第3章 圆的基本性质（单元测试·基础卷）-2023-2024学年九年级数学上册

第3章圆的基本性质（单元测试•基础卷）

【要点回顾】

【考点1】图形的旋转

一个图形变成另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转

动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

【考点2】垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

【考点3】圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对

应的其余各对量都相等。

【考点4】圆周角

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。半圆（或直径）所对的圆周角是直径。90。的圆周

角所对的弦是直径。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周珀相等：相等的圆周角所对的弧也相等。

【考点5】圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边

形的外接圆。圆内接四边形的对角互补。

【考点6】正多边形

正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形。任意•个正三角形和正方形都能作出它的外接圆。

把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形。

任何正多边形都有一个外接圆。

【考点7】弧长及扇形的面积

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

A.2B.3C.4D.5

D

B

A.6B.9

C.12D.15

C.22°D.21°

C.3.5D.3

C.70°D.60°

6.（2023•辽宁阜新•统考〜模）如图,团。是等边△ABC的外接圆，若4B=3,则（3。的半径是（）

5

c.GD.

2

B

图i图2

9.（2022・广东茂名•校考模拟预测）如图，已知。的半径为1,是直径，分别以点A、8为圆心,

以A8的长为半径画弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）

R

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；

20.（8分）（2022秋•广东温江•九年级校考期中）如图，48为的直径，点C在00上，延长8c至

点D,使DC=CB,延长D4

与团。的另一个交点为E,连结AC,CE.

（1）求证：团8=（3。；

（2）若A5=4,BCAC=2,求CE的长.

（2）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出

此时AC绕点。顺时针旋转的度数.

A

24.（12分）（2019秋•贵州遵义•九年级校考阶段练习）

【问题背景】如图1,在四边形AOBC中,0ACB=a4OB=9O。，AD=BD,探究线段AC,BC,。。之间的数

量关系

小明同学探究此问题的思路是：将她C。绕点。，逆时针旋转90。到财£7）处，点分别落在点A,七处

（如图2），易证点C,A,E在同一条直线上，并且I3CQ石是等腰直角三角形，所以CE=&CO,从而得出结论：

AC+心72CD

【简单应用】

（2）如图3,A8是回O的直径，点C.。在团。上用C=45。，若A8=25,BC=24,求CO的长.

【拓展延伸】

（3）如图4,朋。8=财/）3=90。/。=30若4。=。,。。=/?,求8（7的长.（用含。力的代数式表示）

参考答案

1.c

•点。在）A内且点/?在04外，

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键.

2.C

【分析】先连接OD然后利用垂径定理和勾股定理解答即可.

解：如图连接0。

①直径AB=15,

但。0=30=7.5,

回。C：08=3：5,

回CO=4.5,

回。函48,

^DE=2DC=12.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线并灵活运用垂径定理是解答本题的关

犍.

3.D

故选：D.

【点拨】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌

握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键.

4.B

故选：B.

【点拨】题目主要考杳三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性

质是解题关键.

5.D

解：如图所示，连接C。,

叵八。是（。的直径，

故选D.

【分析】作直径4。，连接CQ，如图，利用等边三角形的性质得到鲂=60。,关键圆周角定理得到财CQ=90。,

团£>=勖=60。，然后利用含30度的直角一:角形三边的关系求解.

解：作直径AQ,连接CD,如图，

回为等边三角形，

酶8=60°,

防。为直径，

的4CQ=90°,

00D=0B=6O°,则13D4C=3O°,

^CD=-AD,

2

^Aiy=Ciy+AC2,即43=(-AD)2+32,

2

0AD=2右，

^OA=OB=^AD=yf3.

故选：C.

【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，

叫做三角形的外心.也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.

7.C

解：回点C,A,用在同一条直线上，

故选：C

【点拨】本题考查旋转角，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

8.D

【分析】如图，连接。尸与4。交于点O，易证团CO。为等边三角形，从而CO=OC=OQ=；A。，即可得

到答案.

解：连接C尸与月。交于点O,

垂CO。为等边三角形，

^CD=CO=DO=4m/n,

【点拨】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的

关键.

9.A

解：。的半径为1,是直径，

如图所示，连接BC,BD，

R

用以点A、8为圆心，以A4的长为半径画弧，

故选：A.

【点拨】本题主要考查不规则图形面积的计算方法，掌握扇形面积的计算方法，图形结合分析方法是

解题的关键.

10.C

解：0MBe是等边三角形，

^AB=BC,aABC=60°,

^ADD=^BDC,故①正确；

13点Q是AC上一动点，

团4。不一定等于C。，

①。4=。。不一定成立，故②错误；

当08最长时，为圆。的直径，

^BCD=90\

0BZM4C,

EIMBD=0CBD=3OO,

如图，延长DA至点E,使4E=/)C,

回四边形ABC。为圆。的内接四边形,

00BCM3^D=18O%

^BAE+^BAD=18Q°,

^BAE^BCD,

0AB=BC,AE=CD,

0BDME,^BE=WBC,

西3BE+EL4BO=[3。8cHMBO=a48C=60°,

酶BO石是等边三角形，

口DE=BD,

^DE=AD+AE=AD+CDf

回正确的有3个.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角

形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边

二角形的判定和性质等知识是解题的关键.

解:如图，连接8C,

又•,点。位于工轴正半轴，

【点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等考点，熟练掌握等腰三角形的

三线合一是解题关犍.

12.45°

故答案为：45°.

【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角一角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键.

13.70

故答案为：70.

【点拨】此题考杳了圆内接囚边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解

题的关键.

14.4

团最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台;

故答案为：4

【点拨】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

解：由作图知：。。垂直平分A3,

田扇形的半径是1,

故答案为；

【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是

解本题的关键.

16.972+9

【分析】首先过C作CMMB于M,由弦AB已确定，可得要使团ABC的面积最大，只要CM取最大值即

可，即可得当CM过圆心。时，CM最大，然后由圆周角定理，证得回AOB是等腰直角三角形，则可求得CM

的长，继而求得答案.

解：作团ABC的夕卜接圆（30,过（:作CMEAB于M,

（3弦AB已确定,

用要使（3ABC的面积最大，只要CM取最大值即可,

如图所示，当CM过圆心。时，CM最大，

0CM0AB,CM过0,

0AM=BM（垂径定理），

0AC=BC,

E0AOB=20ACB=2x45°=90°,

[30M=AM=gAB=；x6=3,

回CM=0C+0M=3五+3,

0SAARC=vAB*CM=yx6x（?亚+3）=9&+9.

故答案为：972+9.

【点拨】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质.注意得到当CM过圆心。时，CM最大是关

键.

点。是AC、BC的垂直平分线的交点，

【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，以及圆周角

定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键.

回点&的纵坐标为04长，即为3,

19.（1）34米；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析

解：（1）连接。4,

（2）连接0A,

•.•不需要采取紧急措施.

【点拨】本题考杳的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求

解是解答此题的关键.

【分析】（1）由为团。的直径，易证得A03BQ,又由0C=CB,根据线段垂直平分线的性质，可证

得AO=/W,即可得：回BWO；

解：（1）证明：财4为（30的直径，

幽4c4=90°

财。34c

0DC=CB

团4D=A8

（2）设BC=x,则AOX—2,

00B=0E,团B=（W,

000=0^

acz>CE

0C£>=CB,

21.（1）证明见分析；（2）AC绕点。顺时针旋转45。时四边形BEQ尸是菱形.理由见分析.

（2）根据菱形的性质求解即可.

解：（1）证明：/四边形4BCO是平行四边形，

四边形/法是平行四边形，

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟悉以

上考点是解题的关键.

22.（1）见分析；（2）66