《圆中常用的作辅助线的八种方法》专题课件

圆中常用的作辅助线的八种方法专题第27章圆方法1作半径，巧用同圆的半径相等分类训练1.如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，点E在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径．【点拨】在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连结半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．方法2连结圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2.如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是点P，DH⊥BM，垂足为点H.求证：AP＝BH.【点拨】本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两个三角形全等创造了条件．3.如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连结AD，BC．方法3作直径，巧用直径所对的圆周角是直角【点拨】本题作出直径DE，连结AE，CE利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；【证明】如图，过点D作⊙O的直径DE交⊙O于点E，连结AE，EC，AC.∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．【解】如图，过点O作OF⊥AD于点F.方法4证切线时辅助线的应用4.[2023·长春五十二中月考]如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连结OF并延长OF交⊙O于点E，连结BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC．(1)求证：BC是⊙O的切线．【证明】如图，连结OD，

∵OA＝OD，F是弦AD的中点，∴OF⊥AD.∴∠EFG＝90°.∴∠E＋∠FGE＝90°.∵BC＝GC，∴∠BGC＝∠GBC.∵∠FGE＝∠BGC，∴∠GBC＝∠FGE.∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠E.∴∠ABE＋∠GBC＝90°.∴∠ABC＝90°，即OB⊥BC.又∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．方法5遇弦作弦心距或半径C6.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【解】如图，过点O作OE⊥AB于点E，连结OB.7.如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E，已知AC＝6，DB＝4.方法6遇直径巧作直径所对的圆周角(1)求直径AB的长；(2)小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变(如图②)，⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．小慧的说法正确，理由如下：连结AO，并延长AO交⊙O于点F，连结CF，如图②所示，8.[2023·新乡十中期末]如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.方法7遇切线巧作过切点的半径(1)求证：∠BDC＝∠A；【证明】如图，连结OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠DBO＝90°.∵CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB.∴∠BDC＝∠A.(2)若CE＝8，AD＝12，求DE的长．方法8巧添辅助线计算阴影部分的面积(1)求证：AC是⊙O的切线；【证明】如图，连结CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠B