2025年人教版新七年级数学暑假专项提升：几何图形 （培优讲义）

衔接点04几何图形

Q街接展板I

小学阶段初中阶段

小学阶段，学生主要学习常见的平面几何图形（如进入初中后，几何图形的学习则更加注重逻辑推理

三角形、四边形、圆）的周长与面积，以及基本的与证明.学生不再满足于通过实验得出的结论，而

立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表是需要从理论上进行严格的论证.例如，"三角形的

面积与体积.这一阶段的学习重点在于建立图形的内角和等于180。”这一结论，在小学阶段可能通过

直观表象，理解基本特征和简单的计算方法.测量得到，而在初中则必须通过演绎推理来证明.

这一转变要求学生具备较强的逻辑思维能力和抽象

思维能力.

衔接指引

为了帮助学生顺利从小学过渡到初中的几何学习，以下是一些有效的策略和方法：

巩固基础知识：在进入初中之前，学生应确保熟练掌握小学阶段的所有几何图形的基本特征和计算公

式.可以通过做练习题和复习笔记来巩固这些知识.

培养几何直观与空间观念：通过观察和操作实际图形，培养学生的几何直观和空间观念.例如，可以使

用模型、拼图等工具进行实际操作，增强对图形的理解.

提前预习初中内容：利用暑假时间预习初中的几何内容，了解将要学习的知识点和难点，做好心理准

备.可以参考相关的预习资料和在线课程.

注重逻辑推理训练：通过解决简单的逻辑推理题，培养学生的逻辑思维能力.可以从小规模、简单的证

明开始，逐步增加难度，让学生适应几何证明的要求.

多做综合练习题：通过做综合性的几何练习题，提高解题能力和思维灵活性.特别是涉及多种方法和思

路的题目，可以帮助学生深入理解几何知识.

认识基本的平面图形如三角形、正方形、长方形、圆形等

几何图形的初步认识

认识基本的立体图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等

学习图形的分类如平面图形和立体图形

图形的分类与特征---------------------------------------------

--------------------了解图形的特征如边的数量、角的大小、面的形状等

小学阶段学习计算平面图形的周长和面积如长方形、正方形的周长和面积公式

图形的周长与面积（-----------------------------------------------------------------------------------

-----------------------［初步了解圆的周长和面积公式

学习图形的平移、旋转和对称等基本变换

图形的变换f------------------------------------------------

-通过实际操作，如折纸、拼图等，体验图形的变换

深入学习平面图形的性质和定理如三角形的内角和、全等三角形的判定等

几何图形的进一步认识-----------------------------------------------------------------------------

------------------------学习立体图形的表面积和体积的计算如长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积公式

学习几何证明的基本方法如直接证明、反证法

几何证明（-----------------------------------------------------

-----------通过证明，理解几何图形的性质和定理

引入坐标系，学习如何在坐标系中表示几何图形

坐标系与几何图形f-------------------------------------------------------

初中阶段-----------------------［通过坐标系，研究几何图形的性质和变换

深入学习全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的证明方法

相似与f-------------------------------------------------------------

----------------［学习相似三角形的性质和判定，理解相似比的概念

学习圆的基本性质如圆心角、圆周角、弦、切皤

圆的性质।--------------------------------------------------------

-----------掌握圆的周长和面积公式，以及弧长和扇形面积的计算

Q知钦衔接

1、基本公式

正方形：C-4-a；S=axa.长方形：C=（a+Z?）x2；S=a〃.平行四边形：S-ah.

三角形：S=a/z+2.梯形：S=（a+Z?）x/z+2.圆：C=nd=2nr；S=兀『.

正方体Sst=axax6；V=axaxa长方体S表=（ab+ah+bh）x2；V=abh

圆柱体、圆锥体（人：高；S：底面积；厂：底面半径）

圆柱侧面积：S=2/rr-h；圆柱表面积：S—2nr-h+2/rr2；圆柱体积：V=Sh；圆锥体积：V=-S-h

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）

运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等.

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算.

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积.还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半.

通过对面积问题的训练可以打开思维.特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升.最后我

写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论.

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法.

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成.有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方.

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=Sz-S空白.

容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利

用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部

分面积.

典例精研

考点一：割补法求面积--平移与对称

典停I、

1.（2024・四川绵阳.小升初真题）已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是（）平方厘米.

【答案】2

【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的

边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积=长义宽，代入数据计算，即可求出阴影部分

的面积.

【详解】2x(24-2)

=2x1

=2（平方厘米）

阴影部分的面积是2平方厘米.

2.（2022.河北石家庄.小升初真题）求如图阴影部分的面积.

4cm

4cm

【答案］4cm2

【分析】如图:

三角形是等腰直角三角形，所以圆内左边的阴影部分图形等于右边虚线围成的空白弧形部分，所以，阴影

部分的面积也就是整个三角形面积的一半，根据三角形的面积公式：S=ah-2,把数据代入公式解答.

【详解】4X4-2+2

=16―2+2

=8+2

=4(cm2)

阴影部分的面积是4cm2

3.（2024•山东潍坊・小升初真题）求阴影部分的面积.（单位：cm）

【答案】13.5cm2

【分析】

如图:,把右边阴影部分移动左边，阴影部分等于长是6cm,宽是3cm的长方形面

积，减去底是3cm,高是3cm的三角形面积，根据长方形面积公式：面积=长、宽，三角形面积公式：面积

=底、高+2,代入数据，即可解答.

【详解】6x3—3x3:2

=18—9—2

=18—4.5

=13.5（cm2）

阴影部分面积是13.5cm.

4.（2024.四川巴中•小升初真题）求图中阴影部分的面积.（兀取3.14）

【答案】6cm2

【分析】如下图，把上方的两个阴影移补到箭头所示的空白处，这样阴影部分的面积=梯形的面积一三角

形的面积；根据梯形的面积=（上底+下底）x高：2,三角形的面积=底乂高"，代入数据计算求解.

【详解】2+2=4(cm)

(4+6)x2：2—4x2:2

=10x2:2—4x2:2

=10-4

=6(cm2)

阴影部分的面积是6cm2.

5.（23-24六年级下•辽宁•课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的图形

运动求出涂色部分的面积吗？

E

【答案】6.28平方厘米

【分析】

如图所示，以点O所在的水平直线为对称轴，可将下方的两个涂色部分通过轴对称

变换到上方，则涂色部分可转化为半个圆环.连接OA,OB得到三角形AOB,因为三角形AOB的面积=大

圆的半径x大圆的半径+2=3正方形ABCD的面积，据此求出大圆半径的平方；根据小圆的直径=正方形

的边长求出小圆的半径，利用半个圆环的面积=（大圆的面积一小圆的面积）+2,求出半个圆环的面积也就

是涂色部分的面积，据此解答.

【详解】

把大圆的半径看作R

在三角形AOB中，有』XR2=16+4

2

-R2=4

2

R2=8

正方形ABCD的面积为16平方厘米，则正方形ABCD边长为4厘米.

4+2=2（厘米），因此小圆的半径为2厘米.

3.14x(8-22)4-2

=3.14x(8-4)-2

=3.14x4+2

12.56+2

=6.28（平方厘米）

答：涂色部分的面积是6.28平方厘米.

瞎

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

〃

DFC_F_C

S阴影=S正方形FEBC

AEli

AEB

?fcDFC

S阴影=S正方形ABHG

出AEB

4EB

I)CDC

:

S阴影=t^AADC

A0BA0B

1,__P1D

H

S阴影=S扇形DCE

BCH四C

ADA1)

阳S阴影=ZS正方形ABCD=SABOC

BCBC

1.（2024•浙江宁波・小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF垂直于AB,求阴影部分的面

积.

【答案】6.56平方厘米

【分析】

如上图割补，则阴影部分的面积=大扇形的面积一梯形BCEF的面积；大扇形的面积等于半径是4厘米的

圆面积+4,梯形的上底和高都等于正方形边长+2,根据S圆=?1r2,Sw=（a+b）h+2解答即可.

【详解】4+2=2（厘米）

3.14x42+4—（2+4）x2+2

=3.14x16-4-6x2+2

=12.56—6

=6.56（平方厘米）

答：阴影部分的面积是6.56平方厘米.

2.（22-23五年级下•江苏扬州•期末）下图中阴影部分的面积是（）平方厘米.

【答案】144

【分析】观察图形可知，右面的扇形和左面空白的扇形完全相同，把阴影部分的扇形填补到左面，两个阴

影部分组成一个正方形.正方形的面积=边长x边长，据此解答.

【详解】12x12=144（平方厘米），则图中阴影部分的面积是144平方厘米.

【点睛】把两个阴影部分组成一个正方形进行计算是解题的关键.

3.（22-23六年级下•云南昭通・期末）图形探索.

情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图.接着，

她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？’.经过深入思考，可她还是不能解决.假如小雪向你请教，

你能帮她解决吗？

♦4cm+|E

（1）我向小雪这样介绍思路：

（2）我指导小雪这样列式计算：

【答案】（1）见详解；

（2）4x4=16（平方厘米）

【分析】⑴如图：、把圆中右边的阴影部分对称到左边，这样就把所

B|<-4cm0

有阴影部分变成一个底为4厘米，高为4厘米的平行四边形.通过平行四边形的面积公式即可求出阴影部分

的面积.

（2）根据平行四边形的面积=底乂高，代入数据即可列式求出阴影部分的面积.

【详解】（1）我向小雪这样介绍思路：通过对称，把阴影部分的面积转化成一个平行四边形的面积，利

用平行四边形的面积公式即可得解.

（2）我指导小雪这样列式计算：

4x4=16（平方厘米）

答：阴影部分的面积是16平方厘米.

【点睛】此题主要考查阴影部分的面积，通过轴对称，巧妙的运用平行四边形的面积公式解决问题.

4.（2024・全国•小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积.

【分析】（1）连接CD、DB发现ABDC是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面.则阴

影部分的面积=扇形E4F面积一正方形ABAC面积，其中扇形是一个圆心角为90。，半径为8厘米的扇

形，则扇形的=1万户.正方形的面积=边长x边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直

角三角形的面积和.则直角三角形ACD面积=底、高xg=直径x半径xg,则正方形的面积=直径x半径xg

x2=直径x半径.

（2）连接CO,则阴影部分面积=平行四边形的面积一扇形AOC面积一三角形BOC面积.平行四边形的面

积=底、高；三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30。，则顶角就是120。即NBOC=120。，

ZBOC和NAOC合在一起是平角，为180。，贝叱AOC=60。.则扇形AOC的圆心角是60。.扇形AOC面积=

22

—7rr=yPr,半径是平行四边形底的一半.三角形BOC面积=底乂高x；,底是半径，高是平行四边形

360。62

的高.

1,

-X3.14X82-8X(8-2)

=-x3.14x64-8x4

4

=3.14x16-32

=50.24-32

=18.24(平方厘米)

则阴影部分的面积是18.24平方厘米.

(2)4x1.75=7(平方厘米)

1800-(180o-30°x2)

=180°-(180°-60°)

=180°-120°

=60°

—x3.14x(4-2)2

360

1-

=-x3.14x22

6

=-x3.14x4

6

a2.09(平方厘米)

2x1.75x1=1.75(平方厘米)

2

7-(2.09+1.75)

=7-3.84

=3.16（平方厘米）

则阴影部分的面积是3.16平方厘米.

考点二：割补法求面积-旋转

1.（23-24五年级下•河南洛阳.期末）如图所示，三个同心圆中的最大圆的两条直径互相垂直，最大的圆

的半径是6cm,第二大圆的半径是4cm,最小圆的半径是2cm.阴影部分的面积是（）.

【答案】28.26cm2

【分析】将阴影部分旋转后可得:

由图可知：原阴影部分的面积等于大圆面积+4,将数据带入圆的面积公式计算即可.

【详解】3.14x62-4

=3.14x9

=28.26（cm2）

【点睛】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算.

2.（2023•四川成都・小升初真题）求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）（万取3.14）

【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积呜.根据S=W代入数据计算即

66

【详解】3.14x6^1.28.26（平方厘米）

即阴影部分面积是28.26平方厘米.

3.（21-22五年级下•山西大同•期末）计算涂色部分的面积.

8厘米

3厘米

【答案】32平方厘米

8厘米

【分析】由图可知，①和③面积相等，把涂色部分①转化为③，②和④面

8厘米

积相等，把涂色部分②转化为④，此时所有涂色部分组成一个三角形，三角形的面积是整个正方形面积的

一半，据此解答.

【详解】8x8+2

=64+2

=32（平方厘米）

所以，涂色部分的面积是32平方厘米.

1.（2021•江苏扬州・小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正

方形的中心点上.旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是

）平方厘米.

【答案】20

【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA=OC,AAOB和ACOD形状大小完全相同,

可以将ACOD割补到AAOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积呜，正方形面积就是重叠部分的

面积x4,即可解答.

5x4=20（平方厘米）

【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答.

2.（2023•全国•小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm,兀取3.14）

【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米

【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90。然后再平移，阴影部分的面积相当于底

是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积=底乂

高，用8x（8+2）+2即可求出阴影部分的面积.

（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4,下底为7,高为4的梯形

的面积，梯形的面积=（上底+下底）x高+2.

【详解】（1）8x4+2

=32+2

=16（平方厘米）

阴影部分的面积是16平方厘米.

（2）（4+7）x4+2

=44+2

=22（平方厘米）

阴影部分的面积是22平方厘米.

考点三：和差法求面积

典修P

1.（2024•江苏扬州・小升初真题）一个零件横截面的形状如图.这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少

【答案】50.24平方厘米

【分析】观察图形可知，涂色部分的面积=大半圆的面积一小圆的面积，根据圆的面积公式S=KT2,代入

数据计算求解.

【详解】16-2=8（厘米）

8+2=4（厘米）

3.14x8292—3.14x42

=3.14x64+2—3.14x16

=100.48-50.24

=50.24（平方厘米）

答：这个零件横截面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米.

2.（2024六年级下•江苏.专题练习）求下面各图涂色部分的面积.

8dm

【答案】44dm2,9.435dm2

【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8+6）dm,高为8dm的三角形的面

积即可;

（2）用上底为3dm,下底为4dm,高为（3+4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的;‘再减去底和高都

为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积.

【详解】8X8+6X6-(6+8)x8：2

=64+36—14x8:2

=100—11292

=100-56

=44(dm2)

(3+4)x(3+4)+2—3.14x32x；—4x4+2

=7x7+2-3.14x9x,-16・2

4

=49・2-28.26x^-8

4

=24.5—7.065—8

=17.435—8

=9.435(dm2)

【答案】10.99cm2；20.52m2

【分析】涂色部分的面积为内直径是6cm,外直径是8cm的圆环的面积的一半；

如下图，空白部分①和②面积相等，等于边长是6m的正方形面积减去半径是6m的:圆的面积，那么涂

色部分的面积为边长是6m的正方形面积减去空白部分①、②的面积，据此解答.

=[3.14X42-3.14X32]-2

=[3.14xl6-3.14x9]-2

=3.14x06-9)+2

=3.14x7+2

=21.98+2

=10.99(cm2)

故涂色部分面积是10.99cm2.

6X6-(6X6-3.14X62-4)X2

=36-(36-3.14x36+4)x2

=36-(36-28.26)x2

=36-7.74x2

=36-15.48

=20.52(n?)

故涂色部分面积是20.52m2.

4.(2024五年级•全国•课后作业)如图，长方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中点,

F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积.

【答案】234平方厘米

【详解】试题分析：此题是求图中组合图形的面积，可以利用辅助线将它转换成规则图形，如图，连接

BH,将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题.利用三角形面积公式进行解

AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米,

因为F、G分别是四等分点，

所以BF=；AB=]X24=6（厘米），

DG=[DO1X24=6（厘米），

SABFH+SADHG,

=°BFXAHJDGXHD,

22

=1x6XAH+,义6XDH,

=3xAH+3xDH,

=3x（AH+DH）,

=3xAD,

=3x26,

=78（平方厘米），

因为E是BC的中点，BE=13厘米，

SABEH=-^X13X24=156（平方厘米），

78+156=234（平方厘米）,

答：阴影部分的面积为234平方厘米.

点评：组合图形的面积计算，转化成规则图形的面积计算时解题的关键.

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

s阴影扇形胡尸一S

自：MDE

K

S阴影二S半圆AC+S半圆5。—4cB

石-------(:

FBFB

40S阴影=S扇形+SbOCE-S扇形ooc

4C0重Ac0：

E

AA

S阴影=S扇形AOC+S郎oc

4

QS阴”影一SQ扇-形A03-s

1.（20-21六年级上.吉林・期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，45=AC=8cm,弧AD是以

CA为半径的圆的一部分，ZC=45°,求图中阴影部分的面积.

【答案】18.24平方厘米

【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面积=直径8厘米的半圆面积+弧

AD半径CA的扇形面积一三角形面积.

45

【详解】3.14x（8：2）2-2+3.14x82x——一8x8:2

360

=3.14x16^2+3.14x64x--32

8

=25.12+25.12-32

=18.24（平方厘米）

2.（20-21六年级上•广东深圳•期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB为直角，。是的中

点，AB=20厘米，圆弧G。、印）的圆心分别在A、B两点，求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）

cH

ADB

【答案】107cm2

【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，则NCAB=2CBA=45。，圆弧GE和圆弧HF的半径相等，

则这两部分能够组成一个半径是20:2=10厘米，圆心角是90。的扇形，根据扇形的面积公式：S=；

xm2,把数代入即可求解，圆弧ED和圆弧FB中的空白部分能够组成一个正方形，圆弧ED和圆弧FD能

够组合成一个半径是10厘米，圆心角是90。的扇形，用这两个圆弧的面积减去正方形的面积即可求出三角

形内阴影部分的面积，知道正方形的对角线的长度，则面积=对角线x对角线+2,之后两部分的阴影部分

面积相加即可.

【详解】3.14x（20-2）2乂!

4

=3.14xl00x-

4

=314x1

4

=78.5（平方厘米）

78.5+（78.5-10x10^2）

=78.5+28.5

=107（平方厘米）

答：图中的阴影部分面积是107平方厘米.

【点睛】本题主要考查扇形的面积公式以及正方形的面积公式，要注意正方形的面积可以用两条对角线相

乘除以2即可.

3.（2023六年级•全国・竞赛）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面

22

积为（）平方厘米.（万取亍）

【答案】32.5

【分析】

阴影部分的面积=扇形的面积+正方形的面积一空白部分的面积.扇形是一个直角扇形，则扇形的面积=:

x圆的面积=［万日正方形的面积=边长x边长，直角三角形是一条直角边是正方形的边长为4厘米，另外一

条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积=两条直角边的乘积+2.

I22

【详解】-x-X72+4X4—（7+4）x4+2

47

22

=—x49+4+16-llx4+2

7

=154+4+16—22

=38.5+16-22

=32.5（平方厘米）

则阴影部分的面积为32.5平方厘米.

4.（2023・四川成都・小升初真题）如图，在长方形ABCD中，42=6厘米，3c=4厘米，扇形ABE的半径

AE=6厘米，扇形CBb的半径C尸=4厘米，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米.（结果保留

兀，不取近似值）

【答案】13〃-24

【分析】长方形的面积一扇形CBF的面积=不规则图形ABFD,阴影部分的面积=扇形ABE一不规则图

形ABFD.长方形的面积=长、宽，圆的面积=万产.注意：结果保留万，不取近似值.

【详解】扇形CBF的面积：—x^x42=—x^-xl6=4^（平方厘米）

44

不规则图形ABFD：4x6—41=（24—4%）平方厘米

扇形ABE面积：—x^-x62=—x^-x36=9^（平方厘米）

44

阴影部分的面积：9兀一（24—4万）

=9万—24+4万

=（13万一24）平方厘米

则图中阴影部分的面积是为（13K-24）平方厘米.

【点睛】因为长方形的四个角都是90。，扇形CBF的圆心角为90。，即它的面积是以半径为4厘米的圆的

\,同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆.求扇形的面积要先求出所在圆的面积.

5.（2021・浙江•小升初真题）数学思考.

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部

分的面积.（单位：平方厘米）

【答案】87.5平方厘米

【分析】如下图所示；连接PB,P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG,则G是AB的中点，所以

PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长

度是10+10+2=15厘米，所以三角形PAB的面积是10x15+2=75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，

所以三角形PBQ的面积是5x5-2=12.5平方厘米，据此列式解答即可.

【详解】10x15+2

=150+2

=75（平方厘米）

5x5+2

=25+2

=12.5（平方厘米）

75+12.5=87.5（平方厘米）

答：空白部分的面积是87.5平方厘米.

【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP,找出这两个白色三角形的高

是解决本题的关键.

考点四：整体代换法

典停I、

1.（2024・全国•小升初真题）在三角形ABC中，ZC=9O°,AC=BC=10厘米，A为扇形AEF的圆心,

且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。

【答案】400平方厘米

【分析】根据题意，三角形ABC为等腰直角三角形，所以NA=NB=45。，因为阴影部分①与②面积相

等，所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面积，整个圆面积的圆心角为360。，可用扇形AEF的面

积除以NA占整个圆心角的几分之几即可得到答案。

45

【详解】10x104-24-360

J_

=100+2。

1

=50-8

=400（平方厘米）

答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。

【点睛】解答此题的关键是利用等量代换计算扇形的面积，然后再用扇形的面积除以扇形的圆心角占整个

圆心角的分率即是扇形所在圆的面积。

2.（2023五年级•全国•课后作业）如图：阴影部分的面积是50平方厘米，求图中圆环的面

【答案】157平方厘米

【详解】试题分析：由图意可知：圆环的面积=大圆的面积-小圆的面积，因此只要求得大圆与小圆的半

径的关系，问题即能得解；又因阴影部分的面积等于大等腰直角三角形的面积减小等腰直角三角形的面

积，从而可以求得大小圆半径的平方之差，从而问题得解.

解：设大圆的半径为R,小圆的半径为r,

贝lj：2RxR+2-2rxr+2=50,

R2-r2=50（平方厘米）；

圆环的面积：nR2-7tr2,

=7ix（R2-r2）,

=3.14x50,

=157（平方厘米）；

答：圆环的面积是157平方厘米.

点评：解答此题的关键是：利用已知条件求出大小圆半径的平方之差，再据圆环面积等于大圆面积减小圆

面积，即可求解.

3.（23-24五年级上•全国•课后作业）如图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米。阴影部分甲的面积比乙

的面积大15平方厘米。求DE的长。

【分析】已知“甲的面积一乙的面积=15平方厘米”，那么如图，（甲的面积+丙的面积）一（乙的面积十

丙的面积）=15平方厘米，可得等量关系：长方形ABCD的面积一三角形BCE的面积=15平方厘米，

即：三角形的面积+15=长方形的面积。设DE的长为未知数，根据等量关系列方程，再根据等式的性质

解方程。其中，长方形面积=长、宽，三角形面积=底、高+2。

【详解】解：设DE的长是x厘米，

12(x+5)=2+15=12x5

6x+30+15=60

6x=60—45

6x=15

x=15：6

x=2.5

答：DE的长是2.5厘米。

【点睛】能够结合图示，把甲乙两部分面积的差，转化为长方形与三角形面积之差，是解题关键。

步骤：

1.识别整体：首先，识别题目中的某个部分或结构，这个部分可以是一个图形、一个长度、一个面

积或一个体积，它能够被看作一个整体.

2.设定变量：将这个整体用一个变量（如a、b、x、y等）来表示.这个变量将代表整个部分的未知

值.

3.建立关系：根据题目中的条件，建立这个变量与其他已知量或未知量之间的关系.

4.代入求解：将变量代入到相关的公式或方程中，进行求解.

5.回代验证：求出变量的值后，如果需要，可以回代到原问题中，验证解的正确性.

【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整

体代换即可.

唐

1.（2020•湖北十堰•小升初真题）下图中，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等,

图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

Gm

【答案】37.68平方厘米

【分析】从图中看出，阴影部分的面积=长方形的面积一圆的面积xj,其中长方形的面积=圆的面积=

7ir2,圆的半径=圆的周长+兀+2

【详解】25.12+3.14+2=4（厘米）

42x3.14=50.24（平方厘米）

50.24-50.24X-

4

=50.24-12.56

=37.68（平方厘米）

答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。

【点睛】“等量代换”是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，长方形的面积与圆的面积可以

互相代换。

2.（23-24六年级上.河南周口・期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多10平方厘米，求阴影部

分的面积。

【答案】5.7平方厘米

【分析】设大正方形的边长是a,利用大正方形与小正方形面积的关系求a?的值，然后利用圆的面积减去

小正方形的面积，求阴影部分的面积。

【详解】设大方形的边长是a

a2—ya2=10

1-a2=10

222

a2+=10+；

a2=10x2

a2=20

阴影部分的面积：

3.14x20xi-1-x20

=62.8x--10

4

=15.7-10

=5.7（平方厘米）

答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。

【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化成规则图形，利用规则图形面积公式计算。

3.（2025六年级下•全国•竞赛）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积是多少平方米？

【答案】157平方米

【分析】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面

积利用整体减空白部分来求。利用AAOB面积一ADOC面积，即

-xAOxBO--xDOxCO=-xAO2--xDO2=-x（AO2-DO2）=25,可得AO?-DO?=50,观察图形AO

22222

为大圆半径，DO为小圆半径。圆环面积公式兀（R2-r2）,即3.14x50=157（平方米）

【详解】25x2=50（平方米）

3.14x50=157（平方米）

4.（23-24六年级上•辽宁•期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积

是（）平方厘米。

【答案】132

【分析】直角三角形的面积=底、高+2,刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面积可以表示为rxr+2=

25,圆的面积=兀於，求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积。

【详解】解：设圆的半径是r。

rx-2=25

F=25x2

r2=50

圆的面积：

=7tr2

3.14x50

=157（平方厘米）

空白部分的面积：

157-25=132（平方厘米）

空白部分的面积是132平方厘米。

【点睛】此题考查不规则图形面积的计算方法，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键。

考点五：等积变化法求面积（体积）

典例

1.（2025六年级下•西藏・专题练习）如图是一个平行四边形，且AB=BC=CD,DE=EF。则甲、乙两个

三角形的面积比是（）：（）。

【答案】32

F

甲

【分析】连接平行四边形的对角线，如图：/\\'、'、、，由此可知，甲的面积=1x平行四边

/A2

ABCD

1iii

形面积的一半，即平行四边形，即:X平行四边形面积；乙的面积=：X平行四边形面积的一半，即

平行四边形，即平行四边形面积；再根据比的意义，进而求出甲、乙两个三角形的面积比。

326

【详解】根据分析可知，甲三角形面积=；x平行四边形面积；乙三角形面积=）x平行四边形面积。

46

甲:乙=（Jx平行四边形面积）：（Jx平行四边形面积）

46

11

=一：一

46

=（—X12）：（—xl2）

46

=3：2

甲、乙两个三角形的面积比是3:2。

2.（2022・安徽黄山・小升初真题）如图，三角形A8C的面积27cm2,CE=^BC9BD=；AB,三角形

AED的面积是（）cm2o

【答案】12

12

【分析】由图可知，三角形AED和三角形跳。等高，S.BD=-AB,则三角形AED的面积

212

是三角形但面积的公，三角形AEC和三角形但等高，且CE=”C,则成=于。，三角形g的面

2

积是三角形ABC面积的由此求出三角形的面积占三角形A3c面积的分率，最后用乘法求出三角

形AED的面积。

1222

【详解】因为CE=”C,则3£二£3。，所以三角形AES的面积=、x三角形A5C面积=、x27=18

(cm2)；

1222

因为8。=耳42,则所以三角形AED的面积=§x三角形型面积=§xl8=12（cm2）；

由上可知，三角形AED的面积是12cm2。

【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。

3.（2023・四川•小升初真题）如图所示，AB是半圆的直径，。是圆心，AC=CD=DB,M是CD的中

点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多

AON

【答案】2平方厘米

【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH,则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的

又因为三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形

COD面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积。

=2（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。

【点睛】解答本题的关键是作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系。

4.（22-23六年级下•山东荷泽・期中）巧求饮料体积：一个饮料瓶（如图），瓶身呈圆柱形（不包括瓶

颈），容积为250毫升，当瓶子正放时，瓶内饮料液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米,

请你算一算，瓶内饮料的体积是多少毫升？

【答案】200毫升

【分析】因为饮料瓶的容积不变，饮料的体积也不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与

倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面积不变，高