二元二次方程组与列方程（组）解应用题（核心考点）原卷版

第05讲二元二次方程组与列方程（组）解应用题

（核心考点讲与练）

院聚焦考点

二元二次方程组

二元二次方程组.

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元

二次方程或二元一次方程组.由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧

性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法.

一般解法：

二元二次方程组的一般解法是代入法，在（1）中现将y作常量，把（1）看作关于x的一元二次方

程，用y表示x后，代入（2）中，得到关于y的方程.因为在解（1）的结果中，可能得至W是x的

双值函数，所以可能得到两个方程，也可能得到无理方程,无理方程有理化后，最高可能得到四

次方程，但仍有实数解.将（3）代入（2）中，解出x,再根据（3）解出以

二元二次方程组最多可能有四组解.用代入法解二元二次方程组计算量大,计算困难（尤其是解

无理方程和一元四次方程）,因此必须寻找更简便的方法.

二.一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程

的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

U）数字问题：个位数为。，十位数是4则这个两位数表示为10b+a.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为尤，

则第一次增长后为。（1+x）;第二次增长后为a（1+x）2,即原数X（1+增长百分率）2=后来

数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩

形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角

形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成

直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹I：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.

4.解：准确求出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.

6.答：写出答案.

三.高次方程

（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程.

（2）高次方程的解法思想：

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所以解高次方程一般要降次，即把它转

化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四

则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理.换句话说，只有三次和四次的高次

方程可用根式求解.

四.由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.

（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相

遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.

（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路.

五.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要

写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工

作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.

,名师点睛

高次方程（共14小题）

1.（2021春•虹口区期末）方程16=0的实数根是

x+y=-3①

2.（2021春•长宁区期末）解方程组：J

.x%y-6y2=o②

x+2y=3

3.（2021春•崇明区期末）解方程组：J

、x2-4xy+4y^=l

4.（2020春•杨浦区期末）下列方程组是二元二次方程组的是（)

r3y=2

2

x+xy-x=2

jx+5=y

\3x-y=-l

5.（2020春•金山区期中）下列方程是二项方程的是（）

343

A.AX+8=0B.x+x=0C.x+%=lD.

2V2

6.（2021春•长宁区期末）方程）+2_?-3=0的实数根是.

7.（2021春•浦东新区期末）若关于x和y的二元二次方程/+g=1有一个解是,则字母机

ly=-l

的值为.

（（x+1）（v-2）=0

8.（2020春•金山区期中）二元二次方程组；y的解的个数是（）

ly=x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2020秋•杨浦区校级期中）若方程~+3移-2y2=0的两个解是羽=丫,&国

2-2

y,那么7+3呼-2y2在实数范围内分解因式是()

A.(x+2y)(x+y)

B.(x-a®(x-三®

22

C.G-史先y)(x-h逗y)

22

D.（厂士叵皿-土叵）

22

10.（2021春•奉贤区期末）如果一个二元二次方程的一个解是1x=2,那么这个二元二次方程可

Iy=4

以是.（只需写一个）

11.（2021春•杨浦区期末）方程组［x-y=5的解是______.

Ixy=-6

o2_o_-|n

12.（2021春•虹口区校级期末）方程组｛0Y”乙”Y=的解为_______.

8y2+7y-l=0

f

x-v=in

13.（2021春•虹口区校级期末）关于尤、y的方程组《有实数解，则机的取值范围

.y2-2x+3y+4=0

是.

.x+y=7①

14.（2021春•松江区期末）解方程组：

,*2+，=25②

二.一元二次方程的应用（共11小题）

15.（2020秋•浦东新区校级期末）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资

110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9

万元.

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？

16.（2021秋•金山区校级期中）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入将是22万元，

但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月罚款2万

元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，

还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长.经预算，投资治污

后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元.3月份以后，每月的生产收入稳

定在3月份的水平.

（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；

（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染

多少个月后，所投资金开始见成效？（即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获

利润）

17.（2021秋•金山区校级期中）某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘

米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做

成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多

少厘米？

18.（2021秋•奉贤区校级期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃塔》

的表演.表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设

立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1

米的出入口（出入口不用隔栏绳）.假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边

为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？

/////////////

出口入口

19.（2021秋•黄浦区期中）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件

盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈

利.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件.

（1）若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出件，可以赚元.

（2）为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元.要想平均每天销售这种童装盈利

1800元，那么每件童装应降价多少元？

20.（2021秋•浦东新区期中）将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1

元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？

21.（2021秋•浦东新区期中）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学

须进入临时隔离区进行留观.我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的

一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一

扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少

米？

4.5米

I；~I

DC

进出通道临时隔离区

A\--------------------------1B

22.（2021秋•普陀区期中）某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地ABCD进行绿化工程改

建.设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它们的面积之和

为56平方米，长方形A3CO内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.

23.（2021秋•吉林期末）去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度

增长了25%,第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元.

求：（1）该店第二季度的营业额；

（2）该店第三、第四季度营业额的增长率.

24.（2021秋•浦东新区校级期中）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个

面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是H米，铁栅栏只围三边，且在正下方要

造一个2米宽的门.问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？

///////////

25.（2021秋•松江区期中）如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，修建两幢底部

是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪.要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部

面积的和与草坪的面积的比是1：3,求草坪的宽度.

三.由实际问题抽象出分式方程（共3小题）

26.（2021春•浦东新区月考）已知甲乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔

记本，乙购买钢笔，已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的件数比乙多4件,

若设笔记本单价为x元，可列方程（）

A.皎+4*B.-60-4,=---4--5--

x2x-3X2x-3

c「.-6--0-=----4-5-----4.D.4560

X2x-3

27.（2021春•青浦区期末）某校八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝14岁生日活

动，先遣队与大部队同时出发.已知先遣队的行进速度是大部队行进速度的1.2倍，预计比大

部队早半个小时到达目的地.如果设大部队的行进速度为尤千米/时，那么根据题意，列出的方

程为

28.（2021春•上海期中）甲乙两人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完

成.若两人合作，8天可以完成，设甲单独完成工作需要x天，则可得方程

四.分式方程的应用（共2小题）

29.（2021秋•宝山区期末）元旦，小红和弟弟小杰两人以包馄饨来庆祝成长，两人实际所包的

馄饨数之比是5：3（小红：小杰），调皮的弟弟小杰从小红包好的馄饨里拿了2个放入自己的

成果行列后，宣称自己和姐姐包好的馄饨数之比是2：3.求两人一共所包的馄饨数.（列分

式方程解应用题）

30.（2020秋•普陀区期末）某校为了准备“迎新活动”，用900元购买了甲、乙两种礼品共240

个，其中购买甲种礼品比乙种礼品少用了180元.

（1）购买甲种礼品一共用去・元；（请直接写出答案）

（2）如果甲种礼品的单价是乙种礼品单价的2倍，那么乙种礼品的单价是多少元？

五.二元二次方程组（共2小题）

T—V1=0

31.（2018春•浦东新区期中）由方程组7消去y后化简得到的方程是

（x-1）2+（y+l）2+4=0

（）

A.2/-2%-6=0B.2X2+2X+5=0C.2x2+5=0D.2/-2x+5=0

32.（2021春•闵行区期中）已知二元二次方程组有一组解是fx=-2,写出一个符合上述条件的

1y=l

二元二次方程组为.

L能力提升

力分层提分

题组A基础过关练

选择题（共7小题）

1.（2021春•杨浦区期末）下列方程是二项方程的是（）

3

A.2?=0B./-x=0C.Ax-1=0D./+2^=1

2

2.（2020春•金山区期中）下列方程是一元高次方程的是（）

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.x3+2x+—=0D.x4+l=0

x

3.（2020春•杨浦区期末）下列方程组是二元二次方程组的是（)

'3y=2

2

x+xy-x=2

(x+5=y

[3x-y="l

4.（2019春•浦东新区期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（）

fx+y=31

A.JB.<1-

\x-2y=-3-

ly

2

c.卜安3D,fx=i

ly+z=1y=2

5.（2020•路桥区模拟）某公司拟购进A,B两种型号机器人.已知用240万元购买A型机器人和

用360万元购买8型机器人的台数相同，且3型机器人的单价比A型机器人多10万元.设A型机

器人每台x万元，则所列方程正确的是（）

A240二360B240=360

xx+10x-10x

c.D.理P_22=io

XXXX

6.（2018秋•浦东新区期末）某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资a万元，若以后每年绿化

投资金额的年增长率均为x,则2017年绿化投资的金额为（）

A.a（1+x）2B.a（l+.r%）2C.（1+x%）2D.a+a（x%）2

7.（2019春•金山区期中）甲队修路120"与乙队修路100切所用天数相同，已知甲队比乙队每天

多修10加，设乙队每天修路加1.依题意，下面所列方程正确的是（）

A120二100B120=100

xx-10x+10x

C120=100D120二100

x~10xxx+10

填空题（共4小题）

8.（2020春•杨浦区期末）二元二次方程x2-孙-6/=0可以化为两个一次方程，它们

是.

9.（2020春•静安区校级期末）二元二次方程/-2移-3/=0分解为两个一次方程的结果

为.

10.（2020秋•金山区期中）一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现

在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是.

11.（2019秋•徐汇区校级月考）某超市10月份销售额是100万元，计划12月份的销售额达到144

万元，若每月销售额增长率相同，则此增长率是.

三.解答题（共6小题）

12.（2021春•虹口区期末）解方程组：1x-xy-6y=0①.

x+y=4（2）

2x-y=3

13.（2020春•金山区期中）解方程组：|

,x2-2xy+yJ=l

x-y=2①

14.（2019春•松江区期末）解方程组

x?-xy-2y2=o②

15.（2021春•上海期中）某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积40万亩的任

务.后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%,而且要提前2

年完成任务.经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多3万亩，求原计

划平均每年的绿化面积.

16.（2020秋•虹口区期末）旺鑫果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若

干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用1452元购买了一批水果，每千克的进价比第一

次提高了10%,所购买的水果的数量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多

少元？

17.（2021秋•杨浦区期中）制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预

测，两个月后销售价将下降15.2%,为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本

的百分比是多少？

题组B能力提升练

—.填空题（共11小题）

1.（2019春•浦东新区校级月考）双二次方程d-2019/+4=0的所有实根之和为.

2.（2019春•杨浦区期中）将方程组：［、2-5xy+6y2=o成两个二元二程组

Ix-y=1221-----

和.

3.（2019•长宁区二模）方程组［x^=-3的解是_______.

lxy=2

4.（2019春•杨浦区期中）已知关于x的方程27+〃a-1=0是二项方程，那么切=.

5.（2019春•浦东新区期末）二元二次方程f-2xy-8y2=0可以化成两个一次方程，那么这两个

一次方程分别是或.

6.（2020秋•上海期末）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平

方米，其对角线长为10米.为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是米.

7.（2019秋•黄浦区校级期末）小王步行的速度比跑步的速度慢50%,跑步的速度比骑车的速度

慢50%.如果他骑车从A城到8城，再步行返回A城共需要两小时，那么小王跑步从A城到8城需

要分钟.

8.（2020秋•松江区期中）某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达至打44万元，

如果每月产值的增长率相同，则这个增长率是.

9.（2019秋•浦东新区期中）一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年7月份和9月

份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件.若假设该公司每月投送的快递件数的增长率

相同，则这家公司投送快递件数的月平均增长率为.

10.（2020•浦东新区三模）方程组［X-了=3的解是_______

Ixy=-2

11.（2019春•金山区期中）把二次方程x2-5移-6/=0化为两个一次方程，所得的两个一次方

程是和.

二.解答题（共14小题）

（x+y=2①

12.（2021•崇明区二模）解方程组：1°

.x?+2xy-3y2=0②

x2+y2=5,①

13.（2021•黄浦区二模）解方程组：.

x2-4y2=0.②

14.（2021春•崇明区期末）某西红花种植基地需要种植5000株西红花.最初采用人工种植，种

植了2000株后，为提高效率，采用机械化种植，机械化种植比人工种植每小时多种植50株，

结果比原计划提前30小时完成任务.求人工种植每小时种多少株西红花？

15.（2020秋•咸阳期末）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原

价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售

件数增加20件.已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完

毕，则售价应定为多少元？

16.（2020秋•宝山区期末）为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工12000个口

罩，在实际生产中由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的1.5倍，从而提前2天完

成任务.

（1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？

（2）如果该企业按原计划的工作效率加工了a个口罩后，才将效率提高到原来的1.5倍，则该

企业完成这批口罩工作任务一共用了多少天？（所得结果用含有。的代数式表示；。为大于零

的整数）

17.（2020秋•嘉定区期末）某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动.已知A班每

天植树量是8班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比8班植树240棵所用的天数少2

天，求A、B两班每天各植树多少棵？

18.（2021春•槐荫区期末）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠

墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪A8CD求该矩形草坪8C边的长.

BC.

19.（2021春•普陀区期末）2021年5月22日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表

面，开始巡视探测工作.着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势

平坦，行程720米，东线地势稍有起伏，行程180米，走西线比走东线多用2小时，走西线的速

度比走东线的速度每小时快60米.同时，为了确保安全，火星车的速度要小