2025年高二数学秋季开学摸底考02（人教A版）解析版

2025年高二数学秋季开学摸底考02（人教A版）

全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.复数z=±N的虚部为（）

1

A.-3B.-3iC.1D.i

【答案】A

【详解】因为复数z=U=-（3+i）i=l-3i,

所以虚部为-3.

故选：A.

2.数据86,82,78,93,86,84,81,90,85,79,86,85,88,81,87的众数和中位数分别为（）

A.85,86B.85,85C.86,85D.86,86

【答案】C

【详解】数据86,82,78,93,86,84,81,90,85,79,86,85,88,81,87从小到大排序可得：78,

79,81,81,82,84,85,85,86,86,86,87,88,90,93,

所以该组数据的众数为86,中位数为85.

故选：C.

3.如图,空间四边形Q4SC中，OA=a,OB=b，次=1点M在线段/O上，且如到=2囚。|,点N为

)

A.-a^b+-c［一1一1一

+B.-ciH—bH—c

322322

C.一匕+与+=1-11一

D.——a+—b7+—c

322322

【答案】D

【详解】|材4|=2根。|,点N为2。中点,

MN^MO+ON^--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

322322

故选：D

4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是()

A.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”

B.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”

C.事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7”

D.事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8”

【答案】B

【详解】对于A,二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误；

对于B,二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确；

对于C,二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误；

对于D,二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4),故D错误.

故选:B

5,正方体中，直线45与平面44CG所成角的余弦值为()

A.IB.—C.—D.—

2322

【答案】D

【详解】如图所示，设点。为正方形/BCD的中心，所以80—

因为44]_L平面/BCD,且平面N3CD,所以AA]_LB。，

又因为BO_L/C,AAtr\AC=A,//“/Cu平面，

所以801平面/4GC，

所以直线州与平面A.ACC,所成角即为N54。，

不妨设正方体棱长为1,则80=/O=*,48=拒,=乎，

故选：D.

6.在△跖：中，COS24=^,则“BC的形状为（）

22c

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【详解】由题意，cos咚=1+字'=看,化简整理得cosB=q,

222cc

sin

根据正弦定理，可得cosB=^—,即sin4=cosBsinC,

sinC

因为Z+5+C=TC,所以sinZ=sin（5+C）=sinBcosC+cosBsinC=cosBsinC,

则sin5cosC=0,

又•・,5,C£（0,7i）,sin5w0,

jr

则cosC=0,C=—.

2

所以A/BC的形状为直角三角形.

故选：B.

7.如图，三棱锥/—BCD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面在。与底面BCD垂直，E为8C中点,

EF=DA，则平面与平面48尸夹角的余弦值为（）

A.—B.—C.巫D.

553

【答案】B

【详解】如图，连接/瓦。石，

因为么8=8。=4。=。8=。。,£为8。中点，

所以/E_L3C,DE_L2C,

又平面ABC_L底面BCD,平面ABCH底面BCD=BC,AEu平面ABC,

所以/E_L平面BCD,故EZ）,E2,创两两垂直，

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设N8=2,由丽方，

可得4（0,0,@,£»（百,0,0）,3（0,1,0）,尸卜6,0,石），

则AB=（0,1,-73）,10=（百,0,-6）,箫=（-73,0,0）,

设平面ABD的一个法向量为四=（X,%z）,

in-AB=y—拒z=0

则有■令x=l,得^=追/=1,则成=（1,百,1）,

rh-AD=^x->/3z=0

设平面48尸的一个法向量为力=（a/,c）,

n-AB=b-y/3c=0

则有＜令c=1得4=0,6=A/§\得亢=（0,g\l）,

n-AF=—y[?>a=0

m,n42-75

则cos〈西方〉=丽=万7=丁

则平面4D3与平面48尸夹角的余弦值为述.

5

故选：B.

8.抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用了表

示绿色骰子的点数，用GJ）表示一次试验的结果,设4="两个点数之积是偶数"，2=“至少有一颗骰子的点

数为5"，则尸（/U3）=（）

12八18

A.-B.—C.-D.一

4939

【答案】D

【详解】基本事件空间为：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,

（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,

（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,共36个基本事件.

事件A包含的基本事件有：（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,2）,

（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,

（6,4）,（6,5）,（6,6）.共27个，

77a

所以尸（/）=痛=二

事件3包含的基本事件有：（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（6,5）.共11个基本事件.

所以尸（3）=］.

事件/cB包含的基本事件有：（2,5）,（4,5）,（5,2）,（5,4）,（5,6）,（6,5）.共6个基本事件.

所以尸（/n8）=《=K

Joo

31118

+-

根据概率的加法公式可得：尸（/U2）=尸（/）+尸（2）-尸（zng）4-3-6--6-9-

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.现对1200名学生的某次物理成绩进行统计分析，得到如下频率分布直方图，则（）

B.a=0.030

C.成绩在［70,80）的学生人数为300D.成绩的中位数小于70

【答案】AB

【详解】由频率分布直方图可知，成绩在［70,80）的人数最多,

所以将这个区间的中点75作为众数的估计值，故A正确;

由所有小长方形的面积和即频率和为b

可知(0.010x2+0.015x2+0.020+a)xl0=l,解得。=0.030,故B正确;

成绩在［70,80）的学生人数为1200x0.030x10=360,故C错误;

因为成绩在［40,70）的频率为（0.010+0.015+0.020）x10=0.45<0.5,

成绩在［40,80）的频率为（0.010+0.015+0.020+0.30）x10=0.75>0.5,

所以成绩的中位数落在区间［70,80）内，即成绩的中位数大于70,故D错误;

故选：AB

10.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=4i，则8可以是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】ABC

【详解】由正弦定理，可得sin2=M^=^sinN,

a2

（r~\/X

Vsin（0,1],sin5e0,—,又b<a,则5<4,故

所以Be,：.

故选：ABC.

11.如图，在棱长为2的正方体/BCD-中，点。为线段2。的中点，且点P满足旃=2前+〃函

（0W4W1,0<//<1）,则下列说法正确的是（）

A.若Of//平面4瓦九则外+1最小值为:

B.若PO_L平面&AD,则彳=：,〃=1

C.若4="=（，则尸到平面/RD的距离为孚

D.若4=1,0<A<m,直线。尸与平面所成角为。，贝UsinSe事,事

【答案】ACD

【详解】如图，以点。为坐标原点，以加、DC、所在直线为x、八Z轴建立空间直角坐标系,

则有。（0,0,0）,/（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,2）,5,（2,2,2）,4（2,0,2）,G（0,2,2）,

0（1,1,0）,

则数=(-2,0,0),函=(0,0,2),BP=ABC+]uBBx=(-22,0,2/z),

对于A：45=（0,2,-2）,方彳=（2,0,2）,取=（2,2,-2）.

2y-2z=0、

设平面4班的一个法向量为而=（x/,z）,则有cc八，令x=l,则y=z=-i,故沅=z(1,-1,一1).

2x+2z=0

因为万力+而=（2-242,2〃一2）,2尸〃平面,

所以帚•印=2-22-2-2〃+2=0,得2+〃=1,又因为0WX,所以分+〃2,（\〃）=g,

当且仅当%=〃=；时，等号成立，所以外+/的最小值为《，故A正确；

对于B：瓦5=（-1,-1,0）,贝|丽=瓦5-丽=（24_1,-1,_2〃），

22-1-1-111

若尸OJ.平面42。，则有丽〃碗，即

1-1-1

解得2=1,〃=g,故B错误；

1-►,、\BP'ff\1-1-l|7r-

对于C：若人“=彳，则8尸=（-1,0,1）,则尸到平面4助的距离为=4石，故C正确;

2\m\J33

对于D：前=（—2,—2,0）,当2=1,时，丽=丽—丽=（0,2,2〃），

”•所取+2||〃+1|_百6L2

则卜os。尸，比卜A

£>P||W百x)4+4〃23J"?+13\+13Np1+1

当〃=。时，卜os（DP,而，=,

当且仅当M=1时，等号成立，故（os丽，司e,即sinde,故D正确.

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87,85,83,90,92,93（单位：分），则这6名同

学数学成绩的第75百分位数为（单位：分）.

【答案】92

【详解】6名同学的成绩按从小到大顺序排列为：83,85,87,90,92,93,

6x75%=4.5,

所以第75百分位数为第5个数：92.

故答案为：92.

ac,、/.3x+2vi

13.定义运算八=ad-bc,如果（x+y）+（x+3）i=”1户/为实数，则刈的值为_____.

bd—y1

【答案】-2

【详解】如果（X+M+（无+3）i='=3无+2y+yi,无/为实数，

~y1

fx+y=3x+2y

那么＜_,解得x=T，.y=2,所以中=-2.

[x+3=y

故答案为：-2.

14.在平面上有如下命题：“若。为直线外一点，则点P在直线上的充要条件是：存在实数4必，满

足丽=2万+〃历，且％+〃=1”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体。的棱长为1,

—■—1—•I—•__

P为底面/2C内一点，且满足OP=XO/+§O8+5。。，其中彳为实数，则而.次=.

7

【答案6

【详解】将该命题类比到空间中，有“若。为平面N2C外一点，则点P在平面/3C上的充要条件是：存在

实数x,y,z,^^OP=xdA+yOB+zOC,且x+y+z=l.”

正四面体O/2C的棱长为1,P为底面/BC内一点，且满足丽=彳a+；砺+g反，其中2为实数，则

%+:+:=1，解得几=），

326

贝ij丽京=仁次+工砺+工京」+,xL+LL工

（632）6322212,

^7

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

知向量值=（1,1,0）,b=（-1,0,2）.

⑴若,+届）〃（21+6）,求实数我；

（2）若向量~+癌与2G+3所成角为锐角，求实数人的范围.

【详解】（1）因为方=。,1,0）,6=（-1,0,2）,

所以。+口=（1一左,1,2左），21+3=0,2,2）,

因为,+砌//侬+3），所以—=；=解得：4=；；

（2）因为向量4+汇与2@+B所成角为锐角，

所以（@+京）｛2@+彼）＞0,且石与2,+6不同向共线，

由（1）知，a+kb=（l-k,l,2k）f2a+b=（1,2,2）,

］一左+2+4左＞0

故Li，

k手一

12

解得左＞-1且左即左的取值范围为后＞-1且左片上

22

16.（15分）

某沙稻研究中心利用早直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取5块试验田，其亩

产量数据（单位：10kg）如下：

甲4751495053

乙4451605852

（1）利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；

（2）产量的变异系数（CV）是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，CT越小，产量越稳定，生产的

准

风险也越小，其计算公式为io。％.根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？

均值

【详解】（1）甲品种产量样本的平均值福=；=50,极差为53-47=6；

乙品种产量样本的平均值石=44+51+.+58+52=53,极差为60_44=16

所以甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定：乙品种的产量较高，但波动较大.

（2）甲品种的样本方端=⑷-5。丫+（51-5。『+（49；5。『+（5。-5。丫+（53-5。）、彳,

所以甲品种产量的变异系数C匕=—xl00%=4%；

150

乙品种的样本方差

2（44-53）2+（51-53）2+（60-53）2+（58-53）2+（52-53）2“

S-7-=32，

乙5

所以乙品种产量的变异系数C%=叵*100%=勺与又100%々10.7%.

25353

因为C匕＜。匕，所以甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广.

17.（15分）

一个袋子中有5个球，其中〃（1V"V5,"eZ）个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2

个球.

（1）若"=3,求第二次取到红球的概率；

3

（2）若取出的2个球都是红球的概率为伉，求〃.

【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作生,出,4，。4，。5，

从中依次不放回取出2个球，样本点有

（%,%）,（%,），（%，%），（%，。5），（2，%），（42，。3），（。2,%），（%，%），

（。3，%）,（。3，。2），（。3，。4），（。3，。5），（%，%），（%，％），（%，/），（%，％），

（生吗）,（。5，。2），（。5吗），（。59），

共20个样本点，

记”第，次取到红球”为事件4,贝卜'第，次取到绿球”为事件4，

不妨设为红球，氏，。5为绿球.两次都取到红球，则"（44）=6.

先取到绿球再取到红球，则”（互）=6,

于是尸（⑷="（⑷="（44）+"（44）=3,

（20-5

3

即第二次取到红球的概率为父

（2）两次都取到红球为事件44,"（44）=«（»-1）.

所以两次取出红球的概率为尸（44）=以柴，

即空/得，解得I.

18.（17分）

在ZUBC中，角N,B,C的对边分别为a,b,c,2b-c=2acosC,b=2.

⑴求4

（2）若。为3C中点，且近，求△/BC的周长；

（3）若△ABC是锐角三角形，求△NBC面积的取值范围.

【详解】（1）因为26-c=2acosC,由正弦定理得2sin8-sinC=2sin/cosC,

即2sin（4+C）—sinC=2sin/cosC,

所以2sin/cosC+2cos/sinC—sinC=2sin^4cosC,

所以2cos/sinC-sinC=O,因为Ce（0,兀），所以sinCVO,

17r

所以2cos4-1=0得COS4=5,由/£（0,兀），得/=§；

(2)因为。为8c中点，所以9=g(次+就卜

1,21/——>►'2

贝Ij/o=-^AB+AC+AC+2AB-AC],

所以7=；/+4+2°2.£|,解得c=-6（舍）或c=4,

由余弦定理得/=/+c2—2bccos/=4+16—2x2x4xg=12,所以°=23',

所以ZUBC的周长为a+6+c=2g+2+4=26+6;

(3)在ZUBC中，由正弦定理得.八.

sinCsinBn

.71

所以bsinC2sm（8+§）sin5+百cosBV3

c=--=--------------------------------=1H---------

sinBsinBsinBtanB

71

0<B<-

7IT7T

根据题意得；,解得乙<3<彳，

62

0<C=生-工

[32

V3（0,3）,所以1+巫e（l,4）,

所以tanBe--,+■»,所以-------G

I3）tan8'7tan5v7

所以△/BC的取值范围是

建2局

19.（17分）

如图，在四棱锥尸-4BCZ）中，侧面平面4BCD,△尸40是边长为2的等边三角形，底面/BCD为

直角梯形，其中BC7/4D,AB1AD,AB=BC=1.

（2）求线段尸/中点M到平面PCD的距离.

（3）线段尸。上是否存在一点E,使得平面胡C与平面D/C夹角的余弦值为孚？若存在，求出会的值;

若不存在，请说明理由.

【详解】（1）由于平面尸4D_L平面480,平面尸4Dc平面/BCD=40,

•.・48_L40且48u平面ABCD,

,:48）平面尸4