《数字系统与逻辑设计》课件第2章

第2章逻辑函数及其化简2.1逻辑代数2.2逻辑代数的常用公式和规则2.3逻辑函数及其表示方法2.4逻辑函数的化简 2.1逻辑代数

2.1.1三种基本逻辑

1.与逻辑

如图2－1－1所示串联开关电路表示了一个简单的与逻辑电路。电源通过开关A和B向灯泡供电，只有开关A和B同时闭合时，灯泡才亮。A和B中只要有一个断开或二者都断开，灯泡就不亮。该电路功能如表2－1－1所示。对于此例，可以得出这样一种因果关系：当决定某一事件(如灯亮)的条件(如开关合上)全部具备时，该事件才会发生。这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。图2－1－1与逻辑举例表2－1－1与逻辑举例状态表

2.或逻辑

如图2－1－2所示并联开关电路表示了一个简单的或逻辑电路。电源通过开关A和B向灯泡供电，只要开关A或B中有一个或者两个都闭合时，灯泡就会亮；而当A和B同时断开时，灯泡才不亮。该电路功能如表2－1－2所示。这样可得出另一种因果关系：当决定某一事件的所有条件中，只要有一个或几个条件具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系，简称或逻辑。图2－1－2或逻辑举例表2－1－2或逻辑举例状态表

3.非逻辑

如图2－1－3所示开关电路表示了一个简单的非逻辑电路。电源通过开关A和灯泡并联电路向灯泡供电，当开关A断开时，灯泡亮；反之，当开关A闭合时，灯泡则不亮。该电路功能如表2－1－3所示。这种因果关系是：当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。图2－1－3非逻辑举例表2－1－3非逻辑举例状态表上述三种基本逻辑可以用逻辑代数来描述。设定变量A和B对应两个开关的状态，开关闭合的状态用1表示，开关断开的状态用0表示；设变量Y与灯泡的状态对应，灯泡亮用1表示，不亮用0表示。根据上述设定，可得到与、或、非三种基本逻辑关系的表格分别如表2－1－4、表2－1－5、表2－1－6所示。这种表格称为逻辑真值表，简称真值表。表2－1－4与逻辑真表表2－1－5或逻辑真值表表2－1－6非逻辑真值表在逻辑代数中，把与、或、非看做逻辑变量间的三种最基本的逻辑运算，并以符号“·”表示与运算，在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略；符号“＋”表示或运算；用变量上方的符号“-”表示非运算。因此，三种基本逻辑关系用数学表达式来描述，可以写成:

与逻辑Y=A·B=AB

或逻辑Y=A+B

非逻辑Y=A

在数字逻辑电路中，把实现与逻辑关系的基本单元电路称做与门，实现或逻辑的基本单元电路称做或门，实现非逻辑的基本单元电路称做非门(或反相器)。逻辑电路中，采用了一些逻辑图形符号来表示上述三种基本逻辑关系。这些图形符号也用于表示相应的门电路。如图2－1－4所示，图中第(1)行符号是目前国家标准规定的符号，第(2)行符号是一些国外资料及书刊常用符号。图2－1－4基本逻辑的逻辑符号与门的逻辑符号中，符号“&”表示与运算，“&”在英文中是and的速写。或门的逻辑符号中，符号“≥1”表示或运算，表示输入中有一个及一个以上的1，输出就为1。非门的逻辑符号中，用小圆圈“”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。2.1.2基本逻辑运算

最基本的逻辑运算有三种：逻辑加、逻辑乘、逻辑非。

1.逻辑加(或运算)

Y=A+B逻辑加的意义是A或B只要有一个为1，则函数值就为1。它表示或逻辑关系，因此，逻辑加又称为或运算。逻辑加的运算规则为0+0=0

0+1=11+0=11+1=1必须指出，逻辑加的运算和二进制加法的规则是不同的。

由此可推出逻辑加运算的一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A

2.逻辑乘(与运算)

Y=A·B逻辑乘的意义是只有A和B都为1时，函数值才为1。它表示与逻辑关系，因此，逻辑乘又称为与运算。逻辑乘的运算规则为0·0=00·1=01·0=01·1=1由此可推出逻辑乘运算的一般形式：A·0=0A·1=AA·A=A

3.逻辑非(非运算)

Y=A逻辑非的意义是函数值为输入变量的反。它表示非逻辑关系，因此，逻辑非又称为非运算。逻辑非的运算规则为。0=11=0A=AA+A=1A·A=0＝由此可推出：

4.复合逻辑运算

在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同复合逻辑，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或运算。

1)与非运算

与和非的复合运算称为与非运算。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。其逻辑表达式为Y=AB与非逻辑的真值表如表2－1－7所示。由真值表可见，对于与非逻辑，只有输入变量中有一个为0，输出就为1。或者说，只有输入变量全部为1时，输出才为0。其逻辑符号如图2－1－5(a)所示。2)或非运算

或和非的复合运算称为或非运算。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。其逻辑表达式为Y=A+B或非逻辑的真值表如表2－1－8所示。由真值表可见，对于或非逻辑，只有输入变量中有一个为1，输出就为0。或者说，只有输入变量全部为0时，输出才为1。其逻辑符号如图2－1－5(b)所示。表2－1－7与非逻辑的真值表表2－1－8或非逻辑的真值表3)与或非运算

与或非逻辑是与逻辑和或非逻辑运算的复合。它是先将输入变量A、B及C、D先进行与运算，然后再进行或非运算。其逻辑表达式为Y=AB+CD与或非逻辑的真值表如表2－1－9所示，逻辑符号如图2－1－5(c)所示。表2－1－9与或非逻辑的真值表图2－1－5复合逻辑符号4)异或及同或逻辑

所谓异或运算，是指两个输入变量A和B取值不同时，输出Y为1，取值相同时输出为0的一种逻辑运算。其逻辑表达式为Y=A⊕B=AB+AB式中,符号“⊕”表示异或运算。异或逻辑的真值表如表2－1－10所示，逻辑符号如图2－1－6(a)所示。表2－1－10异或逻辑的真值表异或逻辑的运算规则为

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

由此可推出异或运算的一般形式：

A⊕0=A

A⊕1=A

A⊕A=1

A⊕A=0所谓同或运算，是指两个输入变量A和B取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0的一种逻辑运算。其逻辑表达式为Y=A⊙B=AB+AB式中,符号“⊙”表示同或运算。同或逻辑的真值表如表2－1－11所示，逻辑符号如图2－1－6(b)所示，是异或逻辑符号的取非。表2－1－11同或逻辑的真值表图2－1－6异或及同或逻辑符号同或逻辑的运算规则为0⊙0=1

0⊙1=01⊙0=01⊙1=1由此可推出同或运算的一般形式：A⊙0=A

A⊙1=AA⊙A=0A⊙A=1由表2－1－10和表2－1－11可见，异或和同或互为反运算，即有A⊕B=A⊙BA⊙B=A⊕B所以，有时又将同或逻辑称为异或非逻辑。对于两变量来说，若两变量的原变量相同，则取非后两变量的反变量也相同；若两变量的原变量相异，则取非后两变量的反变量也必相异。因此，可得到另外，若变量A和B相同，则A必与B相异或A与B相异；若变量A和B相异，则A必与B相同或A与B相同。因此又有对于有n个输入变量的异或逻辑，其输出值和输入变量取值的对应关系是：输入变量的取值组合中，有奇数个1时，异或逻辑的输出值为1；反之，输出值为0。奇偶校验码校验位的产生电路即利用了此特性。

此外，偶数个变量的同或运算，等于这偶数个变量的异或之非。例如：奇数个变量的同或运算，等于这奇数个变量的异或。例如：A⊙B⊙C=A⊕B⊕C

2.2逻辑代数的常用公式和规则

2.2.1逻辑代数的基本公式

1.常量与变量之间的关系

0－1律：A+0=AA·

1=AA+1=1A·0=0A⊙0=ＡA⊕1=ＡA⊙1=A

A⊕0=A同一律：A+A=AA·A=AA⊙A=1A⊕A=0互补律：A+A=1A·A=0A⊙A=0A⊕A=1

2.逻辑代数的基本公式

逻辑代数中，常用的基本定律有9个，分别为0－1律、互补律、重叠律、交换律、结合律、分配律、反演律、吸收律和还原律,其公式列于表2－2－1。其中，与普通代数相似的定律有交换律、结合律和分配律，特殊的定律有反演律(摩根定律)和还原律。表2－2－1逻辑代数的基本公式【例2－2－1】试证明反演律AB=A+B。

证明用列真值表法，对应A、B所有取值组合，列出原式两边相应的真值表如表2－2－2所示。表2－2－2反演律(摩根定律)真值表由表2－2－2可看出，AB和A+B真值表结果完全相同，故原式成立。

除了上述基本公式，同或、异或逻辑的特点还表现在变量的交换律。

同或交换律为

若A⊙B=C，则必有

A⊙C=B，B⊙C=A

异或交换律为

若A⊕B=C，则必有

A⊕C=B，B⊕C=A

由变量交换律，不难证明

A·B=A⊙B⊙(A+B)

A+B=AB(A·B)2.2.2逻辑代数的三个规则

在逻辑代数运算中有三个重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。利用这些规则可以扩充上述基本定律的使用范围。

1.代入规则

在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若将所有出现A的地方都代之以另一个逻辑式，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。

利用代入规则，可以将上述基本等式中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大公式的应用范围。

2.反演规则

对任何一个逻辑表达式Y，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、反变量互换，长非号(两个或两个以上变量上的非号)不变，这样可得Y的反函数Y。这个规则叫做反演规则。

反演规则又称为摩根定律，或称互补规则。它的意义在于运用反演规则可方便地求得反函数Y。

【例2－2－3】已知 ,求。

解根据反演规则，可直接写出【例2-2-4】已知,求。解：根据反演规则，可直接写出

3.对偶规则

对偶式：对任何一个逻辑表达式Y，若将其中所有的与、或互换，“0”和“1”互换，这样可得一个新的逻辑式Y*。Y*就叫做Y的对偶式，或者说Y和Y*互为对偶式。

【例2－2－5】已知Y=AB+CD+0，求Y的对偶式Y*。

解可直接写出Y*=(A+B)(C+D)·1写对偶式时，同样应注意运算的优先顺序，必要时要增减扩号。但需注意，不要将原、反变量互换。对偶规则：若等式Y=W成立，则等式Y*=W*也成立。

【例2－2－6】已知(A+B)·C=AC+BC成立，试证明A·B+C=(A+C)·(B+C)。

证明令Y1=(A+B)·C，Y2=AC+BC,则Y1、Y2的对偶式分别为由已知条件知Y1=Y2，利用对偶规则得到Y1*=Y2*，上式即得证。利用对偶规则，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半，如表2－2－1中的公式1和公式2互为对偶式。利用对偶式，有时可以简化等式的证明，因为有些情况下证明对偶式相等更为容易些。2.2.3逻辑代数的常用公式

公式1A+AB=A

证明

A+AB=A·(1+B)=A特点：两个乘积项中，若其中一项(AB项)以另一项(A项)为因子，则该项(AB项)是多余的，可以消去。根据对偶规则有A·(A+B)=A

公式2

A+AB=A+B

证明

特点：两个乘积项中，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的。

根据对偶规则有特点：两个乘积项，除公有因子外，不同因子恰好互补，则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘积项。根据对偶规则有公式3

证明

AB+AB=AAB+AB=A·(B+B)=A·1=A特点：两个乘积项，除公有因子外，不同因子恰好互补，则这两个乘积项可合并为一个由公有因子组成的乘积项。根据对偶规则有(A+B)·(A+B)=A上述公式1、2、3称为吸收律。公式4

(冗余律)此定律可推广为证明证明公式4及其推论的特点：若两个乘积项中的部分因子恰好互补，而这两个乘积项中的其余因子都是第三乘积项中的因子，则第三乘积项是多余的。

根据对偶规则有

公式5

(交叉互换律)根据对偶规则有 2.3逻辑函数及其表示方法

2.3.1逻辑函数的概念

如果以逻辑变量作为输入，以某种逻辑运算结果作为输出,那么，当输入变量的取值确定后，输出的结果也会随之而定。输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的这种关系称为逻辑函数，一般写作Y=F(A、B、C、D…)其中，A、B、C、D…称为输入逻辑变量，F称为输出逻辑函数。由于输入变量和输出逻辑函数值的取值都是只有0和1两种状态，所以称之为二值逻辑函数。2.3.2逻辑函数的表示方法

1.逻辑真值表

将输入逻辑变量的所有可能的取值组合和与之对应的输出函数值排列在一起而组成的一个表格称为真值表。真值表是采用逐点观察法来描述逻辑问题的。

【例2－3－1】三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试用真值表建立该逻辑函数。

解第一步：设输入变量为A、B、C三个信号，“同意”用逻辑1表示，“不同意”用逻辑0表示。那么，三个输入变量一共有8种可能的取值组合，即000、001、010、011、100、101、110、111。

第二步：设输出变量为Y，“事情通过”为逻辑1，“事情没通过”为逻辑0。

第三步：根据题意及上述规定列出函数的真值表如表2－3－1所示。表2－3－1例2－3－1逻辑函数的真值表

2.逻辑函数表达式

按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非等运算的组合形式，称为逻辑函数表达式。如Y=AB+AB是一个与或表达式，与或表达式是最常用的一种函数表达式。其实一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示，通常逻辑函数的表达形式可分为以下几种。

与或表达式：或与表达式:与非－与非表达式:

或非－或非表达式:与或非表达式:以上是同一个逻辑函数的不同表示形式。那么由真值表如何方便地写出逻辑函数表达式呢？方法是：找出真值表中使输出逻辑函数Y=1的所有输入变量取值的组合，将对应的每一种组合用一个乘积项来表示，表示时变量取值为１用原变量表示，变量取值为０用反变量表示，最后将所有Y＝１的乘积项相加，即得Y的与或表达式，或称为积之和式。

例如，表2－3－2所示真值表中，对应于Y＝１的输入变量组合有A=0、B=0，用乘积项A=1、B＝１来表示；有A=1、B=1，用乘积项AB来表示。最后将所有Y＝1的乘积项相加，得到逻辑函数表达式为Y=AB+AB。表2－3－2真值表

3.逻辑电路图

用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑电路图，简称逻辑图。如图2－3－1所示逻辑图即为表达式L=AB+AB对应的逻辑电路图。图2－3－1

L=AB+AB的逻辑电路图

由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。例如，图2－3－2所示逻辑电路图的函数表达式为L=AB+BC+AC

图2－3－2

L=AB+BC+AC的逻辑电路图2.3.3逻辑函数相等

逻辑函数Ｆ1（Ａ1

，Ａ2，…Ａn)和逻辑函数F2（Ａ1，Ａ2，…Ａn)，如果对应于输入变量Ａ1，Ａ2，…Ａn的任一组状态组合，Ｆ1和F2的值都相同，则称Ｆ1和F2是相等的，记作F1=F2。如果F1=F2，那么它们就应该有相同的真值表，或者说，如果F1和F2的真值表相同，则F1=F2。因此，可以用真值表来证明两个函数是否相等。表2－3－3例2－3－2的真值表2.3.4逻辑函数的标准形式

逻辑函数的标准形式有两种:标准与或式和标准或与式，即最小项表达式和最大项表达式。在讨论逻辑函数的标准形式之前，首先要了解最小项、最大项的定义和性质。

1.标准与或式——最小项表达式

我们已经知道，一个逻辑函数的表达式不是唯一的。例如：(2-3-2)

包含A、B、C3个变量的逻辑函数应该有23=8个最小项。输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值为1。例如,当A、B、C取值为1、0、1时，最小项ABC=1，若把ABC的取值101看做一个二进制数，那么它对应的十进制数就是5。为了使用方便，将最小项ABC记作m5，这样，可以对每个变量取值组合用一个编号来表示，使得逻辑函数的最小项表达式书写十分方便。例如，逻辑函数表2－3－4

3变量逻辑函数的最小项及编号【例2－3－3】将函数展开成最小项表达式。

解

=m0+m7+m3+m6+m4=∑m（0，3，4，6，7）

【例2-10】将逻辑函数展开成最小项表达式。

解：这是一个包含A、B、C、D4个输入变量的函数，所以需把各个乘积项所缺的变量逐步补齐。=∑m（3，7，9，10，11，14，15）

2.标准或与式——最大项表达式

逻辑函数的标准形式除去最小项表达式外，还有最大项表达式。

在逻辑函数

的或-与表达式中，每个或项都包含了全部变量，每个变量均以原变量或反变量的形式在或项中出现且仅出现一次，这种包含了全部输入变量的或项称为最大项。3变量逻辑函数有23个最大项，n变量逻辑函数则有2n个最大项，其数目与最小项数目是相等的。输入变量只有一组取值组合才能使最大项的值为0。表2－3－5

3变量最大项编号表【例2－3－5】将逻辑函数F(A，B，C)=(A+B)(B+C)写成最大项表达式。=M2·M3·M0·M4

=∏M(0，2，3，4)=∏M(0，2，3，4)

(3)一个n变量函数，它的最小项表达式形式下标号与最大项表达式形式下标号恰好互补，而且最小项与最大项的下标号的总和为2n

。

例如,F=∑m(0，1，3，6)可转换为F=

M(2,4,5,7)

【例2－3－6】试将逻辑函数Y=ABC+BC化为最大项乘积的形式。

解

2.4逻辑函数的化简

2.4.1公式化简法

公式化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式，来消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。公式化简法经常使用的方法归纳如下。

1.并项法

常运用公式AB+AB=A将两项合并为一项。【例2－4－1】

2.吸收法

常利用公式A+AB=A消去多余项AB。3.消项法：

利用公式：消去多余项BC。【例2－4－3】

4.消因子法

常利用公式A+AB=A+B消去多余因子A。

【例2－4－4】

5.配项法

(1)利用A+A=A配项。

【例2－4－5】

(2)利用A+A=1配项。

【例2－4－6】化简时应灵活运用以上方法。【例2－4－7】化简函数解【例2－4－8】化简函数方法2先将或与表达式转换成它的对偶式(与或表达式)形式，再对对偶式(与或表达式)进行化简，最后将化简后的结果再取对偶，即得到原函数的最简或与表达式。先求F的对偶式并进行化简：再求F*的对偶式，即可见，两种化简方法结果是相同的。2.4.2逻辑函数的卡诺图化简法

1.卡诺图的概念

卡诺图是由美国工程师卡诺首先提出的一种描述函数的特殊方格图。我们知道，描述一个逻辑函数可以用它的真值表，但直接把真值表作为运算工具十分不方便。如果将真值表变换成方格图的形式，并按循环码的规则来排列变量的取值组合，即可得到卡诺图。所以，卡诺图是变形的真值表，它的每一个小方格对应真值表上的一行，即对应一个最小项。n变量函数的卡诺图应该有2n个小方格，且任意两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同，称为逻辑相邻项。卡诺图上，最小项排列的规则是几何相邻的最小项必须逻辑相邻，逻辑相邻的最小项可以合并。利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理是：具有相邻性的最小项可以合并。用卡诺图化简逻辑函数的突出优点是简便直观、规律性强，因而在逻辑电路的设计中得到了广泛的应用。

图2－4－1所示为3变量和4变量的卡诺图。3变量的卡诺图有23个小方块，4变量的卡诺图有24个小方块。图形两侧标注的0和1表示使对应小方格内最小项为1的变量取值，并且这些取值对应的十进制数即为对应的最小项序号。图2－4－1

3变量和4变量卡诺图

2.用卡诺图表示逻辑函数

既然任何一个n变量逻辑函数都能表示成最小项之和的形式，而n变量卡诺图则包含了n变量的所有最小项，所以任何一个n变量函数都可用n变量卡诺图来表示。

由真值表画卡诺图时，先根据逻辑函数的输入变量个数画出卡诺图，再将真值表的值填写在每一个小方格中即可。需注意二者的顺序不同。

【例2－4－9】已知逻辑函数Y的真值表如表2－4－1所示，要求画出Y的卡诺图。表2－4－1逻辑函数Y的真值表

解该函数为3变量。先画出3变量函数卡诺图，然后根据真值表将8个最小项的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可,如图2－4－2所示。

由最小项表达式画卡诺图时，只需把逻辑函数最小项表达式中包含有的最小项在对应的小方格中填入1，其余的小方格中填入0即可。图2－4－2函数Y的卡诺图

【例2－4－10】画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0，3，5，7，9，12，15)的卡诺图。

解该函数为4变量逻辑函数。先画出4变量函数卡诺图，然后根据函数的最小项表达式将卡诺图中最小项m0、m3、m5、m7、m9、m12、m15对应的小方格中填入逻辑1，其余的小方格填入逻辑0即可,如图2－4－3所示。图2－4－3例2－4－10卡诺图对非标准逻辑函数表达式，将之变换成最小项表达式后再画图。

有些函数变换成最小项表达式时十分繁琐，可以采用直接观察法来填卡诺图。基本原理是：在逻辑函数的与或式中，乘积项中只要有一个变量因子取值为0，该乘积项则为0，相应方格填0；只有所有变量因子的取值全部为1时，该乘积项才为1。如果乘积项中没有包含全部变量因子，即不是最小项，但只要乘积项中现有变量因子能满足使该乘积项为1的条件，该乘积项的值即为1。图2－4－4函数的卡诺图

1)卡诺图中最小项合并的规律

2个最小项相邻，可消去1个取值不同的变量而合并为1项，图2－4－5示出了2个最小项合并的例子。4个最小项相邻，可消去2个取值不同的变量而合并为1项，图2－4－6示出了4个最小项合并的例子。8个最小项相邻，可消去3个取值不同的变量而合并为1项，图2－4－7示出了8个最小项合并的例子。图2－4－5

2个最小项合并举例图2－4－6

4个最小项合并举例图2－4－7

8个最小项合并举例

2)利用卡诺图化简逻辑函数

在卡诺图上化简逻辑函数时，采用画圈合并最小项的方法。函数化简后乘积项的数目等于合并圈的数目；每个乘积项所含变量因子的多少，取决于合并圈的大小。合并圈越大，合并后乘积项中变量数就越少，表达式越简单。总之，化简原则是合并圈数尽可能少，每个合并圈尽可能大。多余项：一个主要项的圈如果不包含有“特定”1格，也就是它所包含的1格均被其它的主要项圈所覆盖，这个主要项就是多余项，也称冗余项。如图2-4-8（c）中的AB，它所包含的两个1格分别被AC和BC圈所覆盖，因此它是一个多余项。图2－4－8主要项、必要项及多余项举例用卡诺图化简逻辑函数时，需注意：

①卡诺图中的每个“1”都要圈到。每个圈必须包含2i个“1”，并且合并圈尽量地大。

②“1”可被重复圈，但每圈至少要包含一个自己特有的“1”格。

③圈完后，进行圈内变量的化简，变量之间的关系是相与。

④圈与圈之间的关系是相或，最后得最简与或式。用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：

①画出逻辑函数相应的卡诺图。

②圈出所有没有相邻项的孤立1格主要项。

③找出只有一种合并可能的1格，从它出发把相邻2i个1格圈起来，构成主要项。

④剩下的1格可以在多种合并方式中选择一种来加圈合并，所选的合并方式必须使所有1格都无遗漏地至少被圈一次，而且总圈数最少。

⑤圈内变量相与，圈与圈之间相或，得最简与或式。

【例2－4－11】化简函数。

解画出函数Y的卡诺图如图2－4－9所示。卡诺图化简得最简与或式为

【例2－4－12】化简函数F=∑m(1，2，4，5，6，7，11，12，13，14)。

解

(1)作出相应的卡诺图，如图2－4－10(a)所示。为了叙述方便，在卡诺图中可标出函数F的最小项号码，也可在对应最小项中填1。

(2)圈出没有相邻项的孤立最小项m11，如图2－4－10(b)所示。图2－4－9例2-4-11卡诺图图2－4－10例2－4－12卡诺图化简

【例2－4－13】化简F=∑m(0，2，5，6，7，8，9，10，11，14，15)。

解作出相应的卡诺图，如图2－4－11所示。首先从只有一种圈法的最小项开始，从m0出发圈出∑m(0，2，8，10),从m5出发圈出∑m(5，7),从m9出发圈出∑m(8，9，10，11)。余下的最小项m6、m14、m15均有两种圈法，在这些不同的圈法中，应选取既采用最少的圈数又能将余下的最小项全部圈入的圈法，即只用一个圈∑m(6，7，14，15)就将余下的最小项m6、m14、m15全部覆盖。因此，F化简后的表达式为图2－4－11例2－4－13卡诺图化简前面所述是对卡诺图中所有1格进行加圈合并，得到函数的最简与或式。同理，也可以对卡诺图中所有0格进行加圈合并，得到函数的最简或与式。