解析卷-山西省古交市中考数学真题分类（勾股定理）汇编必考点解析练习题（详解）

山西省古交市中考数学真题分类（勾股定理）汇编必考点解析考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，52、如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm3、如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（

）A．10m B．15m C．18m D．20m4、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5 B． C． D．5或5、如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤126、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管AB的长为（

）A．40m B．45m C．30m D．35m7、如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米2、学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．3、等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是_______cm．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.5、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．6、如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．7、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．8、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．2、有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？3、勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明．4、如图，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，已知AB=4，BC=2，求折叠后重合部分的面积．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.6、有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？7、如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；(2)求AB的长；(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故能构成直角三角形，故选D．【考点】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．2、D【解析】【分析】根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值．【详解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故选：D．【考点】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方．3、C【解析】【详解】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC===13m，∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m．故选C．4、D【解析】【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：当4是直角边时，斜边==5；当4是斜边时，另一条直角边=；故选：D．【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5、B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【考点】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度．6、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故选：C．【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．7、D【解析】【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图符合条件的格点C的个数是6个故选：D．【考点】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．二、填空题1、8【解析】【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．【详解】解：设水深x米，则AB=x，则有：BD=AD+AB=x+2，即有：BD=BC=x+2，根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，则在直角△ABC中：，即：，解得x=8，即水深8米，故答案为8．【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．2、7.5；【解析】【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗杆的高度为7.5m，故答案为7.5．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．3、8【解析】【详解】如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD===（8cm）．故答案为8．4、1.5【解析】【分析】连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出∠CAF=∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】连接DF，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴∠CAF=∠DAF，BD=AB-AD=2，在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF（SAS），∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，∴∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5；∴CF=1.5；故答案为1.5．【考点】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．5、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．6、8【解析】【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．【详解】如图，作交的延长于点，则即为BC边上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案为：8．【考点】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．7、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【考点】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．8、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案为：．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．三、解答题1、384【解析】【分析】连接，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明为直角三角形，进而根据三角形的面积公式计算和的面积之差即可．【详解】解：连接，在直角中，，，由，解得，在中，，，，∵，∴，∴为直角三角形，要求这块地的面积，求和的面积之差即可，，答：这块地的面积为．【考点】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．2、它至少需要5.2s才能赶回巢中．【解析】【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，3、见解析【解析】【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证．【详解】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则，如图，这个多边形的面积为整理得ab+c2=，故．【考点】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键．4、【解析】【分析】先由折叠可知EC=BC=2，进而可知AD=CE，通过全等三角形的角角边判定定理可证明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，设FC为x，则FE=DF=4-x，根据直角三角形的勾股定理可列方程，从而计算出CF的长度，通过CF与AD的长度可计算出重合部分面积．【详解】解：∵△AEC是由△ABC沿AC折叠后得到的，∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），设FC=x，则FE=DF=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可知：，∴，解得，∴，故折叠后重合部分的面积为．【考点】本题考查图形折叠的相关性质，以及直角三角形的勾股定理的应用，以及全等三角形的判定，找到合适的条件，选择适合的判定方法去证明全等三角形，利用勾股定理和方程思想列方程是解决本题的关键．5、见解析【解析】【分析】连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【考点】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．6、它至少5.2秒能赶回巢中.【解析】【分析】过点作于点.求出AF,EF,再根据勾股定理求出AE，从而求出时间.【详解】解：如图所示，米，米，米，米.过点作于点.在中，米，米，所以.所以喜鹊离巢的距离米.喜鹊赶回巢所需的时间为（秒）.即它至少5.2秒能赶回巢中.【考点】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.构造直角三角形是解题关键.7、(1)⊙M与x轴相切，理由见解析(2)6(3)【解析】【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．(1)解：⊙M与x轴相切，理由如下：连接CM，如图，∵MC=MA，∴∠MCA=∠MAC，∵AC平分∠OAM，∴∠MAC=∠OAC，∴∠MCA=∠OAC，∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠