北京市通州区2024-2025学年高一年级下册期中数学试题（解析版）

北京市通州区2024-2025学年高一下学期期中

数学试题

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知向量"=（1'一2）,匕二⑷），则。小=（）

【答案】A

【解析】由4=（1,-2）,5=（4/），所以4力=1x4+（—2）xl=2.

故选:A.

2.如图，在平行四边形中，连结B。，下列运算正确的是（）

-------------------------

A.AB+BD=DAB.BA+BC=BD

C.AB-AD=BDD.BD-BA=DA

【答案】B

【解析】由向量加法的三角形法则得，AB+BD=AD^故A错误：

由向量加法的平行四边形法则得，BA+BC=BD，故B正确：

由向量的减法法则得，AB—AD=DB，BD—BA=AD，故CD错误.

故选：B

3.若复数z满足i.z=l—2i，则在复平面内，复数z对应的点所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

2

【解析】由i-z=l—2i,则z=—i-2i■==i-9-i=—2—i,

ii2

则复数z对应的点为在第三象限.

故选：C.

4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（）

【答案】B

【解析】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次共有62个基本事件，点数和大于8的事件有

(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共10个，

所以出现向上的点数之和大于8的概率为

3618

故选：B.

5.在VABC中，角A&C的对边分别是〃，b,明已知〃-2,b=R,c-4,贝U

cosB=()

5八3一7-15

A.-B.-C.-D.—

84816

【答案】C

【解析】在VABC中利用余弦定理得，cosB=a~+c~~b~=4+16~6=1.

2ac2x2x48

故选：C

6.已知平面向量〃，b，则或a=-/2”是“。二忖”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若4=〃或则卜卜W，反过来，若|”忖，两个向量的方向不确定，不

能推出或〃=—人，所以‘％=人或〃=是“卜卜W”的充分不必要条件.

故选：A

7.已知平面向量〃，〃是不共线的两个向量，AB=a+2b，AC=4a_4Z?，

CD=-a+2b，则()

A.AaC三点共线B.A区。三点共线

C.AC,。三点共线D.民。,力三点共线

【答案】D

【解析】由题意，AB=a+2b，AC=4a-4bCD=一a+2b，不存在唯一的实数4使

得AB=/IAC，所以A,B,。三点不共线，故A错呆，

由于BC=AC-AB=4a-4b-(a+2/?j=3a-6h,

所以3c=-3CO,则3，C,。三点共线，故D正确.

由于A£>=AB+8C+CO=4+2/7+34-6/?-a+2b=3a-2/7，

不存在唯一的实数2使得AB=AAD^

不存在唯一的实数％使得AC=4A。，故BC错误，

故选：D.

8.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有

两个，编号为3,4.从盒中不放回的依次取出两个球，A表示事件“第一次取出的是红

球”，〃表示事件“取出的两球同色”，。表示事件”取出的两球不同色”，则下列说法正确的

是（）

A.A与8互斥B.A与。互斥

C.1D.P（AC）=1

【答案】D

【解析】由题意,事件析包含（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（24）,

事件5包含（1,2）,（2,1）,（3,4）,（4,3）,

事件。包含（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,

显然3工0,ACCw0,A与A不互斥，A与C不互斥，故AB错误，

总事件的情况为(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)(2,4),

（4,2）,（3,4）,（4,3）,共12种情况,

其中AI8包含（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,（4,3）,共8种情况,

82

故夕（AJ8）=丘=],故C错误,

事件•包含（3,1）,（4,1）,（4,2）,（3,2）,（3,4）,（4,3）,共6种情况,

则和包含事件（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,共4种情况,

故尸(Kcj=2=g,故D正确.

故选：D.

9.在V4BC中，角4&C的对边分别是。，b,J则下列说法正确的个数为（）

①若优osA=Aos8,则VA8C一定为等腰三角形

②若则VA3c一定为锐角三角形

③若。二;，c、=2,则VA8C面积的最大值为G

A.0B.1C.2D.3

11.在VA8C中，角A,8,C的对边分别是。，b,c,已知。=3,A=f,sinB=-,

43

则人二.

【答案】V2

【解析】在VA3C中，由正弦定理可得‘一=一也，又。=3,A=sinB=",

sin4sin343

3_b

所以.兀一1,解得b=a.

sin——

43

故答案为：母.

12.已知复数4="z+(m—l)i,z2=2-2z,若Z1+Z2为纯虚数，则实数根=.

【答案】-2

【解析】Z|+z2=〃?+(〃Ll)i+2-2i=(〃z+2)+(〃?-3)i,

由题意得〃7+2=0,解得帆=—2,止匕时机一3。0,满足要求.

故答案为：-2

13.为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动.在最

后一轮晋级比赛中，甲、乙两名同学回答一道有关团史的问题，每名同学回答正确与否互

31

不影响.已知甲回答正确为概率为一，甲、乙两人都回答正确的概率是一.若甲、乙同学

42

都回答这个问题，则乙回答正确的概率为：甲、乙两名同学中至少有1名同学回

答正确的概率为.

211

【答案】—；—

312

【解析】设甲回答正确为事件A,乙回答正确为事件

31?

由题意,P(A)="尸(AB)=P(A)P(3)=5,则P(3)=］；

甲、乙两名同学中至少有1名同学回答正确的概率为

故答案为：•—；—.

312

14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图)它

是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若

AB\=2>/5,AF=^AE,则向量。。在R尸上的投影向量的模为

：设

DA=a，DC=b，若HE=4。+〃。，则％+〃=

【答案】4；——

【解析】由题意，设=则AE=2x,DE=x,由AO?=入石2+。石2,

则（2不了=（2x『+f,解得冗=2,

因为OC=A3，所以向量OC在B/7上的投影向量即为在BE上的投影向量，

即为FB，则DC在BF上的投影向量的模为网=2x=4.

22V7

=-|DC--AE\-DA=-DC-DA--AE,

2}24

2—4一2.4-

则AE=-OC——DA=-b——a，

5555

42422

所以2=一不,〃=彳，贝IJ2+〃=_彳+1=_1.

JJJJJ

故答案为：4；一1.

res

15.在锐角VABC中，AC=BBC=3,且tanA-l=---------,若点M为平面内

cos4cos8

一点，且8M=8C+484（；l£R）,给出下列四个结论：

.uni

①卜8:4；

②.的面积为3：

③卜历|的最小值为手；

④若BC=CM,则2的值为一士旦或也.

44

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析1在锐角V4BC中，由taM-l=———，

cosAcosB

e..-cos(A+B)..

得tarbA-1=----------=-1+tanAtanB,

cosAcosB

而tanA>0,解得tanB=1,又B是锐角，则B=45，

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCCGSB，即5=AB2+9—30A3，

解得AB=&或A3=2上，显然A是VA8c的最大角，

当时，ABAC是钝角，不符合题意；

48=aCOSA=^<O>A

2A8AC

当A8=2正时，cosA=.+2叱>oA是锐角，符合题意，AB=2g，

2ABAC

①错误；

S.RC=-ABBCsinB=-x2y[2x3x—=3^②正确；

相。222

IBM[=卜+8父+2232万当=y/822+l22+9=J(2"1+爰尸+g>半，

当且仅当％=时取等号，即BM的最小值为主区,③正确；

42

由8W=BC+4BA，得CM=2BA，则|4||B4|=|C"|=BC，即2行"|=3，

因此4=一逑或；[=述，④正确，

44

所以所有正确结论的序号是②③④.

故答案为：②③④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在V45c中，45,C所对的边分别为。，b,J已知〃=5,b=2.

4

(1)若cosC=《，求c及..ABC的面积；

(2)若麻—2c、sinB=0,求C.

由余弦定理可得c2=a2+b2-加〃cosC，

所以=52+22-2x5x2x3=25+4—16=13,所以°=旧，

113

所以VA8C的面积为一"sinC=-x5x2x-=3；

225

（2）由麻一2csinB=0,可得bsinB—2sinCsin5=（）,

同

乂因为0<〃<兀，所以sin6H0,所以sinC=*,

2

又OVCVTT,所以。二工或C=三.

33

17.已知平面向量Q，b，其中|。|=2,出|=&，且a与Z?的夹角为上.

4

（1）求〃•«+〃）的值；

（2）求悭叫的值;

（3）若向量（版-力与（A+U）互相垂直,求实数少的个数.

解：（1）由|〃|二2,|b|=>/2»且a与/?的夹角为得。•/?=2xJJxY^二2，

42

所以。•（a+Z?）=a+aZ?=6・

（2）|2«-/?|=74t/2+/72-4«-/?=74x224-（72）2-4x2=x/i（）-

（3）由向量（后一力与（a+幅）互相垂直,

得（ka—b）（a+kb）=kU-k£+（k2—Dab=2k2+2k—2=。，

解得左=7±百,所以k的值有2个.

2

18.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,

甲、乙射击中靶与否互不影响.甲、乙每次射击中靶与否也互不影响.

（1）甲、乙各射击I次，两人都脱靶的概率；

（2）甲射击2次恰有1次中靶的概率；

（3）甲、乙各射击2次，记“4次射击中至少有1次中靶”为事件M，记“4次射击中至多

有1次中靶“为事件N.判断M与N是否相互独立.（结论不要求证明）

解.：（1）设甲1次中靶为事件A,乙1次中靶为事件B,

设甲1次脱靶为事件A,乙1次脱靶为事件与，

两人都脱靶为事件4与，且A，用相互独立，

由题意得尸(A)=0.8,P(B)=0.9,

则甲1次脱靶的概率为P(4)=I-P(A)=I-0-8=0-2,

乙1次脱靶的概率为尸(8)=1-尸(8)=1-0.9=0.1,

故两人都脱靶的概率为P(A4)=0.2x0.!=0.02.

(2)由题意得甲射击2次恰有1次中靶可以分类如下，

第一次中靶，第二次脱靶，第一次脱靶，第二次中靶，

而第一次中靶，第二次脱靶的概率为68x(1-0.8)=0.16,

第一次脱靶，第二次中靶的概率为(1—0.8)X0.8=0.16,

由分类加法计数原理得恰有1次中靶的概率为0.16+0.16=0.32.

(3)不独立，证明如下，

由题意得记“4次射击中至少有1次中靶”为事件M，

则事件M的对立事件Mi为“4次射击中全部脱靶”，

得到P(M,)=(1-0.8)x(I-0.8)x(l-0.9)x(l-0.9)=0.0004,

故P(M)=l-P(M1)=l-0.0004=0.9996,

而记“4次射击中至多有1次中靶”为事件N,

可分类为4次射击中全部脱靶，甲1次中靶，乙全部脱肥或甲全部脱靶，乙1次中靶,

而4次射击中全部脱靶的概率为0.0004,

甲1次中靶，乙全部脱靶的概率为C；x。.8x(1—0.8)x(l—0.9)x(l—0.9)=0.0032,

乙1次中靶，甲全部脱靶的概率为C；x(l—0.8)x(l—0.8)x0.9x(1—0.9)=0.0072,

由分类加法计数原理得HN)=0.0004+0.0032+0.0072=0.0108,

而MN表示4次射击中恰好1次中靶，可分类如下，

为甲1次中靶，乙全部脱阳或甲全部脱靶，乙1次中靶，

得到P(MN)=0.0032+0.0072=0.0104,

则F(MN)工,不满足独立事件的定义，故M与N不独立.

19.设复数2=。+加(。,〃£1<).

(1)若z=i(2+i),求〃、力的值.

(2)若Z与复数4=2+i是互为共拢复数，求z-z”

(3)当3工0时,若z+—=r(fwR),求同.

解：(1)因为z=i(2+i)=-l+2i=a+历(〃,beR),故〃=一1,b=2.

(2)因为z与复数4=2+i是互为共轲复数，则z=2—i，

故z・Z]=(2-i)(2+i)=4+l=5.

2

(3)因为/?工0,z+-=f(，eR),

z

rll22(a-历)(la\(.lbY

a+bi+(a~-\-b~)\a~+b~)

故卫=巴匕亚

a2+b2a2+b2

因为〃。0,故标+从=2,所以|z|=J77^=夜.

7T

20.在VA3C中，角A8,C所对的边分别为。，b,c,ci=7,A=—.

3

（1）再从下面给出的条色①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得

V43c存在，求VA3C的面积；

条件①：〃=10：

条件②：c=8；

条件③：cosB=――.

（2）若AB-BC〉0,求VABC周长的取值范围,

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

解：（1）选条件①：b=\0,由正弦定理得一丝=一生，

sinBsinA

1（）_7r

即高万一百，解得sin8=生色＞1,

T7

故〃无解，所以VA3C不存在；

选条件②：c=8，由余弦定理得/=62+/一2"834

则49=02+64-8/?，解得0=3或Z?=5,

S"8c=gbcsinA=gx3x8x*=6&；

当Z?=3时.，

S=|besinA=；仓市8?乎106.

当人=5时，bAliC

选条件③：cosB=--<0,则sinB=V1-cos2B=勺叵

77

「4A/3

,•D7x-----

由正弦定理得‘一二-----,则7='八巾二——/一=8,

sinAsin8sinA，3

2

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

二正x（」+L迪二也

272714

所以S/Rjc=；4〃sinC=gx7x8x^=6G.

(2)由4B・8C=〃c•(一cosB)>0,则cos4<0,则4为钝角,

因为A=],所以BE（：,

〃_714G

又2R

sinA63，

2

则VA3C的周长为a+人+c=7+此叵sin5+MsinC=7+幽

sinB+sin

333

5yIIT

^cos^+—sinB=7+14sinB+一

22I6

,„，兀2吟”n兀（2兀5兀）,.f兀1（16、

因为B七,3所以5+片[丁丹则Mn+土屋

所以7+14sinB+—h(14,7+7x/3),

\6

即VA8C周长的取值范围为（14,7+76卜

21.如图，已知正方形46co的边长为2,圆。内切于正方形A8CO,点E，尸为切

点，点/＞为劣弧绪上的一点，过/，作尸GJLQE,垂足为G,过Q