2024-2025学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。1．下列说法不正确的是A．圆柱的轴截面是矩形 B．圆锥的轴截面是等腰三角形 C．所有空间几何体都是多面体 D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形2．已知为实数，若复数为纯虚数，则A． B． C．1 D．3．在中，已知，，，则A． B． C．或 D．或4．已知向量，满足，，则A． B． C． D．5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是A．16 B．12 C． D．6．想测量一座山的高度，可以通过飞机的航行来完成，如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为A． B． C． D．7．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值是A． B． C． D．8．如图，外接圆的圆心为，，，，则圆的半径A．10 B．5 C．7 D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．已知复数，，则下列说法中正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则，为实数（多选）10．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，，则A． B． C． D．若，，，则（多选）11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列条件中能判断为钝角三角形的有A． B． C． D．的三条高分别为2，3，4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若复数，则．13．如图所示，圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为．14．已知是内部的一点，且，，和的面积分别是，，若，则．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．已知，，．（1）若，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值．16．在平面直角坐标系中，已知点，，，（1）求的值；（2），是坐标平面上的点，，，求的最小值．17．在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若△的周长为，且，求△的面积．18．（17分）在△中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，的内角平分线交于点，求的长；（2）若与的内角平分线相交于点，△的外接圆半径为2，求的最大值．19．（17分）如图，P，Q分别是等腰梯形ABCD的边DC，BC上的动点，AB＝2DC＝2m，其中m（m＞0）为定值，，设，其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）用所给字母a，b，m，求出的表达式；（2）证明：∠PAQ的余弦值与m的取值无关；（3）求的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．下列说法不正确的是A．圆柱的轴截面是矩形 B．圆锥的轴截面是等腰三角形 C．所有空间几何体都是多面体 D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形【答案】解：对于，圆柱的轴截面是矩形，所以正确，对于，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以正确，对于，因为旋转体不是多面体，所以项不正确，对于，如图，三棱锥中，当平面时，，，所以△，△，△，△均为直角三角形，所以正确．故选：．2．已知为实数，若复数为纯虚数，则A． B． C．1 D．【答案】解：为纯虚数，，即，即，则．故选：．3．在中，已知，，，则A． B． C．或 D．或【答案】解：因为在中，，，，所以由正弦定理，可得，可得，又，可得为锐角，则．故选：．4．已知向量，满足，，则A． B． C． D．【答案】解：，，，，解得．故选：．5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是A．16 B．12 C． D．【答案】解：设原图形的四边形为，则根据斜二测法规则及题意可知：原图形中，，又原图形中，原图形中，原图形的周长是．故选：．6．想测量一座山的高度，可以通过飞机的航行来完成，如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为A． B． C． D．【答案】解：如图所示，，，，在中，，；，，山顶的海拔高度为．故选：．7．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值是A． B． C． D．【答案】解：因为，又，所以，因为当时，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，因为时，（a）单调递增，所以，所以实数的取值范围是，实数的最大值为．故选：．8．如图，外接圆的圆心为，，，，则圆的半径A．10 B．5 C．7 D．8【答案】解：，，，，由，得：，．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．已知复数，，则下列说法中正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则，为实数【答案】解：由，即，可得，故正确；因为，所以，所以，故正确；取，，则，而，，故错误；取，，则，，而，都不是实数，故错误．故选：．（多选）10．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，，则A． B． C． D．若，，，则【答案】解：在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，，对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项正确；对于选项，利用△△，可得，则，故选项正确；对于选项，由，有，故选项正确．故选：．（多选）11．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列条件中能判断为钝角三角形的有A． B． C． D．的三条高分别为2，3，4解：对于，由余弦定理有，可得为钝角，故为钝角三角形，故正确；对于，将，平方化简得，故为钝角，为钝角三角形，故正确；对于，因为，，则角，，都为锐角，为锐角三角形，故错误；对于，假设，，边上的高分别为2，3，4，则，有，设，则，，所以由余弦定理得，所以为钝角为钝角三角形，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若复数，则．解：因为，所以．故答案为：．13．如图所示，圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为4π．【答案】4π．解：由题意可知，该圆锥的母线长为＝2，因此，该圆锥的侧面积为π××2＝4π．故答案为：4π．14．已知是内部的一点，且，，和的面积分别是，，若，则．【答案】．解：连接交直线于点，、、三点共线，，，，，，，又，，，．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．已知，，．（1）若，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值．【答案】（1）或；（2）．解：（1）因为，，所以，因为，所以，解得，或；（2）复数因为在复平面内对应的点满足关系式，所以，所以．16．在平面直角坐标系中，已知点，，，（1）求的值；（2），是坐标平面上的点，，，求的最小值．【答案】（1）4；（2）．解：（1）因为，，所以，故，因为，所以；（2），，，因为，所以当时，取得最小值为．17．在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求；（2）若△的周长为，且，求△的面积．解：（1）由，，可得，整理得，结合正弦定理得，因为，所以，可得，因为，可得，所以，结合，得；（2）根据，得，即，可得，即，，因为，所以，可得，，因为△的周长为，所以，解得，因此，，，可得△的面积．18．（17分）在△中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，的内角平分线交于点，求的长；（2）若与的内角平分线相交于点，△的外接圆半径为2，求的最大值．解：（1）的内角平分线交于点，，，，；（2）如图，△的外接圆半径为2，，，，，与的内角平分线相交于点，，即，在△中，由余弦定理得，，，，，，，当且仅当时取等号，的最大值为4．19．（17分）如图，P，Q分别是等腰梯形ABCD的边DC，BC上的动点，AB＝2DC＝2m，其中m（m＞0）为定值，，设，其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）用所给字母a，b，m，求出的表达式；（2）证明：∠PAQ的余弦值与m的取值无关；（3）求的取值范围．【答案】见试题解答内容解：（1）如图，过D，C分别作AB的垂线，垂足为M，N