2024-2025学年江苏省南通市海门实验学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市海门实验学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=i(1−i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a=(−1,2),b=(x,−2)，且a//b，则实数A.1 B.−1 C.4 D.−43.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是(

)A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数4.在△ABC中，若AC=7,BC=2,B=60°，则sinA的值为A.36 B.33 C.5.已知非零向量a,b，满足|b|=4，向量a在向量b上的投影向量为12A.0 B.1 C.8 D.46.已知α∈(0,π4),sin(α+πA.−13 B.−53 7.直角梯形ABCD,AB⋅AD=0,AC⋅BDA.3 B.1 C.32 8.已知α，β为锐角，且sinα=2sinβcos(α+β)，则tanβ的最大值A.34 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a为非零向量，λ是非零实数，则下列说法错误的是(

)A.a与−λa方向相反 B.a与λ2a方向相同

C.|−λ10.已知复数z1，z2互为共轭复数，则(

)A.|z1|=|z2| B.z11.下列式子中正确的是(

)A.(1tan5∘−tan5°)tan10°=2 B.tan5π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45，则13.若复数z与(z+1)2+2i都是纯虚数，则复数z= 14.已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A(1,3)，点B(0,−3)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转π2后得到点P，则点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知0<α<π2,0<β<π2,tanα=13,cosβ=7216.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosA=34．

(1)若7tanB=3tanA，求sinC的值；

(2)若b217.(本小题15分)

如图，在△ABC中，已知∠A=60°，AC=1，AB=2，M，N分别是线段BC，AB上两点，且满足CM=λCB，BN=λBA(0<λ<1)．

(1)若λ=12，求|AM|及AM18.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB−2acosC=(2c−b)cosA．

(1)证明：sinC=2sinB；

(2)若c=3a，求cosB的值；

(3)求tanB19.(本小题17分)

已知函数y=f(x)，若存在实数m，n(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅f(x)=f(x+n)+f(x−n)成立，则称函数f(x)为“平衡函数”，有序数对(m,n)称为函数f(x)的“平衡点对”．

(1)若(2,n)为函数f(x)=sinx−cosx的“平衡点对”，求n的值；

(2)若m1，m2∈R，且(参考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.C

6.B

7.A

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ACD

12.72513.i

14.(−5,4)

15.(1)根据β∈(0,π2)，cosβ=7210，可得sinβ=1−(7210)2=210，

所以sin2β=2sinβcosβ=2×210×7210=72516.(1)在△ABC中，因为cosA=34，A∈(0,π)，

所以sinA=1−cos2A=1−916=74，则tanA=sinAcosA=73，

又因为7tanB=3tanA，可得tanB=37tanA=1，

又B∈(0,π)，可得B=π4，

所以sinB=cosB=17.(1)已知在△ABC中，已知∠A=60°，AC=1，AB=2，M，N分别是线段BC，AB上两点，且满足CM=λCB，BN=λBA(0<λ<1)，

当λ=12时，CM=12CB，

则M为BC的中点，

所以AM=12(AC+AB)，

即|AM|2=14(|AC|2+|AB|2+2|AC|⋅|AB|cos∠BAC)

=14(1+4+2×1×2×12)=74，

所以|AM|=72，

AM⋅BC=12(AC+AB)(18.(1)证明：因为acosB−2acosC=(2c−b)cosA=2ccosA−bcosA，

由正弦定理整理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA+2sinAcosC，

则得sin(A+B)=2sin(A+C)，

在△ABC中，可得sin(π−C)=2sin(π−B)，

即sinC=2sinB，得证；

(2)解：由(1)sinC=2sinB和正弦定理，可得c=2b，

又c=3a，则b=32a，

由余弦定理，cosB=a2+c2−b22ac=a2+(3a)2−(32a)22×a×3a=13324，

(3)由已知得sin(A+B)=2sin(A+C)，则sin(A+B)=2sinB，

可得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，

当cosB=0时，可得sinBcosA=2sinB，

因B∈(0,π)，则sinB≠0，此时cosA=2，不合题意，

当cosB≠0时，等式两边同除以cosB19.(1)因为(2, n)为函数f(x)=sinx−cosx的“平衡点对”，

所以2f(x)=f(x+n)+f(x−n)对任意的x∈R成立，

即2(sinx−cosx)=sin(x+n)−cos(x+n)+sin(x−n)−cos(x−n)，

化简整理得2(sinx−cosx)=2sin