21.1 二次根式（难点练）解析版

.1二次根式（难点练）一、单选题1．（2019·全国）若有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A2．（河南南阳市·九年级期中）实数a，b，c，满足|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，那么化简代数式-|a+b|+|a-c|-的结果为（）A．2c-b B．2c-2a C．-b D．b【答案】D【解析】解：∵|a|+a=0，∴|a|=﹣a，∴﹣a≥0，∴a≤0，∵|ab|=ab，∴ab≥0，∴b≤0，∵|c|﹣c=0，∴|c|=c，∴c≥0，∴原式=﹣b+（a+b）﹣（a﹣c）﹣（c﹣b）=b．故选D．3．（2019·山东淄博市·中考模拟）如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等腰直角△ABC被直线a和b所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x≤1时，y是BM+BD；②当1＜x≤2时，y是CP+CQ+MN；当2＜x≤3时，y＝AN+AF，分别用x表示出这三种情况下y的函数式，然后对照选项进行选择．【详解】①当0≤x≤1时，如图1所示．此时BM＝x，则DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝x，所以等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y＝BM+BD＝（+1）x，是一次函数，当x＝1时，B点到达N点，y＝+1；②当1＜x≤2时，如图2所示，△CPQ是直角三角形，此时y＝CP+CQ+MN＝+1．即当1＜x≤2时，y的值不变是+1．③当2＜x≤3时，如图3所示，此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF＝（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣）x+3+3，是一次函数，当x＝3时，y＝0．综上所述只有D答案符合要求．故选：D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x的函数式．4．（2020·安徽九年级其他模拟）化简二次根式的结果是（）A． B．－ C． D．－【答案】B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】故选B【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．5．（2021·全国九年级专题练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：故选：C．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．二、填空题6．（2019·全国九年级单元测试）若，则二次根式化简的结果为________．【答案】－【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即，（a≥0，b>0）．7．（2019·全国九年级课时练习）若，把化成最简二次根式为________．【答案】【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质.8．（2019·河南洛阳市·九年级期中）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝_______．【答案】-2a【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝===-2a.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a,都有；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.9．（2019·孟津县城关镇第一初级中学九年级月考）把根号外的因式移入根号内，得________【答案】【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．10．（2021·北京九年级专题练习）化简的结果为____．【答案】【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．11．（2021·北京九年级专题练习）已知，则的最小值为__．【答案】．【分析】先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值．【详解】解：，，可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，当，的最小值为3；当时，的最小值为6，的范围为，的范围为，当，时，的值最小，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．12．（2021·福建省福州第十六中学九年级一模）已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y值的总和是_____．【答案】2023．【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y＝|x﹣2|﹣x+3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．【详解】解：∵，∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，即当x＝1时，y＝5﹣2＝3；当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1，即当x分别取2，3，…，2021时，y的值均为1，综上所述，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是3+2020×1＝2023，故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．13．（2019·四川资阳市·九年级期末）设，，，设，则S=________________(用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．【答案】【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．三、解答题14．（2020·重庆九年级其他模拟）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：；（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）(﹣，﹣)【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．

（2）模仿例题解决问题即可．

（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．【详解】解：（1）根据题目意思，∵和，点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，故答案为：，；（2）∵∴；（3）∵，∵点M(，m)是关于x的函数图像上的一点，∴，即：M（，），又∵点M’是点M的“横负纵变点∴M′的坐标为（，）．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，横负纵变点”的定义，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．15．（2020·偃师市新前程美语学校九年级月考）化简:（1），=，=.，=.；（2）=0，=，=，=；(3)根据以上信息,观察所在位置,完成化简:【答案】（1）2、2、|a|；（2）3、-3、a；（3）-3a．【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题；

（2）根据立方根的计算方法可以解答本题；

（3）根据数轴可以判断a、b的大小与正负，从而可以化简题目中的式子．【详解】解：（1）=2，=2.，=|a|；故答案为2、2、|a|；

（2）=3，=-3，=a；故答案为3、-3、a；

（3）由图可得，

a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴=-a+b-a-（a+b）

=-a+b-a-a-b

=-3a．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．（2019·全国九年级课时练习）将二次根式根号外的因式移到根号内．【答案】【分析】由a小于0，则原式一定小于0，因此将a移至根号内后，必须给原式加上“-”，使原式保持不变，然后再按照二次根式的性质运算即可.【详解】解：，，.【点睛】本题考查了二次根式的性质，其中a小于0，当a移至根号内后，原式要加上“-”是解答本题的关键.17．（2019·黑龙江大庆市·中考模拟）已知，求的值．【答案】7．【分析】给等式两边同时除以x，可得，然后再用完全平方公式对进行变形即可.【详解】解：由得，即，∴==9-2=7．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是对等式和代数式进行变形，寻找联系.18．（2021·全国九年级）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：，，所以，问题：（1）填空：__________，____________﹔（2）进一