静定结构内力计算课件

静定结构的受力分析

§3-1梁的内力计算回顾

▲简支梁、悬臂梁

▲多跨静定梁

▲刚架

▲桁架

▲组合结构

▲三铰拱在本章中要介绍的静定结构有：

1、计算方法

利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个平衡方程：由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。

§3-1梁的内力计算回顾首先回顾一下梁的内力计算。

2、内力正负号的规定

轴力FN

—拉力为正剪力FQ—使隔离体顺时针方向转动者为正弯矩M—使梁的下侧纤维受拉者为正

§3-1梁的内力计算回顾A端B端杆端内力FQABFNABMAB正FNBAFQBAMBA正

弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号。

q(x)FpMxy

§3-1梁的内力计算回顾FN+dFNFNFQ+dFQMM+dM3、直杆内力的微分关系dxp(x)q(x)P(x)FQdx

§3-1梁的内力计算回顾4、剪力图与弯矩图之间的关系一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

FP)有极值变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线

步骤：求反力画弯矩图画剪力图画轴力图1）求反力（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个平衡方程，就可求得反力。例：4kN1kN/mDCBA2m2m4m

§3-1梁的内力计算回顾5、内力计算及内力图

（2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，取隔离体补充方程。例：由整体：取右半部分为隔离体：

由式1：CBA20kN/m4m4m2m6m

§3-1梁的内力计算回顾M/2M/2FPL/4

（1）几种简单荷载的弯矩图

▲

简支梁在均布荷载作用下的弯矩图

▲简支梁在集中力作用下的弯矩图qL2/8q

§3-1梁的内力计算回顾2）画弯矩图

▲

简支梁在集中力矩作用下的弯矩图FPL/2L/2ML/2L/2

2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下的弯矩图例1：qMAMBBAqBAqL2/8

§3-1梁的内力计算回顾qL2/8=+MA+MB=MAMBFPL/4

例2：结论把两头的弯矩标在杆端，并连以直线，然后在直线上叠加上由节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图MAMBBAMAMBFPL/4

§3-1梁的内力计算回顾MAMBFPFPL/2L/2

3）画剪力图

要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端），把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出所要的剪力。

§3-1梁的内力计算回顾例：求图示杆件的剪力图。ABFQBA1781m1m26C

由：也可由：179

剪力图要注意以下问题：

▲集中力处剪力有突变；

▲没有荷载的节间剪力是常数；

▲均布荷载作用的节间剪力是斜线；

▲集中力矩作用的节间剪力是常数。

§3-1梁的内力计算回顾ABFQBA1781m1m26C+

4）画轴力图

要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础，取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即可求出轴力。

-4+4FNBCFNBA

§3-1梁的内力计算回顾＋＋－444ABCD剪力图B

对图示简支梁把其中的AB段取出，其隔离体如图所示：

把AB隔离体与相应的简支梁作一对比：MLBAFpqqBAMBMAqBA

§3-1梁的内力计算回顾6、用区段叠加法画弯矩图

MBMABAFYAFYBMBMA

显然两者是完全相同的。FQABFQBA

因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA和MB。

§3-1梁的内力计算回顾MLBAFpq

区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：

▲

首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间连以直线。

▲

如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用，那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上产生的弯矩图形。

§3-1梁的内力计算回顾

例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。

b、求反力：

c、求分段点C、G点的弯矩值：16kN∙m8kN4kN/m1m2m2m1m1m1mGACE

§3-1梁的内力计算回顾

取AC为隔离体取EG为隔离体17FQCA8MCAC1m1m

§3-1梁的内力计算回顾FQEGFYGEGME16kN∙m1m1m

d、把A、C、E、G四点的弯矩值标在杆上，点与点之间连以直线。然后在AC段叠加上集中力在相应简支梁上产生的弯矩图；在CE段叠加上均布荷载在相应简支梁上产生的弯矩图；在EG段叠加上集中力矩在相应简支梁上产生的弯矩图。最后弯矩图如下所示：83026EACG

§3-1梁的内力计算回顾28弯矩图§3-2斜梁

用作楼梯梁、屋面梁等。1）斜梁在工程中的应用

根据荷载分布情况的不同，有两种方法表示：

▲自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。2）作用在斜梁上的均布荷载

ABLABLq′§3-2斜梁

▲

人群等活荷载：力是沿水平方向分布，方向也是垂直向下。工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下：LABABLqq′dsdx§3-2斜梁

3）斜梁的内力计算讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。（1）反力

斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。ABCabxLFp1Fp2Fp1Fp2CABLx§3-2斜梁

（2）内力求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC：

相应简支梁C点的内力为：

斜梁C点的内力为：Fp10MCFQCFNCMCACxaFP1FYA0FYA0FQC§3-2斜梁

结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。例：求图示斜梁的内力图。

解：a、求反力

qABL§3-2斜梁

b、求弯矩c、剪力和轴力qABLFQkFNkMkAkxFYAq0FYA0Mk0FQkq－＋qL28－＋qLcosα2qLcosα2§3-2斜梁

d、画内力图轴力图剪力图弯矩图ABABABqLsinα2qLsinα2§3-3多跨静定梁1）多跨静定梁的组成

由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结构——称为多跨静定梁，如图所示：

应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽结构。

2）多跨静定梁的应用

3）多跨静定梁杆件间的支撑关系

图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示：

计算简图支撑关系图FEDCBABADCFE§3-3多跨静定梁§3-3多跨静定梁

我们把ABC称为：基本部分，把CDE、EF称为：

附属部分。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。

基本部分附属部分BADCFE附属部分支撑关系图§3-3多跨静定梁4）多跨静定梁的形式

多跨静定梁有以下两种形式：

FEDCBABADCFE支撑关系图计算简图第一种形式FEDCBABADCFE§3-3多跨静定梁计算简图支撑关系图第二种形式§3-3多跨静定梁

由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。因此计算应该从附属部分开始。

5）多跨静定梁的计算

例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。

1kN/m1kN3kN2kN/m1m1m3m1m2m1m1m4mGHABCDEF§3-3多跨静定梁

解：a、层次图

b、求反力FGH部分：FHG2kN/mFYFFYGABCEFGH1m1m3m1m2m1m1m4mGHABCDEF1kN/m1kN3kN2kN/m§3-3多跨静定梁CEF部分：ABC部分：

CDEF3kNFYCFYE-1.33kN1kN1kN/mABFYAFYBC1.44kN§3-3多跨静定梁c、画弯矩图及剪力图

2.61剪力图

kN弯矩图kN·m1.332142.44241.331.561.442.441.39§3-3多跨静定梁例：对图示结构要求确定E、F铰的位置，使B、C

处的支座负弯矩等于BC跨的跨中正弯矩。

解：以x表示铰E到B支座、铰F到C支座的距离。

a、层次图

qxL-xxL-xLLLDCEFBAACEFBD§3-3多跨静定梁b、求反力

AE、FD部分：

c、求弯矩根据要求：

M中=MB=qL2/16

因此有：

由上述方程解得：

§3-3多跨静定梁AE、FD的跨中弯矩为：弯矩图相应简支梁的弯矩图20.0625qL20.0957qL0.0957qL20.125qL20.125qL20.125qL220.0625qL20.0625qL

§3-4静定刚架1）刚架的特征

由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移和相对水平位移。

2）刚架的应用主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。

3）刚架的内力计算由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的，只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。

§3-4静定刚架例1：画出图示刚架的内力图。

解：编号如图所示

b、作内力图

30kNDECBA20kN/m6m2m4ma、求支座反力

§3-4静定刚架弯矩图kN·m6090180180剪力图kN-30-＋4080＋30轴力图kN-40-80-30

b、作内力图

§3-4静定刚架

例2：作图示刚架的内力图

解：a、求反力由于图示结构是对称的，因此：取AC部分为隔离体：20kN/mα6m2mBACED8m

§3-4静定刚架b、作弯矩图c、作剪力图取DC段为隔离体：

弯矩图kN∙m120120404020kN/m120DCFQDCFQCD

§3-4静定刚架b、作弯矩图c、作剪力图取DC段为隔离体：

弯矩图kN∙m120120404020kN/m120DCFQDCFQCD62.68.9＋8.9-62.6

§3-4静定刚架取CE段为隔离体：20＋20-CE12020kN/mFQCEFQEC剪力图kN

§3-4静定刚架d、作轴力图取D结点为隔离体：取C左结点为隔离体：

FQDADFQDCFNDAFNDCCFNCD20

§3-4静定刚架取E结点为隔离体：

取C右结点为隔离体：

EFQEBFNECFNEBFQECC20FNCE

§3-4静定刚架轴力图kN8053.617.88053.6--例3：作图示刚架的弯矩图

算法（同多跨静定梁）——区分主从，先从后主(1)

先由从部分，有得：得：得：

§3-4静定刚架AFEDCB2m2m1m1m2FPFP(主)(从)FPCF(从)FYAFNDFFQDF(3)求作M图（可从两边向中间画）M图如图所示。(2)再由主部分，有得：得：得：

§3-4静定刚架2FPFP/2FPFPFP/22FP2FP2FPFPAFEDCBFPFNDF(主)2FPABEDFXAFYAFYBFQDF(f)qq7)课堂练习---快速绘制M图(a)

§3-4静定刚架FP(b)q(c)(d)(e)

§3-4静定刚架q(g)(h)qFPFP(i)(j)FPFP(k)（主）（从）FP

先画AB、CD；再连BC（虚线）；最后在虚线上叠加由∑MB=0求得

§3-4静定刚架mmFPaACBDLaa(l)qFPmFPFP+m/lFPL+mFPLmmLACBLL(m)FPmFP+m/l

§3-4静定刚架m/Lm/Lm(n)mCADBL

LLFPFPFPFPL

FP

L(o)FPADBL

LLC

§3-5桁架1）桁架的特点由材料力学可知，受弯的实心梁，其截面的应力分布是很不均匀的，因此材料的强度不能充分发挥。

现对实心梁作如下改造：

所示结构杆件全是二力杆，结点是铰连接，结构是静定的，称为：静定平面桁架。FpFp全部改造

§3-5桁架

实际工程中的桁架是比较复杂的，与上面的理想桁架相比，需引入以下的假定：

a、所有的结点都是理想的铰结点；

b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；

c、荷载与支座反力都作用在结点上。

2）桁架的应用主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。

§3-5桁架

3）桁架的形式

按外型分：平行铉、三角形、梯形、折线型、抛物线型。平行弦三角形梯形折线形

§3-5桁架按承受荷载分：上承式、下承式

按组成的几何构造分：静定平面桁架、超静定平面桁架、静定空间桁架、超静定空间桁架

4）桁架的计算方法（1）节点法如果一个节点上的未知量少于等于2个，就可利用

两个方程就可解出未知量。

（2）截面法用截面切断拟求内力的杆件，从结构中取出一部分为隔离体，然后利用三个平衡方程求出要求的力。

§3-5桁架（3）节点法和截面法联合运用有的杆件用结点法求，有的杆件用截面法求。（4）判断零杆桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判断的方法如下：▲两杆节点

FN1FN2

§3-5桁架

▲三杆节点

▲四杆节点

FN1FN1FN2FN3FN4

§3-5桁架▲利用结构的对称性由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。例1：判断图示结构的零杆FpFp

§3-5桁架例2：判断图示结构的零杆

a、图示结构在对称荷载作用下

FCDFCEFpFpACBDEC

§3-5桁架

b、图示结构在反对称荷载作用下

FpFpACBDE

内力应相对对称轴反对称，这就要求DE杆半根受拉、半根受压，而这是做不到的，因此它是零杆。对称轴

§3-5桁架

5）桁架计算举例例1：计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。

解：a、求反力

FpABkba4dh/2h/2

§3-5桁架

5）桁架计算举例例1：计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。

解：a、求反力

kFpABba4dh/2h/2

§3-5桁架

b、求内力取k结点为隔离体：

作n-n截面，取左半部分：

FNaFNbknnFpABba4dh/2h/2k

§3-5桁架

例2：请求出图示桁架杆1、杆2的内力。

解1：a、求反力

FpL/2L/2L/2L/2L/2L/2ABHDCEF12

§3-5桁架FpO1nnL/2L/2L/2L/2L/2L/2ABHDCEF12

b、求内力

取n－n截面，对O1取矩：

10OM=å

§3-5桁架FpO1nnL/2L/2L/2L/2L/2L/2ABHDCEF12

b、求内力

O2mm取m－m截面，对O2取矩：

§3-5桁架其中：①②解得：

§3-5桁架

解2：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。

a、对称荷载作用下，中间两根杆a、b是零杆，取

C结点：

F,NCDFP/2FP/2FP/2DCHCabF,N1F,N1§3-5桁架

取D结点：

b、反对称情况（拉）中间的c杆是零杆，取C结点：

FP/2FNCDFNCHF,NCDF,N1FP/2FP/2CDDCHF,,N1F,,N1c§3-5桁架

取D结点：

把对称和反对称的合起来：得：FP/2FNCDF,,N1DCFNCDFNCH§3-6组合结构

由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。例：解：图中BD杆是轴力杆件，其它是受弯杆件。

a、求反力

取CDE杆为隔离体：

b、求弯矩及轴力FNDB1kN/mEDC4m2m3m3m1kN/mBDEAC§3-6组合结构

画弯矩和轴力图：FNDB1kN/mEDC+7.5kN9kN/m2kN/m2kN/m例2：解：a、求反力

由于对称：

b、求轴力杆的轴力

作n—n截面，取左半部分，由：

nnFGEDCAB2m2m2m2m2m1kN/m§3-6组合结构

§3-6

组合结构

取E结点：

c、画弯矩和轴力图

对称结构在对称荷载作用下，在对称点出只有对称的内力，而反对称的内力等于零。

-4kN-4kN+4kN2kN/m2kN/m+42kN+42kNFNECFNEAFNEDE§3-7三铰拱

如下所示结构在竖向荷载作用下，水平反力等于零，因此它不是拱结构，而是曲梁结构。

下面所示结构在竖向荷载作用下，会产生水平反力，因此它是拱结构。

1）拱的特征及其应用

拱式结构：指的是在竖向荷载作用下，会产生水平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。曲梁三铰拱FPFP§3-7三铰拱

常见的拱式结构有：三铰拱带拉杆三铰拱两铰拱无铰拱§3-7三铰拱

拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。

拱结构的优缺点：a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大

§3-7三铰拱

拱各部分的名称：

L—跨度（拱趾之间的水平距离）

f/L——高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这个值控制在1—1/10

）

f—矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）

拱趾拱顶Lf§3-7三铰拱

2）三铰拱的计算

在研究它的反力、内力计算时，为了便于理解，始终与相应的简支梁作对比。L2L1Lb2a2b3a3b1a1kykxkCBAfFP1FP2FP3kCBAFP1FP2FP3§3-7三铰拱

（1）支座反力计算

取左半跨为隔离体：

L2L1Lb2a2b3a3b1a1kykxkCBAfFP1FP2FP3kCBAFP1FP2FP3§3-7三铰拱

由前面计算可见：三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁C点的弯矩除以拱高f。FH与f成反比，f越小,FH越大，f越大，FH越小。也就是说：f越小，拱的特性就越突出。

§3-7三铰拱

（2）弯矩计算

求拱轴线上任意点k的弯矩，为此取Ak为隔离体：

（3）剪力计算求拱轴线上任意点k的剪力，同样以Ak为隔离体：相应简支梁的剪力MKkFYAFHFP1FQKηFNKτAkMKF0YAFP1F0QK相应简支梁的弯矩§3-7三铰拱

（3）轴力计算求拱轴线上任意点k的剪力，同样取Ak为隔离体：

三铰拱内力计算公式：

MKkFYAFHFP1FQKηFNKτAkMKF0YAFP1F0QK§3-7三铰拱

例1：图示三铰拱的拱轴线方程为：

请求出其D点处的内力。

解：a、求反力

DBCAyx4m3m3m6m20kN/m100kN§3-7三铰拱

先求计算参数：

b、求D点的内力

求弯矩：MDFYAFH左FNDDA左FQD§3-7三铰拱

求剪力：

由于D点