27.3 圆中的计算问题（难点练）解析版

27.3圆中的计算问题（难点练）一、单选题1．（2021·广西北海·一模）如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与相切于点．已知，的长为，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N．可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM=AN=，进而可求图中阴影部分的面积．【详解】解：如图，连接、，半圆分别与，相切于点，．，，，，，的长为，，，，连接，在中，，，，，，．故选B．【点睛】本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．2．（2020·浙江温州·九年级期末）如图，C是线段上的任一点，分别以为直径在线段同侧作半圆，则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”（即图中阴影部分）．当“鞋匠刀形”的面积等于以为直径的半圆的面积时，过C作，交圆周于点D，连结，则与的比值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，如图，设，，根据题意得到，则，再利用圆周角定理得到，而，根据射影定理得到，则，从而得到的值．【详解】解：连接，如图，设，，“鞋匠刀形”的面积等于以为直径的半圆的面积，，，为直径，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定和性质．3．（2021·山东崂山·二模）如图，在矩形中，为对角线，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接，过作于点,此时根据直角三角形的性质求得，，再根据等边三角形判定得出为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得，最终求阴影部分的面积转化为求解即可．【详解】如下图，连接，过作于点,在矩形中，∵，，，∴，,又∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键．4．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如图，作的外接圆连接过作轴于作轴于则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.【详解】解：如图，作的外接圆连接过作轴于作轴于则四边形是矩形，是等边三角形，故选：【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.5．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学九年级月考）如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于点．当点从点沿弧运动到点时，点经过的路径长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．首先判断出点E在以OB为直径的圆上运动，求出点D与C重合时∠EMB的度数，利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接OB，设OB的中点为M，连接ME．作OH⊥BC于H．

∵OD⊥BE，

∴∠OEB＝90°，

∴点E在以OB为直径的圆上运动，

当点D与C重合时，∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴∠BOE＝60°，

∴∠EMB＝2∠BOE＝120°，

∵BC＝12，OH⊥BC，

∴BH＝CH＝6，∠BOH＝∠COH＝60°，

∴OB＝，∴点E的运动轨迹的长＝，故选：A．【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找轨迹，属于中考常考题型．6．（2021·山东日照·中考真题）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．【详解】解：当在上时，即点在上时，有，此时阴影部分为等腰直角三角形，，该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，设，则，，，当时，，，，当时，，，，在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．二、填空题7．（2021·四川·达州中学九年级月考）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则扇形B2020OA2021的面积为_______．【答案】【分析】依据直线l为y=x，点（1，0），⊥x轴，可得（2，0），同理可得，（4，0），（8，0），…，依据规律可得点的坐标为（，0），可得O的长，由扇形公式可求解．【详解】解：∵直线l为y=x，点（1，0），⊥x轴，∴当x=1时，y=，即（1，），∴tan∠=，∴∠=60°，∠=30°，∴O=2O2，∵以原点O为圆心，O长为半径画圆弧交x轴于点，∴（2，0），同理可得（4，0），（8，0）…，∴点的坐标为（，0），∴O=，∴O=，∴扇形B2020OA2021的面积为=，故答案为．【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算，一次函数图象上点的坐标特征，找出点坐标规律是本题的关键．8．（2021·河南宛城·一模）如图所示，在扇形中，，长为2的线段的两个端点分别在线段、上滑动，E为的中点，点F在上，连结、．若的长是，则线段的最小值是________，此时图中阴影部分的面积是______________．

【答案】1【分析】①由题意可得E在以O为圆心，1为半径的圆上，所以OF与CD相交时EF的值最小；②过E作EM⊥OB于M，则所求阴影面积即为S扇形OBF-S△BOE．【详解】①如图，连接OF，令弧AF所对圆心角为n°，∵弧AF=，∴n=30°，∵∠AOB=90°，E为CD中点，∴，∴E在以O为圆心，1为半径的圆上，∴OF与CD交点即为所求E点，此时EF最短，EF=OF-OE=1；②过E作EM⊥OB于M，∴∠AOF=30°，∠EOM=60°，∴EM=，∴S阴=S扇形OBF-S△BOE==，故答案为1；．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与弧的关系、直角三角形的性质及两点之间线段最短的性质是解题关键．9．（2021·湖北恩施·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，以边中点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则图中阴影部分的面积为__________．（用含的式子表示）【答案】【分析】连接DE，如图，利用圆周角定理得到∠CEB=90°，再根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，所以∠CDE=90°，根据扇形面积公式和计算出由AC、AE和弧CE所围成的图形，然后利用阴影部分的面积由AC、AE和弧CE所围成的图形的面积进行计算即可．【详解】解：连接DE，如图，∵点D为BC的中点，即BC为直径，∴∠CEB=90°，∴CE⊥AB，而△ACB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴∠CDE=90°，由AC、AE和弧CE所围成的图形的面积∴阴影部分的面积由AC、AE和弧CE所围成的图形的面积故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质．10．（2021·浙江浙江·九年级期末）如图，边长为2的正方形中，动点在边上，在射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为______，线段的最大值是______．【答案】4【分析】以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，可知圆的半径为2，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接并延长交⊙O于连接可知点G的运动路径为，根据弧长公式求解即可，BG最大值为BH，根据圆的直径即可得解．【详解】解：如图，以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，则点G在⊙O上延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接并延长交⊙O于连接∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°∴点K，H，在⊙O上∴∠BKA=∠AHB=∠AGB=30°∵F从点C运动到点D，则G点从K运动到，即G点运动路径为，正方形∴，∵圆内最长的弦为直径，由图可知BG最大值为BH∵BH为O直径，即BH=2r=4，∴BG最大值为4．故答案为：π；4【点睛】此题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助圆是解答此题的关键．11．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级月考）如图，点O是三角形内的一点，，已知，则___________，___________．【答案】【分析】（1）由已知，三角形ABC的外接圆的圆心为O，根据圆周角定理可求∠BOC度数；（2）三角形OBC的面积可求，只需求出三角形OAB和三角形OAC的面积即可求出三角形ABC的面积；为此，延长AO交三角形ABC的外接圆于点P，分别过点B、C作BM⊥AP于点M，CN⊥AP于点N，求出BM+CN的长即可．【详解】解：（1）∵OA=OB=OC=4，∴的外接圆的圆心为O，半径为4，如图所示．故答案为：（2）延长AO交于点P，分别过点B、C作BM⊥AP于点M，CN⊥AP于点N，如图所示．在和中，在中，∵CN-BM=1，∴设BM=x，则CN=x+1．整理得，解得，（不合题意，舍去）故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识点，熟知上述知识点、根据题目特征，构造三角形的外接圆是解决第（1）问的基础；构造和底边OA上的高是解决第（2）问的关键．12．（2021·四川温江·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝＋2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D'处，再将△AED'绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA'恰好经过BD'的中点F,A'D″交AB于点G，连接AA'．有如下结论：①△A'AF≌△A'EG；②扇形ED′D″围成的圆锥底面积为π；③A'F的长度是﹣2；④＝﹣1，上述结论中．所有正确的序号是___．【答案】②③④【分析】①判断，可得结论．②求出，利用弧长公式，圆的周长公式，圆的面积公式即可得出结论．③求出，可得结论．④证明，可得．【详解】解：把沿折叠，使点恰好落在边上的处，，，四边形是矩形，又，四边形是正方形，，，，，点是中点，，，将绕点顺时针旋转，，，，，故③正确；，，，弧的长度，设扇形围成的圆锥底面圆的半径为，则有，，圆锥的底面积，故②正确，，，，，，，△△，，，，又，，，故④正确，，，，△与△不全等，故①错误所以所有正确的序号为：②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．13．（2021·四川武侯·二模）如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为____________，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．【答案】4【分析】根据仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；再证明，而且相似比为：1，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，由此画出图形即可得出格点的个数．【详解】解：如图，连接OB，AD．∵，∴，又∵仅当C在OB上时等号成立，∴BC的最小值，又∵，∴BC的最小值，∵和均为等腰直角三角形，∴，，又∵，，∴，∴，∴，即，∴如图：点D在以为半径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点D在处，当点P与点B重合时，点D在处，∴线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个．故答案为：，4．【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，再根据画图得出结论．三、解答题14．（2021·四川省南部中学九年级月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，AC′并延长交直线DE于点P，过点D，B分别作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K．（1）求∠FDP的度数（2）连接BP，试证明BP＝AF．（3）连接BC，若正方形ABCD的边长是，请直接写出△BCP面积的最大值．【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）【分析】（1）证明∠CDE=∠C'DE和∠ADF=∠C'DF，可得∠FDP'=∠ADC=45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP=DP'，可得DP+BP=PP′=AP，可得结论；（3）作正方形的外接圆，圆心为O，说明点P在圆O上，根据BC不变可得当点P距离BC最大时，△BPC的面积最大，连接OP，与BC交于点Q，求出PQ的长即可解决问题．【详解】解：（1）由对称得：CD=C'D，∠CDE=∠C'DE，在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，∴AD=C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF=∠C'DF，∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°；（2）如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'=90°，在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，∴∠DAP'=∠BAP，由（1）可知：∠FDP=45°，∵∠DFP=90°，∴∠APD=45°，∴∠P'=45°，∴AP=AP'，DP=PF，在△BAP和△DAP'中，，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP=DP'，∴DP+BP=PP′=AP，∴DP+BP=PF+BP=AP，∴BP=（AP-PF）=AF；（3）作正方形的外接圆，圆心为O，由（2）得：∠APD=45°，又∠AOD=90°，∴点P在圆O上，在△BPC中，BC=，∴当点P距离BC最大时，△PBC的面积最大，连接OP，与BC交于点Q，则当点P位于弧BC的中点时，点P到BC的距离PQ最大，∵OC=AC=，∴OP=OC=1，而OQ=，∴PQ=OP-OQ=，此时△BPC的面积为=．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和辅助圆解决问题．15．（2021·湖南长沙·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，经过，且与轴正半轴交于，两点．（1）如图1，连接，将线段绕点顺时针旋转，使得落在轴的负半轴上，求点的路径长；（2）如图2，延长线段至，使得，若，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，经过点的直线与抛物线交于点、，若在轴上存在、，使，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由点的路径长，即可求解；（2）证明，则，即，得到，而，，得到，即可求解；（3）由点、的坐标得到，若在轴上有且仅有一点，使，则过中点的圆与轴相切，设切点为，得到，求出，进而求解．【详解】解：（1），将线段绕点顺时针旋转，使得落在轴的负半轴上，转动的角度为，点的路径长；（2）连接如图2：，，，，，的横坐标是方程的两个根，根据根与系数的关系：，即，故，，为顶点，过作轴的垂线交于点，在中，，根据二次函数的对称性可知：为顶点的纵坐标的绝对值，结合顶点公式：，，即，解得（舍去）或3，抛物线的表达式为；（3）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为：；设点，，而点，将点、的坐标代入函数表达式得，则，若在轴上有且仅有一点，使，则以中点为圆心的圆与轴相切，设切点为，则点，，则，即，化简得：，解得：（不合题意的值已舍去），．若在轴上存在、，使，则以为直径的圆和轴相交，．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了圆的基本知识、一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．16．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当∠BFD的度数最大时，求tan∠OBF的值．【答案】（1）y＝x²+x+4；（2）存在，DEF为等边三角形时，E（，0），F（0，﹣2）；（3）tan∠OBF＝【分析】（1）将一般式配方成为顶点式，根据顶点的纵坐标为，列出方程，求出的值，即可求解；（2）延长至，使，连接，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，得到，再由中点求出，，则，求出，又由，则，可求，；（3）过的外接圆，当与轴相切时，切点为，此时最大，设的中点，则，，可证明，由，求出，则，，求出直线的解析式为，设，则，由，得到，再由，可求，则，即可求．【详解】解：（1）将抛物线化为顶点式：y＝ax²﹣2ax﹣3a，＝a（x﹣1）²﹣4a，∴﹣4a＝，∴a＝，∴抛物线的解析式：；（2）存在，理由如下：设E（a，0），F（0，b），令x＝0，则y＝4，∴C点坐标（0，4），令y＝0，则，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵D为BC的中点，∴D点坐标（，2），如图1，延长DE至G，使DE＝EG，连接FG，过点D作DM⊥y轴交于点M，过G点作GN⊥y轴交于点N，∵DEF是等边三角形，∴EF＝EG＝DF＝DE，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠FEG＝120°，∴∠EFG＝30°，∴∠DFG＝90°，∵∠MFD+∠MDF＝90°，∠MFD+∠NFG＝90°，∴∠MDF＝∠NFG，∴FMD∽GNF，，，，∴，，，，，∵E点是DG的中点，∴G（2a﹣，﹣2），∴ON＝2，，，，，，，，，，为等边三角形时，，，；（3）如图2，过BDF的外接圆M，当⊙M与y轴相切时，切点为F，此时∠BFD最大，设的中点，则，，，∵OC＝4，BO＝3，∴CB＝5，∵∠COB＝∠BHG＝90°，∠CBO＝∠HBG，∴BOC∽BHG，，即，，，，设直线GH的解析式为y＝kx+b，则，，，设M（r，t），则F（0，t），∵FM＝MB＝r，∴r2＝t2+（3﹣r）2，∴t2＝6r﹣9，，，，，，，，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等相关知识以及（2）中倍长线段、构造字型相似，（3）中构造的外接圆与轴相切时最大是解题的关键．17．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）对y关于x的函数图象做出如下定义：在0≤x≤2时，函数图象最高点A和最低点B满足2yB＞yA且A、B位于x轴上方图象上，则我们称线段AB为“青一•”线段．（1）若函数y＝x+a图象上存在“青一•”线段，求a的取值范围，并求出线段长；（2）判断函数图象上是否存在“青一•”线段，若存在，求出以A，B，O为顶点的三角形外接圆面积；不存在，请说明理由；（3）已知函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上是否存在A，B构成“青一•”线段，若存在，求出满足条件的m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＞2，AB＝；（2）上存在“青一•”线段，三角形外接圆面积为；（3）函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上不存在A，B构成“青一•”线段，理由见解析．【分析】（1）根据“青一”线段的定义，可直接求出的范围，再由，都在函数图象上，利用两点的距离公式，可求出；（2）先求出的对称轴，再求出，，然后利用“青一”线段的定义即可判断；利用，，到圆心的距离相等求出圆心，然后求出半径，即可算出面积；（3）先算出，的对称轴，然后根据对称轴的位置分情况讨论，求出满足条件的即可．【详解】解：（1）∵y＝x+a，∴当0≤x≤2时，有yA＝a+2，yB＝a，∵2yB＞yA，∴2a＞a+2，∴a＞2，∵A，B都在y＝x+a上，；（2）上存在“青一•”线段，，∴当0≤x≤2时，y随着x的增大而减小，，，∴2yB＞yA，∴的图象上存在“青一•”线段；由题意得A（0，4），B（2，3），设以A，B，O为顶点的三角形外接圆的圆心为P（x，y），则PA＝PB＝PO，∴（y﹣4）2+x2＝（y﹣3）2+（x﹣2）2＝y2+x2，解得：，，圆的面积为：；（3）∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1，∴该抛物线的对称轴为x＝m，①当m≤0，在0≤x≤2上y随着x的增大而增大，∴yA＝4﹣4m+1＝5﹣4m，yB＝1，∴2＞5﹣4m，解得：，与m＜0矛盾，∴当m＜0时，不存在A，B构成“青一•”线段，②当0＜m＜1时，有：yA＝5﹣4m，，即：2（1﹣m2）＞5﹣4m，化简得：无解，∴当0＜m＜1时，不存在A，B构成“青一•”线段，③当m＝1时，yA＝1，yB＝0，∵2yB＜yA，不满足要求，∴当m＝1时，不存在A，B构成“青一•”线段，④当1＜m≤2时，有yA＝1，，若2yB＞yA，则2﹣2m2＞1，解得：，与1＜m≤2矛盾，∴当1＜m＜2时，不存在A，B构成“青一•”线段，⑤当m＞2时，yA＝1，yB＝5﹣4m，若2yB＞yA，则10﹣8m＞1，解得：，与m＞2矛盾，∴当m＞2时，不存在A，B构成“青一•”线段，综上，函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上不存在A，B构成“青一•”线段．【点睛】本题主要考查和二次函数有关的新定义概念，关键是要理解“青一”线段的定义，还有二次函数的基本知识，包括求对称轴，顶点，增减性等，当题目中出现求字母的取值范围时，一般可考虑分情况讨论，找出满足条件的范围即可，也考查了三角形的外接圆的相关知识．18．（2021·江苏工业园区·九年级月考）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知．（1）求证：；（2）若，求长；（3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）【分析】（1）连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即可得出结论；（2）设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解法长即可；（3）过点作交的延长线于，当时，，得出，，，当时，，，即可得出结果．【详解】解：（1）证明：连接，如图1所示：是的切线，，，，、是的两条半径，，，，，；（2）解：，，，设，，，，，，即：，解得：，；（3）解：过点作交的延长线于，如图2所示：当时，，，，，当时，，，，，当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为：．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键．19．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”，如图1，在中，点是边上的一点，连接，若，则称点是中边的“好点”．（1）如图1，在中，，若点是边的“好点”，且，则线段的长是__________；（2）若一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，若点是中边的“好点”，求的值；（3）如图2，的外接圆是圆，点在边上，连接并延长，交于点，若点是中边的“好点”，，的半径为，且，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据“好点”的定义知，代入即可；（2）设，则，设，，，，表示出，的长，可得，再根据“好点”定义即可得出答案；（3）连接，可证，得，再根据点是中边上的“好点”，得，则，设，则，，勾股定理得，再求出，即可解决问题．【详解】解：（1），，，由题可知：，，故答案为．（2）联立，得：，设，，，，令，则，，，，，由题可知：，，，，（3）连接，，，，，，点是中边上的“好点”，，，，，又，，是的直径，，设，则，，在中，，，在中，，点是中边上的“好点”，，．【点睛】本题主要考查了圆的相关性质和计算，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是将“新定义”转化为“旧知识”．20．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．【答案】（1），对称轴是直线；（2）①D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；②或【分析】（1）先根据，，得到OC=3OA，∠CBO=45°，则OC=OB，再求出抛物线对称轴为，OC=n，，，A（，0），B（n，0），由此求出n的值即可求出抛物线的解析式；（2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，设D（2，t），则，，，然后分别讨论当B、C、D为直角顶点时，利用勾股定理求解；②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置．【详解】解：（1）由题意可知，∠COA=90°，∴，∴OC=3OA，∠CBO=45°，∴OC=OB，∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，∴C（0，n），抛物线对称轴为，∴OC=n，∴，，∴A（，0），B（n，0），∴，∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入抛物线解析式得：，∴m=1，∴抛物线解析式为；（2）①当△BCD的外接圆圆心在△BCD边上时，△BCD是直角三角形，∵D为抛物线对称轴上的一点，∴设D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴，，，当C为直角顶点时，即，解得a=5，∴D（2，5）；当D为直角顶点时，即，解得，∴D（2，）或（0，）；当B为直角顶点时，即，解得a=-1，∴D（2，-1）；∴综上所述：D（2，5）或D（2，）或（0，）或D（2，-1）；②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，△BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置，∴或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，两点距离公式，勾股定理，二次函数与直角三角形的综合，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学九年级月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围．（3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）的取值范围为：；（3）故点P坐标为（1，4）或（2，3）．【分析】（1）抛物线经过点两点代入求解即可，（2）根据题意得出是的外接圆，确定点M为线段AB，BC垂直平分线的交点，分别求出线段AB，BC垂直平分线表达式再求出圆心M坐标即可，（3）先求出AC的函数表达式，再求出BC函数表达式，根据，交直线于点Q，，设出点P，Q坐标，根据列方程求解即可；【详解】（1）∵抛物线经过点两点，∴把点代入得：，解得：，故抛物线的表达式为；（2）∵经过三点，即是的外接圆，故点M为线段AB，BC垂直平分线的交点，∵点，∴线段AB垂直平分线表达式为：，由抛物线的表达式为知点C坐标为：（0，3），∴线段BC中点P坐标为：，又∵，∴OC=OB，∴线段BC垂直平分线即为直线OP，解得：，∴点M坐标即为：（1，1），∵N是线段上的动点，∴当N在点B，点C时MN最大，在点P时MN最小，即当N在点B，点C时，，当N在点P时，，∴的取值范围为：；（3）由（1）知，设AC的函数表达式为：，把点A，C代入解得：，设BC表达式为：，把点B，C坐标代入解得：，∵，交直线于点Q，过P作x轴的垂线，过Q作QF垂直PF（如图），∵，CO∥PF∴，∴，

∵AO=1，OC=3∴，∴设，∴解得：，当时，点P为（1，4），当时，点P为（2，3），故点P坐标为（1，4）或（2，3）．【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及到三角形外接圆，三角形相似相关知识，及函数上有关动点的线段取值范围，有一定难度．22．（2021·湖北宜都·九年级期中）已知：抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左边）顶点为C点．已知点．（1）填空：点A的坐标为（，）．（2）若点D为的外心，求的值；（3）当时，点，是抛物线上的两点，若，求m的取值范围；（4）当点C与点D重