、nEn+1=3n+2.4r^_=3n2=M+M+M

712n+122

—4n2'、"cn~4(n+l)3-(n+1)-n+2n+l

当九=1时，—＜1,当九22时，维里＞1,于是q＞。2V。3V。4V。5〈…，

qcn

因此VneN*,cn>c2=g,则;IW系

所以4的取值范围是（-8,元］.

（1）利用二项式定理求出厮，进而求出勾，再利用分组法及错位相减法求数列的前n项和；

（2）由恒成立的不等式分离参数，构造新数列，探讨其单调性求出最小值即可.

本题考查利用分组法及错位相减法求数列的前几项和，考查二项式定理的应用，属于中档题.

19.【答案】解：（1）设动圆圆心坐标为（x,y）,

因为动圆过定点力（0,1）,截x轴所得弦长为2,

所以/+（y-I）2=|y|2+1,

整理得刀2=2y,所以动圆圆心的轨迹方程C：x2=2y.