福建省闽东教科联盟2025-2026学年高三上学期入学质量检测数学试题（含答案）

福建省闽东教科联盟2025-2026学年高三上学期入学质量检测数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项符合题意．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“成立”是“成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.在下面给出的四个函数中，是以为最小正周期的偶函数的是（）A B. C. D.5.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，则下列说法错误的是（）A.该圆台轴截面面积为 B.该圆台的高为1cmC.该圆台的侧面积为6 D.该圆台的体积为8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（）A.B.第2025行的第1013个数和第1014个数相等C.在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D.记杨辉三角中第行的第个数为，则二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出两个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟，的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论正确的是（）（参考数据：）A.为更好地反映该杯茶温度，应选择函数模型①B.为更好地反映该杯茶的温度，应选择函数模型②C.该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2分钟D.该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟10.已知圆，，，为圆上的动点，则（）A.圆心关于直线的对称点为B.动点到直线的距离最大值为C.以为直径的圆与圆有2条公切线D.分别过两点所作的圆的切线长相等11.如图，在平行四边形中，，分别为的中点，沿将折起到的位置（不在平面上），在折起过程中，下列说法不正确的是（）A.若是的中点，则平面B.存在某位置，使C.当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为D.直线和平面所成的角的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．考生在答题卡的相应位置上答题．）12.已知向量，则在上投影向量为_________．13.已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.14.数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，2，3；；依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为Tn，则______________.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．（1）求的通项公式；（2）设若，求数列的前项和16.在中，角，，的对边分别是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.17.如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面，圆周上的一点，，且点不与两点重合.（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.18.在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.（i）求的值；（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数.（i）当时，求的最大值；（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围.参考答案1-8【答案】B【答案】A【答案】B【答案】A【答案】B【答案】A【答案】B【答案】D9.【答案】AD10.【答案】ABC11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】14，【答案】51415.【小问1】因为，，设等差数列的公差为，则，解得，所以，即，当时，，当时，成立，故．【小问2】由题意可得.16.【小问1】由，根据正弦定理可得，即，即，，所以，又，则.【小问2】由，可得，，因为，所以①，因为，所以②，联立①②可得，解得.故的面积为.17.【小问1】因为是底面圆上的一条直径，所以，又因为底面，由，所以底面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2】因为平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，所以，又，所以为等边三角形，以为原点，分别以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由，所以，所以，所以，设平面的法向量为，所以，令，得，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.【小问1】由题意可知，，化简得，于是，动点的轨迹方程为．【小问2】（i）设，，，不妨假设在第一象限，则E第四象限，由题意知的斜率存在且不为0，设直线方程为，代入可得，需满足，所以，,直线方程为，代入，可得，，则，因为，，所以，即.同理，，，即，所以，则关于x轴对称，所以；（ii）.所以，.综上，为定值．19.【小问1】由得，当时，，在和单调递增；当时，令，则，解得或；令，则，解得或；综上，当时，的单调递增区间为和；当时，的单调递增区间为和，递减区间为和.【小问2】则.（i）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点，，当时，由（i）知，，故没有零点；当时，令，，单调递减；令，，单调递增；此时，，故没有零点；当即时，在上，，单调递增；上，，单调递减；又，当趋