2025年人教A版新高二数学暑假预习：双曲线及其标准方程（3知识点+6大题型+思维导图+过关检测）学生版

专题24双曲线及其标准方程

’内容导航一预习三步曲

第一步：学

析教材学知识教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识6大核心考点精准练

第二步：记

思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

知识点01：双曲线的定义

1、定义：在平面内与两个定点耳、工的距离之差的绝对值等于非零常数（小于阳与I）的点的轨迹叫做双

曲线.两个定点及、工称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为闺耳,

2、双曲线的集合表示：尸={"阿4|-惘3=2",0<2”闺F2|}.

注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：

俨媚—归闾=2a<|耳闻（a>0）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点工的一支;

I里|一忙耳|=2。<|耳司（a>0）,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点耳的一支;

（2）若常数a满足约束条件：||尸用—怛司=2a=由国，

则动点轨迹是以Fi、F2为端点的两条射线（包括端点）；

（3）若常数a满足约束条件：忸用-|Pg|=2a>|片闾，则动点轨迹不存在；

（4）若常数a=0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点02：双曲线的标准方程

1、双曲线的标准方程

知识点03：双曲线的焦点三角形

求双曲线中的焦点三角形耳心面积的方法

(1)①根据双曲线的定义求出归周-归矶=2a；

②利用余弦定理表示出|P制、|P阊、|耳闾之间满足的关系式;

③通过配方，利用整体的思想求出|明卜|?居|的值；

④利用公式S=gx||P闾sinN与P鸟求得面积。

(2)利用公式S=gx闺耳卜屏|求得面积；

【题型01：双曲线的定义及辨析】

一、单选题

22

1.（24-25高二上•北京延庆•期末）已知尸是双曲线C:土-二=1上的动点，则P到双曲线两个焦点距离之

412

差的绝对值为（）

A.+4B.4C.8D.4v

2.（24-25高二上•安徽蚌埠•期末）已知A（0,-2）,8（0,2）,动点P满足|上4HpM=2,则点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线的一支C.双曲线D.射线

22

3.（24-25高二上•山西晋中・月考）双曲线=-匕=l（a>0）的两个焦点分别是片与尸2,焦距为8；M是双

a12

曲线上的一点，且|咋|=5,贝词的值为（）.

A.9B.1C.1或9D.2

22

4.（24-25高二下•河南•月考）双曲线C：土-工=1上的点A到右焦点的距离为19,则它到左焦点的距

25144

离为（）

A.9B.7C.9或29D.7或19

5.已知动点尸（x,y）满足J（x+2『+r一J（尤一2）2+/=2,则动点P的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线左支

C.双曲线右支D.一条射线

6.（24-25高二上•湖北武汉・期末）在平面直角坐标系xOy中，己知点A（-2,0）,3（2,0）,点尸是平面内一

个动点，则下列说法正确的是（）

A.若|以|+归同=4,则点P的轨迹为椭圆

B.若|咫-2|郎=0,则点尸的轨迹为椭圆

C.若忸川-忸同=4,则点尸的轨迹为直线

D.若|必-|尸3|=2,则点P的轨迹为双曲线的一支

【题型02：求双曲线的标准方程】

一、单选题

1.（24-25高二上•四川成都・期末）设耳（-5,0）,耳（5,0）为定点，动点尸（x,y）满足|附卜|桃||=6，则动点P

的轨迹方程为（）

A.工+匚1B,匚匚1C,匚屋1D,£-^=1

916916916916

2.（24-25高二上.北京・月考）化简方程优尤+5）2+。--5）气。=8的结果是（）

A­=1D.-----------=1

-73916

「尤2丁

1D-

2516

3.（23-24高二上.云南迪庆.期末）已知点“卜2百,0）,N（2区动点P满足条件1PM尸N|=4.则动

点尸的轨迹方程为（）

2222

A.J匕=1人2)B.--^=l(x<-2)

416I741617

2222

C.--^=l(x>4)D.---匕=l(x4-4)

164I)16417

4.（24-25高二上•内蒙古包头•期中）过点（2,2）且与椭圆9/+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为（）

A.^-21=1B,《一£=1cD

6868♦卜-9j

5.（24-25高二上.河北•期中）已知双曲线经过点4（2也@,4-2五-阿，则其标准方程为（）

V2V2

A一「-1B.土-匕=1

4334

c.

34

【题型03：判断方程是否表示双曲线】

一、单选题

1.（24-25高二上•北京大兴•期末）已知双曲线」1+4=1的焦点在x轴上，则实数机的取值范围是（）

m-12-m

A.（fl）B.（1,2）

C.（1,+co）D.（2,+8）

22

2.（24-25高二上•四川内江•期末）若方程「-----匚=1表示双曲线，则实数，〃的取值范围是（）

m+1m-1

A.（-1,1）B.（-^,-1）

C.D.（-8,-

22

3.（24-25高二上•山东青岛・月考）关于x,y的方程-------匚=1,给出以下说法错误的为（）

4-m3+m

A.方程可以表示双曲线B.方程可以表示椭圆

C.方程可以表示圆D.当方程表示双曲线时，焦距为定值

4.（24-25高二上•云南临沧•月考）当a从。至1］兀逐渐变大时，方程尤2+ycosa=l表示的曲线依次为（）

A.圆，椭圆，两条直线，双曲线

B.圆，椭圆，双曲线

C.椭圆，一条射线，双曲线，圆

D.圆，椭圆，一条直线，双曲线

二、填空题

22

5.（24-25高二上•全国•课后作业汜知方程乌匚+=1所表示的曲线为双曲线，则加的取值范围为_____.

2-mm-3

6.（23-24高二上•重庆・期末）若方程〃/+（2+根）炉=1表示焦点在了轴上的双曲线，则实数机的取值范围

为.

【题型04：双曲线中的焦点三角形问题】

一、单选题

22

1.（24-25高二上・北京・月考）设月，F?分别是双曲线匕-土=1的下、上焦点，P是该双曲线上的一点,

412

且31P6|=5归鸟|,贝U2月外的面积等于（）

A.12B.24C.12A/3D.2473

2-®25高二下•安徽・月考）设P是双曲线Cq-右支上一点'小工分别是双曲线C的左、右

焦点，。为坐标原点，Q为线段尸耳的中点，若则|尸耳|的值为（）

A.2B.4C.6D.8

222

3.（24-25高二上•河北衡水•月考）已知椭圆土+匕=1与双曲线V一匕=1有相同的焦点小鸟，且椭圆与

a123

双曲线在第一象限的交点为P,贝Ij的值为（)

12-34

A.-B.-C.一D.-

5555

4.（24-25高二上・江苏泰州•期中）已知双曲线C：玄-丁=1的左右焦点为耳,工，过尸2的直线/与双曲线C

的右支交于A，3两点，若1加1=2,则一小祖的周长为（）

A.12B.14

C.10D.8

22

5.（24-25高二上•河南・月考）已知耳，F?分别是双曲线C：1T-齐=1（。>0,6>0）的左、右焦点，尸为C

上一点，有即=3,且「耳尸耳的面积等于66,贝畀=（）

A.76B.6C.V3D.3

二、填空题

22

6.（24-25高二上•全国•课后作业）己知双曲线的标准方程为工-匕=1,左、右焦点分别为耳B，且双曲

916

线上有一点尸使得S两弓=25,则点P的坐标为.

22

7.（24-25高二上•陕西西安•月考）已知双曲线C：T-%=l（a>0，b>0）的左、右焦点分别为耳，工，点尸在

双曲线右支上，则P耳工的内切圆与x轴的切点横坐标为.

【题型05：双曲线中的轨迹方程问题】

一、单选题

1.（24-25高二上・云南・月考）设A5两点的坐标分别为（-3,0）,（3,0）,直线AM与浏/相交于点M,且

2

它们的斜率之积为则点M的轨迹方程为（）

2.（23-24高二上•四川成都•期末）相距1400m的A,8两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s,已知声

速是340m/s,炮弹爆炸点一定在曲线（）的方程上.

2222

A.——-----------........=1(%K—510)B.—................—=1(x2510)

260100229900260100229900

C.y=0(x<一700或%>700)D.—------------—=1

260100229900

3.（23-24高二上•重庆•期中）已知"（-2,0）,圆C:x2-4x+y2=o,动圆p经过M点且与圆C相切，则动

圆圆心尸的轨迹方程是（）

,-V2,、

A.x2-^-=l(x>l)B.y-y2=l(x>V3)

Cx2V-1v-2

D.——/=]

33

二、填空题

4.（23-24高二上.河南周口・期末）动点”（x,y）与定点网0,3）的距离和它到直线=g的距离的比是常

数则动点M的轨迹方程是.

5.（24-25高二上•上海•课堂例题）已知尸为圆C：（尤-5『+y2=36上任意一点，A（-5,0）.若线段以的

垂直平分线交直线尸C于点Q,则点Q的轨迹方程为.

【题型06：双曲线中的距离最值问题】

一、单选题

1.（24-25高二上•江西・月考）已知双曲线C:；-y2=i的右焦点为F?,点尸在。的右支上，且。（2,1,

则|尸0+|「阊的最小值为（）

A.4-273B.后一2石

C.岳-26D.近

2

22

2.（23-24高二上•浙江金华・月考）已知圆C:/+（y-4）2=l上有一动点尸，双曲线M：上一匕=1的左焦点

97

为尸，且双曲线的右支上有一动点Q,则|PQ|+|Q-的最小值为（）

A.472-1B.4A/2-5C.40+7D.40+5

3.（24-25高二下•贵州贵阳•月考）过双曲线V-、=i的右支上一点八分别向圆G：（无+3）?+/=2和圆

G：（x-3y+y2=l作切线，切点分别为/、N,则忸的最小值为（）

A.10B.11C.12D.15

二、填空题

4.(24-25高二上•上海•期末)已知尸是双曲线。:亍-丁=1的右焦点，动点尸在双曲线的左支上，点。为

圆G：f+(y+2)2=1上一动点，则归Q|+|PF|的最小值为一.

丫2

5.(24-25高二上•山西太原•期末)已知双曲线E：工-丁=1的左焦点为尸，点加是月右支上的动点，点

3

N是圆X2+(y-2)2=3上的动点，贝“肱—的最大值为.

定义在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数

一、双曲线的定义附W玛|=2a<国同(a>0),

则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点行的一支；

理解

四卜|两|=%<国用|(a>0),

则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点我的一支；

焦点在Z轴上=l(a>0朽>0>

双曲线的标准方程二、双曲线的标准方程

焦点在沙轴上<a>0-6>0)

三、双曲线中的焦点三角形

一、单选题

1.(23-24高二上.江西・月考)已知点8(0,4),C(0,-4),动点A满足||4?|-卜。=26,则A的轨迹方程为

()

y2

A.B.

313164

D=i

C.-f4

164

22

2.（24-25高二上•广东•期中）已知双曲线C:土-二=1的两个焦点分别为片，K,双曲线C上有一点P,

412

若户用=5,则归用=（）

A.9B.1C.1或9D.11或9

22

3.（24-25高二下•甘肃庆阳•开学考试）已知方程—土—+3―=1表示焦点在无轴上的双曲线，则实数”

5+2m2m-1

的取值范围是（

A.1一？,+8

2

4.（24-25高二上•山西太原•期末）已知双曲线C以椭圆方程E：/+1_=1的焦点为顶点，以E的顶点为

焦点，则双曲线C的标准方程为（）

22丫2

A.—-/=]B.f_2L=iD.丁——=1

4444

5.（24-25高二上•新疆・月考）动点尸到点“（TO）,N（1,O）的距离之差等于2,则动点P的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的一支

C.两条射线D.一条射线

6.（24-25高二上.辽宁・期末）已知A（0,-2后），网0,2后），动点夕满足回-阀=2屿，则点P的轨迹

方程为（）

22

2*4

A.^--x=l（y>V7）B.'一尤2=]

22

C.5-丁=1（尤n"）D.-^--y2=1

7.（24-25高二上•天津河北•期末）已知双曲线过点（-2,0）,且与椭圆4/+9;/=36有公共焦点，则双曲线

的标准方程是（）

2222

A.---%2=1B.-=1C./一匕=iD.-=1

4444

8.（24-25高二上•四川绵阳•期中）已知A（-1,O）,8（1,0）,直线相交于点M,且直线AM与直线

BM的斜率之积为1,则点M的轨迹方程为（）

A.x2+y2=l（x±1）B.x2-y2=l（x^±1）

22

C.x2-^-=l（x^±l）D.x2+^-=l（x^±l）

9.（24-25高二上•贵州铜仁・月考）在平面直角坐标系My中，已知点A（-2,0）,B（2,0）,尸是一个动点,

则下列说法正确的是（）

A.若|刚+怛到=4,则点尸的轨迹为椭圆

B.若IPA+MH%一尸耳，则点尸的轨迹为圆

C.若|必-仍理=2,则点尸的轨迹为双曲线

D.若|尸加2_怛3|2=4,则点尸的轨迹为一条线段

10.（2024・四川•模拟预测）已知6，F?分别为双曲线C的左、右焦点，过目的直线与双曲线C的左支交

于A8两点，若|前|=2国用，|的=忸闾,贝ijcosN片3❷=（）

A.—B.-C.-D.-

18993

11.（24-25高二上•湖北武汉•期末）已知圆A:（x+3）2+V=4,3（3,0）,点尸在圆A上运动，设线段网的

垂直平分线和直线班的交点为。，则。点的轨迹方程为（）

A.x2-^=lB.x2-^=lC.y2-—=lD.y2-^=l

8686

12.（24-25高二上•江西・月考）若动圆过定点A（2,0）,且和定圆C:（x+2『+/=1外切，则动圆圆心尸的

轨迹方程为（）

A.x2=B.x2_：=］（xV_g）

C.4/一蒋=1『一D.4x2=

22

13.（23-24高二上.江苏苏州・月考）已知双曲线C:3-\=1的下焦点为尸，4（3,7）,尸是双曲线C上支

上的动点，贝班尸耳-|即|的最大值是（）

A.不存在B.8C.7D.6

二、填空题

14.（24-25高二上•全国•课后作业）经过点«2，¥］网3,-2拒）的双曲线的标准方程为.

15.（23-24高二上.天津静海・月考）若方程（1+租）尤2一根了2=］表示焦点在，轴上的双曲线，则实数机的取值

范围为.

16.（24-25高二上•湖南•期中）设片，F?为双曲线］一y2=i的两个焦点，点尸是双曲线上的一点，且

/居尸居=90,则片PF2的面积为.

17.（23-24高二上•山西大同・期末）点K，F?分别是双曲线E：'-y2=i的左