2024北师大版八年级数学上册 第二章题型强化练：二次根式的概念（含答案）

二次根式的概念

BI学习目标

课程标准学习目标

1,掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式.

①二次根式的定义

2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟

②二次根式有无意义的条件

练求值.

E思维导图

知识点01二次根式

知识点知识点。2二次根式有无意义的条件

知识点03二次根式的性质

题型。1判断二次根式

二次根式

题型02根据二次根式的定义求字母的值

题型03求二次根式的值

题型04根据二次根式有意义条件求范围

题型

题型。5根据二次根式有意义求值

题型06根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式

题型。7含隐含条件的参数范围化简二次根式

题型08复杂的复合二次根式化简

知识清单

知识点01二次根式

1.二次根式的概念:一般地，我们把形如JZ(a20)的式子的式子叫做二次根式，“、厂”称为称为二次根

号.如1［都是二次根式。

2.二次根式满足条件：(1)必须含有二次根号“一“；(2)被开方数必须是非负数.

【即学即练1】

1.下列各式中，是二次根式的是()

A.72B.V=4C.观D.4a

知识点02二次根式有无意义的条件

1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即、储有意义oa20；

2.二次根式无意义：被开方数为负数，即几无意义oa<0；

【即学即练2】

1.若式子Jx-2024在实数范围内有意义,则无的取值范围是（）

A,x2024B.x<2024C.%N2024D.%<2024

2.已知D<0,则化简二次根式xR的正确经

源是()

A.->y2B.C.4~yD.sfy

知识点03二次根式的性质

1.二次根式。（«>0）的非负性

&（。之0）表示a的算术平方根，也就是说，«(^>0)是一个非负数，即右20(^>0).

2.二次根式的性质：（tz>0）

3.二次根式4^的性质：叱=。={-2<o）

【即学即练3】

1.若J（a-l）2=l-a,则a的取值范围是（）

A.a<\B.a<\C.a>lD.a>l

2.已知l<x<2,化简,（x-iy+k—2]的结果为()

A.-1B.1C.2x—3D.3—2x

_____

题型精讲

题型01判断是否为二次根式

【典例1】下列式子不是二次根式的是（）

^05D.J

A.>/8B.y]3—7iC.

【变式1】下列各式是二次根式的是（）

A.75B.CD.我

【变式2】下列各式中一定是二次根式的是（）

A.gB.北C.*D.-#

【变式3】要使7T3在实数范围内有意义，尤可以取的数是（)

A.-2B.0C.1D.2

【变式4】下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.RB.岛C.际D.d病+1

题型02根据二次根式的定义求字母的值

【典例2】已知后工是整数，〃是正整数，则〃的所有可能的取值的和是（

A.11B.12C.15D.19

【变式1】已知J12-机是整数，则自然数根的最小值是（）

A.2B.3C.8D.11

【变式2】若同是一个整数，则正整数机的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3】已知〃是一个正整数，同是整数，则〃的最小值是（）

A.0B.4C.5D.20

题型03求二次根式的值

【典例3】当x=-2时，二次根式J-3x+10的值为（）

A.2B.±2C.4D.±4

【变式1］当a=6时，二次根式的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2】当尸-1时，二次根式j3x+7的值为（）

A.±2B.2C.-2D.也

【变式3］当x=l时，二次根式百工的值为（）

A.4B.76C.6D.2

题型04根据二次根式有意义条件求范围

【典例4】若二次根式万有意义，则实数无的取值范围是（)

A.xw3B.x>3C.x>-3D.x<3

【变式1】若二次根式^/^二？在实数范围内有意义，贝匹的取值范围是（）

A.aw3B.a>3C.a>3D.a<3

【变式2】若二次根式^/^^有意义，则无的取值范围是（）

3

D.x<—

2

【变式3】使行工+而7有意义的字母尤的取值范围（

A.全体实数B.x<2C.x>^D.-4<x<2

题型05根据二次根式有意义求值

【典例5】若y=Jx-4+J4-X+5,则12xy=.

【变式1］已知x、丁为实数，且y=77^I+j6-3x+3,则x+y的值为.

【变式2】已知实数了一满足〉=心！+万7+3,则历的小数部分是.

【变式3】已知y=J尤-5+，5-x+2,则.

题型06根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式

【典例6】化简：脚=.

【变式1］当2<。<3时，化简：|a-2|-7（«-3）2=.

【变式2］已知NABC的三边分别为2,x,5,化简-6x+9+|x-7|=

【变式3】已知点A、B、C在数轴上表示的数°、b、c的位置如图所示：

____III_________I_>

ab0c

化简：——\b+c\=.

题型07含隐含条件的参数范围化简二次根式

【典例7】二次根式曲（y<0）化简结果正确的为（）

A.3/72yB.-x^yC.Xy/xyD.-Xy[xy

【变式1】当必<0时，化简施的结果是（)

A.—ayf—bB.ay［—bC.—ciy/bD,ay[b

【变式2］已知，ab>0,化简二次根式％的正确结果是（)

Va

4.4bB.y[-bC.-4bD.-yf-b

-ayP

【变式3】化简：

Va

题型08复杂的复合二次根式化简

【典例8】阅读材料.

把根式Jx土2c进行化简，若能找到两个数机、“，是〃=X且"*=6，则把工±2/变成

m2+n2±2mm=(m±n)~开方,从而使得也±24化简.

如：73+2A/2=V1+2V2+2=^(Vl)2+2xlxV2+(V2)2=+=1+&卜1+0

解答问题:

⑴填仝：(5+2遍=>y/1—4y[3=______•

(2),3-20+75-276+77-2712+小9-2回

【变式1】有这样一类题目：将g±2物化简,如果你能找到两个数机、"，使疗+〃2=。且""=〃，则

将a±2扬将变成4+*±2.，即变成(帆士鼠)2开方，从而使得2扬化简.

例如，5+2逐=3+2+2#=(石丫+(0『+26.后=(6+四『，

，5+2新=J(石+何=上+及

请仿照上例解下列问题：

⑴，8-2店；

(2)^8-748.

【变式2】观察、思考、解答：

（应-1『=（@2-2*1*应+俨=2-2夜+1=3-20

反之3-2忘=2-20+]=（应可

3-2夜=（也可

二13-2近=叵-1

⑴仿上例，化简：（6-2如=>小-弧=•

（2）若6+2扬=而+«,则加、〃与。、6的关系是什么？并说明理由;

【变式3]像6后二赤，这样的根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以借助构造完

全平方式进行化简：

如：,4-2有=13-2昌1=⑹2-2xAl+F==6-1'

再如：,5+2#=73+276+2=J（如『+2氐&+（何='（如+&'=国&.,

请用上述方法探索并解决下列问题：

⑴化简：79+2-714=________-

（2）化简：,8-4/=________.

⑶若=k-6^2,且左，机,〃为正整数，求女的值.

'1P

强化训练

一、单选题

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.J/B.—y/aC.y/aD.yfa

2.若二次根式Jx+4在实数范围内有意义，则X的取值范围是（)

A.x>0B.C.x>^D.

3.当x取以下哪个值时，，6-2x的值最小（)

A.1B.2C.3D.4

4.下列各式中，不正确的是（）

A.J(-2『=—2B.J(—2『=2C.-#<=-2D.±7(-2)2=±2

5.化简二次根式一、，结果正确的是（）

A.ay/-aB.-ay[-aC.-ajaD.a^a

二、填空题

6.化简：y/20a3b2(&>0)=________.

（r-3）0

7.使式子去、■有意义，则x的值为________

8.若师是整数，则正整数。的最小值是

9.已知a=2,b=-8,c=5,贝|-"扬一4ac=

2a

10.已知无、y是实数，且满足y=Jx-3+j3-x+g,则的值为

三、解答题

11.当X是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）A/3-2X；

（2），2始+1；

（3）4+1.

x—5

12.若^A^斤+伽+2_l)2_0求J4q+/的值.

13.若实数a,b,c满足—==J^+存？.

⑴求a,b,c；

⑵若满足上式的a,c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长.

14.已知a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示.

―1________________II________I__________»

a0*c

(1)A/O^=，V?=；

(2)Jp-cJ=;

(3)化简：^b-a)2-|a-c|-4^-

15.观察下列等式，解决下列问题:

第一个等式:

第二个等式:

第三个等式:

⑴第四个等式为：；

⑵请用正整数”(〃22)来表示含有上述规律的第"个等式，并证明.

16.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题:

化简：(-|l-x|.

解：隐含条件1-3彳20,解得:x<1,

1—x>0.

原=(1-3x)-(1-x)—1-3x-1+x-—2x.

【启发应用】

(1)按照上面的解法，试化简：J(x—3)2—(3F.

【类比迁移】

(2)实数6在数轴上的位置如图所示，化简：77-4(a+6)2-物-4.

—1------------1―।--------->

a0b

(3)已知。也c为ABC的三边长.化简：^a+b-cf+^a-b-c)2.

参考答案

二次根式的概念

—

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式.

①二次根式的定义

2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟

②二次根式有无意义的条件

练求值.

iiH思维导图

知识点01二次根式

知识点知识点02二次根式有无意义的条件

知识点03二次根式的性质

题型01判断二次根式

二次根式

题型02根据二次根式的定义求字母的值

题型03求二次根式的值

题型。4根据二次根式有意义条件求范围

题型

题型05根据二次根式有意义求值

题型06根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式

题型07含隐含条件的参数范围化简二次根式

题型08复杂的复合二次根式化简

知识清单

知识点01二次根式

1.二次根式的概念:一般地，我们把形如疝»0）的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根

号.如6,历A都是二次根式。

2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号“«”；（2）被开方数必须是非负数.

【即学即练1]

1.（23-24八年级下•云南昆明•期末）下列各式中，是二次根式的是（）

A.亚B.V=4C.双D.8

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如人（。20）的式子叫做二次根式.

根据二次根式的定义，形如的式子，判断即可.

【详解】解：A.四是二次根式，故本选项符合题意；

B.Q的被开方数是负数T,不是二次根式，故本选项不符合题意；

C.我是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；

D.夜的被开方数。＜0时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；

故选：A.

知识点02二次根式有无意义的条件

1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即、储有意义oa20；

2.二次根式无意义：被开方数为负数，即几无意义=a<0；

【即学即练2】

1.（23-24八年级下•云南曲靖•阶段练习）若式子Jx-2024在实数范围内有意义,则无的取值范围是（）

A.xw2024B.x<2024C.xA024D.x<2024

【答案】C

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开

方数不小于0,依此即可解答.

【详解】解：回式子J尤-2024在实数范围内有意义,

团彳一2024>0,

解得：x22024,

故选C.

2.（23-24八年级下•山东威海•期末）已知个<。，则化简二次根式的正确结果是（）

A.72B.C.GD.-4y

【答案】c

【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得y<0,结合

题意可得%>o,y<o,再利用二次根式的性质化简即可.

【详解】解：团DV。，

取与y异号，

又团-~4N0,

x

团y<0,

团犬>0,y<0,

回41二工"年3'

故选：c.

知识点03二次根式的性质

1.二次根式&（<2>0）的非负性

（。之0）表示a的算术平方根，也就是说，«（a»0）是一个非负数，即右（a>0）.

2.二次根式的性质：（«■『="（a>0）

3.二次根式7?的性质：7?=|«|=｛舞2）

【即学即练3】

1.（23-24八年级下•吉林•期末）若yj（a-l）2=l-a,则。的取值范围是（）

A.a<lB.a<\C.a>lD.a>l

【答案】B

【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据必=同可得i-azo,则。41.

【详解】解：回“”_1）2=j,

01-（7>0,

0<7<1,

故选：B.

2.（2024・四川乐山•中考真题）已知l<x<2,化简J（无-1?+|尤-2]的结果为（）

A.—1B.1C.2%—3D.3—2x

【答案】B

【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据"=问化简二次根式，然后再根据1<x<2去绝对值即可.

【详解】解：+\x-2\=\x-l\+\x-2\,

町<x<2,

[?]x-l>0,x—2<0,

团归一—=x-1+2—x=1,

团+|x-2|=1,

故选：B.

04题型精讲

k

题型oi判断是否为二次根式

【典例1]（23-24八年级下•内蒙古呼和浩特,期末）下列式子不是二次根式的是（）

A.A/8B.13—71C.Jo.5D-

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键.

直接利用二次根式的定义分析得出答案.

【详解】解：A、&是二次根式，故此选项不合题意；

B、当3-兀＜0时，万看不是二次根式，故此选项符合题意；

C、后是二次根式，故此选项不合题意；

D、R是二次根式,故此选项不合题意；

故选：B.

【变式11（23-24九年级上•四川宜宾•期末）下列各式是二次根式的是（）

A.75B.4~2C.，2-兀D.坐＞

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的定义，掌握形如6（。＞0）的式子是二次根式解题即可.

【详解】解：A.6是二次根式；

B.后无意义，不是二次根式；

C.万不无意义，不是二次根式；

D.将，根指数为3,不是二次根式；

故选4.

【变式2】（23-24八年级下•广西百色•期中）下列各式中一定是二次根式的是（）

A.gB.^3C.V=FD.-V6

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握式子叫

做二次根式是解题的关键.

【详解】解：A、-2＜0,则/工不是二次根式，故不符合题意；

B、将是三次根式，故不符合题意；

C、-52＜0,则"不是二次根式，故不符合题意；

D、是二次根式，故不符合题意；

故选。.

【变式3】（23-24八年级下•浙江丽水,期末）要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数即可得出答

案.

【详解】解：.在实数范围内有意义，

/.X—220,

:.x>2,

故选：D.

【变式4］（23-24八年级下•广西河池•期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.J-4B.yfiaC.V5yD.J加+1

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键.

形如&（。20）的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可.

【详解】解：A、万中的被开方数T<0,故不是二次根式，不符合题意；

B、图中的。不一定大于等于0,故不是二次根式，不符合题意；

C、场是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；

。、是二次根式,符合题意，

故选：D.

题型02根据二次根式的定义求字母的值

【典例2］（23-24八年级下•云南昭通•期中）已知7^二?是整数，”是正整数，贝U”的所有可能的取值的和

是（）

A.11B.12C.15D.19

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义.

根据二次根式的定义即可求出答案.

【详解】由题意可知：8-n>0,

:.n<8,

回庐^是整数，W是正整数，

回〃=4或7或8,

「.4+7+8=19,

故选：D.

【变式1］（22-23七年级下•广东汕头•期末）已知疟薪是整数，则自然数根的最小值是（）

A.2B.3C.8D.11

【答案】B

【分析】先根据二次根式求出力的取值范围，再根据二是整数对根的值进行分析讨论.

【详解】解：由题意得：12-〃ZN0,解得〃?W12,

又因为病方是整数，

町2-机是完全平方数，

当12—%=0时，即1=12,

当12-加=1时，即帆=11,

当12—%=4时，即机=8,

当12—〃？=9时，即〃？=3,

综上所述，自然数机的值可以是3、8、11、12,所以加的最小值是3,

故答案选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0

的整数是解答本题的关键.

【变式2】（22-23八年级上•福建福州,期末）若属是一个整数，则正整数机的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出机的值.

【详解】回廊是一个整数，且机是正整数，屈20,

勖”的最小值为3,此时屈的值是整数3.

故选C.

【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.

【变式3］（22-23八年级下•福建福州•期中）已知〃是一个正整数，同是整数，则”的最小值是（）

A.0B.4C.5D.20

【答案】C

【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定”的值.

【详解】解:720^7=V4X5XM=25,

回圆?是整数，〃是一个正整数，

0n的最小值是5.

故选C.

【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键.

题型03求二次根式的值

【典例3］（23-24八年级下•浙江衢州•期中）当x=-2时，二次根式J-3X+10的值为（）

A.2B.i2C.4D.+4

【答案】c

【分析】本题考查求二次根式的值，先将x=-2代入，再利用二次根式的性质化简求解即可.

【详解】当x=-2时，

J-3x+10=3x（-2）+10=-\fl6=4.

故选：C.

【变式1】（23-24八年级下•浙江杭州•期中）当。=6时，二次根式向I的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式求值，将。=6代入二次根式，直接求解即可.

【详解】解：当。=6时，yja—1=A/6—2=yfi=2

故选：B.

【变式2】（23-24九年级上.海南彳詹州.期末）当x=-l时，二次根式j3x+7的值为（）

A.±2B.2C.-2D.72

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把x=-l代入原式化简即可.

【详解】解：当％=-1时，原式=j3x（-l）+7="=2,

故选：B.

【变式3］（23-24八年级下•浙江杭州•期末）当x=l时，二次根式行与的值为（）

A.4B.76C.6D.2

【答案】D

【分析】本题考查二次根式的定义，把尤=1代入求值即可.

【详解】解：当x=l时，二次根式j5-x=J'5-1=V?=2,

故选：D.

题型04根据二次根式有意义条件求范围

【典例4］（23-24八年级下•辽宁营口,期末）若二次根式VT。有意义，则实数x的取值范围是（）

A.xw3B.x>3C.x>-3D.x<3

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

根据二次根式有意义的条件，可得：x-3>0,据此求出实数x的取值范围即可.

【详解】解：.•二次根式石与有意义，

x—320,

解得：x>3.

故选：B.

【变式1］（23-24八年级下.福建福州•期末）若二次根式病二？在实数范围内有意义，则。的取值范围是（）

A.B.a>3C.a>3D.a<3

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【详解】解：02a-6>O,

:.a>3,

故选：C.

【变式2］（23-24八年级下.山东聊城.期末）若二次根式石石有意义，则x的取值范围是（）.

31333

A.%之一B.—C.x>—D.x<—

2222

【答案】B

【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质.概念：式子后,20）叫二次根式.性质：二次根式被开方

数必须为非负数，否则二次根式无意义.掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式性质，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：由题意得，3-2x20,

解得：尤W］.

故选：B.

【变式3】（23-24八年级下•新疆和田•期中）使次二1+而7有意义的字母x的取值范围（）

A.全体实数B.x<2C.x>-4D.-4<x<2

【答案】C

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：尤+420,解得：x>-4；

故选C.

题型05根据二次根式有意义求值

【典例5］（23-24八年级下,吉林松原,期中）若y=Jx-4+J4-X+5,则J2xy=.

【答案】2回

【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值

成为解题的关键.

先根据二次根式的非负性求得无，进而求得》然后代入计算即可.

【详解】解：团y=4-4+，4-%+5,

回]f4%一-4在>0°，解j得,…=4,

团旷=5,

回[2xy=J2x4x5=2-s/lO.

故答案为：2M.

【变式1]（23-24八年级下•四川绵阳•期中）已知％、V为实数，且〉=^^+7^石+3,则的值

为.

【答案】5

【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出X的值，进而得出y

的值，进而得出答案.

【详解】解：0J=7^2+V6-3X+3,

fx-2>0

[6-3尤20

..x=2,

y=3,

:.x+y=5,

故答案为：5.

【变式2】（23-24八年级下•湖北荆州•阶段练习）己知实数无，y满足y=GI+后1+3,则向的小数

部分是.

【答案】76-2/-2+T6

【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得无，V的值是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件求得x，y的值，然后求出而，利用无理数的估算求得小数部分.

【详解】解：由题意可得：x-2>0,2-x>0,

贝l]x=2,y=0+0+3=3,

则y[xy=<2x3=76,

4<6<9,

:.2<y/6<3,

则而的小整数部分是2,小数部分是6-2,

故答案为：A/6-2.

【变式3】（23-24八年级下•山东烟台,期中）已知y=++则/=

【答案】25

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出X的值是解题关键；利用二

次根式有意义的条件进行求解即可；

x-5>0

【详解】解：由题意知:

5-x>Of

解得：X=5,

二.y=2,

.3=25,

故答案为：25；

题型06根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式

【典例6］（23-24八年级下.辽宁抚顺•期中）化简：后7=-

【答案】ab2G

【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次

根式的性质是解题的关键.

【详解】解：回被开方数恒为非负数，即后中，加20,

回■中，a3>o,b4>0,

团Ja%4—y/a^ja-yj^b2—ab~y/a>

故答案为：ab2\［a.

【变式1】（23-24九年级上•全国•单元测试）当2<。<3时，化简：|a-2|-7（«-3）2=.

【答案】2a-5/-5+2a

【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由2<a<3得到a-2>0,a-3<0,从而将

|a-2|-"3）2化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键.

【详解】解：2<a<3,

CL—2>0,a—3<0,

二|a-一1a-3|

=a—2+a—3

—2a—5,

故答案为：2a-5.

【变式2］（2024・四川乐山•模拟预测）已知VA5C的三边分别为2,羽5,化简正工+7|=.

【答案】4

【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键.

首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简.

【详解】解：2、X、5是三角形的三边，

;.3<x<7,

x—3>0,x—7<0,

•••M5^=7（^-3）2+7（^-7）2=|x-3|+|x-7|=x-3+（7-x）=4.

故答案为：4.

【变式3】（23-24八年级上•重庆沙坪坝•期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数。、6、c的位置如图所示：

I]I1A

ab0c

化简：^-4^-\b+c\=.

【答案】a-c

【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题

的关键.先根据数轴判断。、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正

负号，去掉绝对值，最后再合并同类项.

【详解】解：由图可知：a<b<O<c,且同>回，

/.Z?+c>0,

—J、—k—b—（—a）—（b+c）=b+a—b—c=a—c

故答案为：J

题型07含隐含条件的参数范围化简二次根式

【典例7]（23-24八年级下•浙江嘉兴,期末）二次根式曲（y<0）化简结果正确的为（）

A.xy/x2yB.-xyjx2yC.x.JxyD.-xy/xy

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据><。，得出xWO,二次根式

的性质化简后=-%而，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简.

【详解】团尤UN。，<0,

团原式=w

=-Xy[xy,

故选：D.

【变式1】（23-24八年级下•河南安阳•期中）当必<0时，化简旅的结果是（）

A.—ci\/—bB.—bC.-ci\[bD.cisfb

【答案】C

【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键.

由心的积小于0得到。与匕异号，再根据负数没有平方根得到》大于0,进而确定出。小于0,所求式子利

用二次根式的化简公式即可得到结果.

【详解】

解：H<0,二。与Z?异号，

a2b>0,：.b>0,

a<0,

则yja2b=|a|\[b=-a亚.

故选：C.

【变式2】（23-24八年级下•天津•期中）已知，必>0,化简二次根式4「?的正确结果是（）

Va

A.4bB.QC.-4bD.-Q

【答案】D

【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化

简得到答案.

【详解】解：回〃>o,

团一6>0,故b<0,

团而>0,

团〃<0,

故选：D.

【变式3】（23-24八年级下•内蒙古巴彦淖尔•期中）化简：-a口=___

Va

【答案】G

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可.

【详解】根据题意有：-120,a^O,

a

团4<0,即一。>0,

故答案为：•

题型08复杂的复合二次根式化简

【典例8](23-24八年级上•四川巴中•阶段练习)阅读材料.

把根式Qx土2c进行化简，若能找到两个数机、“，是〃=x且"*=77,则把x±2«变成

m2+n2±2mm=(;〃±4开方,从而使得y^x±2^y化简.

如：J3+20=Jl+20+2=jMj+Zxixg+l匈2=小+司=|1+V2|=1+V2

解答问题：

⑴填空：小+2娓=,(7_4石=.

(2)73-272+75-276+小-2屈+19-2回

【答案】(1)血+石；2-6

(2)-1+^5

【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键.

(1)仿照例题，根据(应y+(若y=5,拒x百=",即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得

出答案.

(2)根据材料提供计算步骤，对，3—2a+，5-2"+，7-2厄+：9-2技进行化简，进行计算即可.

【详解】(1)解:回5+2融=2+3+2痣=(应尸+(石)2；+2x0xg'=(0+6)2,

：5+2#="(0+后=0+.；

Q7-473=3+4-4A/3=(^)2+22-2x2x73=(2-V3)2,

77-473=7(2->/3)2=2—5

(2)解：.3-2应+15-2a+77-2>/12+79-2720

=』+(码2_2血+,(6)2+(0)2-2"+,(历+22—2厄+J(南+2?_2而

222

=^-1/+^-V5)+^(2-V3)+^-2)

=V2-1+A/3-V2+2-A/3+A/5-2

=-1+A/5.

【变式1](23-24八年级下•湖南湘西•阶段练习)有这样一类题目：将交±2扬化简,如果你能找到两个数

222

机、“，使加+n=a且mn=网,则将〃±26将变成M+n±2〃?〃，即变成(例±力)开方，从而使得土2上

化简.

例如，5+2«=3+2+2#=(g『+(也『+26・应=(6+0『，

.■.,5+2后=J(G+0)2=肉应

请仿照上例解下列问题：

(1)也-2屈；

(2)^8—A/48•

【答案】⑴有-6

(2)A/6--72

【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，

(1)结合题干思路方法作答即可；

(2)结合题干思路方法作答即可.

【详解】⑴解：8-2岳=5+3-2厉=(有-@2,

二./-2厉=6-。；

(2)解：8-灰=8-2厄=6+2-2赤0=(向可，

,-.^8-748=76-72.

【变式2】(23-24八年级下•辽宁大连,阶段练习)观察、思考、解答：

=(72)2-2xlxV2+12=2-272+1=3-272

H±3-2A/2=2-2A/2+1=(V2-1)2

3-2J2=(^-1)2

73-272=72-1

⑴仿上例，化简：=，4一如=•

(2)若Ja+2&=y/Tii+sfiz，则"2、”与。、》的关系是什么？并说明理由;

【答案】⑴痒1,2-y/3

(2)m+n=a,mn=b；理由见解析

【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；

(1)仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；

(2)由题意知，a+2y/b=(Vm+^)2,用完全平方公式，再进行比较即可确定相、〃与。、匕的关系.

【详解】（1）解：,6-2石=｛（逐）2_2痴xl+f=J（6_1）2=6_1；

,7-莉=722-2x2x73+(^)2=7(2-^)2=2—退；

故答案为：V5-1,2-73;

(2)回Ja+2扬=Vm+品，

团Q+2y/b=(Vm+Gy

即a+2yfb=m+n+2yjmn，

^\m+n=a,mn=b

【变式3](23-24八年级下•江苏淮安・期末)像]1瓜小病—屈,这样的根式叫做复合二次根式.有

一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：

如：,4-2年=53-2年+1=AI+F=J(殍I)