二次根式的运算（专项训练）原卷版-2024北师大版八年级数学上册

专题03二次根式的运算

目录

A题型建模•专项突破

题型一、二次根式的混合运算...................................................................1

题型二、二次根式中的分母有理化...............................................................1

题型三、二次根式运算中的新定义型问题........................................................3

题型四、二次根式运算中的规律探究问题........................................................4

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、二次根式的混合运算

1.计算：

⑴争(2厄.备3时；

⑵x

IA2

2.计算：

⑴与李+2XJ(-3)，；⑵石(石+1卜|2-6卜亚万.

3.化简.

⑴(3+⑺(3一夕)+®2_@；(2)3x/12-3^-+V27

x/50xV32.r-

⑶向百+《/n

(4)-------r--------4V2

V8

4计算:

⑴(2叫“可——件卜可

⑵强/6)十件,

题型二、二次根式中的分母有理化

5」核心素养］阅读下面的解答过程：

4"(&T=夜7・

e+i(上+网&T’

1lx(V3-V2)

V3+V2(6+&)(百一&)、

根据以上解答过程解决下列问题:

⑴标=」

⑵试求九十号后土耳、十…十炳:廊+胸:痴的值.

?

6.阅读材料：在解决问题“若万，求24272a-5的值"时，小俊是这样分析与解答的:

2(3+77)=2(3+77)

2

团4==3+币，0£Z—3=不0(^-3)=7团。2—6。=一2.

(3->/7)(3+x/7)9-7

02tz2-12«-5=2（r/2-6«）-5=2x（-2）-5=-9.

请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：

⑴化简：目后；

4

⑵若"二三/，求%2-124+1的值.

7.阅读材料：

像（石+贝）（君-闾=3、而G=。（4?0）、（新+1）（形-1）=。-1（。20）……两个含有二次根式的代数式相

乘.积不含有二次根式.我们称这两个代数式互为有理化因式.

例如，75与石、0+1与无-1、26+3。与26-3行等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，

利用有理化因式，可以化去分母中的根号.

根据以上阅读材料回答下列问题：

⑴计算：序友=」

++++

⑵计算：|+>/2>/2+73^+2V2024+V2O25

8.阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如京、点、［占一样的式

子，其实我们还可以将其进一步亿简:

3二3x岳

=->/5(0)

V5->/5xx/5

o2X(V3-1)2(X/3-1)

瓦r(加)(g广网斗3T(0)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

意工还可以用以下方法化简：

2_31_(可-1〔便+】)便-1)=行](0)

x/5+iN/5+IV5+I6+1

2

⑴请用不同的方法化简百方

2

①参照(龄式得行耳=_;

2

②参照(龄式得名+6=_：

.2222

⑵化简；万门+7r二万+后石+…,而而二成7

题型三、二次根式运算中的新定义型问题

9.定义：若两个二次根式机，〃满足，〃•〃=〃，且P是有理数.则称，〃与〃是关于P的美好二次根式.

⑴若，〃与拉是关于6的美好二次根式，求〃?的值：

⑵若1-6与4+Bn是关于〃的美好二次根式，求机和〃的值.

10.对于任意的正数〃?，〃定义运算※为：加※〃={L厂

-Jin+y]n(m<n)

⑴计算4呼75的结果;

(2)计算(3派2)、(8必2)的结果.

11.我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.例如，某三角

形的三边长分别是2,4和J6,因为22+42=20=2x(/6)2,所以这个三角形是奇异三角形.

⑴若VA4C的三边长分别是2,2拉和布，判断此三角形是否是奇异三角形，说明理由.

⑵若心VA3C是奇异三角形，直角边的长为mb(avb),斜边长为c,写出。和5的等量关系式.

12.(23-24八年级上•江苏淮安•阶段练习)我们规定用(〃力)表示有序数对.给出如下定义：记〃?=京，〃=扬,

其中a>0,b>0,将(〃?,〃)与(〃,6)称为有序数对(。力)的一对"对称数对".例如；(4,1)的一对“对称数对〃

为停I)和(6)•

⑴有序数对(4.3)的一对“对称数对"是：

⑵针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且〃22）表示的等式，并给出证明.

16.观察下列各式并解答问题：

ri~~r/93r~i~~r[497r""ir阿B

/^+r=>j4=2：?+F+7=fe=6：卜三+不而=立……

⑴计算：卜+++;

（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含〃的等式表示，〃为正整数）.

综合攻坚•能力跃升

一、单选题

1.下列计算正确的是（）

A.2x/5+3夜=56B.4>/7->/7=4

C.（3+2x/3）（3-2V3）=3D.(4&-伺+应=4-6

2.用※定义一种新运算：对于任意实数，〃和〃，规定"两皿后一加，如：]※2=12x2-1x2=0.则（一五）必行

的值为（）

A.\/6+\/3B.—>/3C.2>/3—>/6D.25/3+>/6

3.规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数若a+〃是'最美实数”,

则，的值是（）

A.V2-1B.-V2C.&或&-1D.一应或1一五

4.先观察下列的计算，再完成习题：

]=&T_rr1=二

V2+1-（V2+1）（72-I）"；6+&一（石+@便-码一；

舟？r（^高尚司="一8根据你的猜想、归纳’运用规律计算：

（占七+万匕+…+而心而卜（腼+D的结果为，）

A.1B.2014C.2013D.V2014-1

5.我们定义：若a+b=2,则称与匕是关于1的平衡数.比如7+3=2；则-1与3是关于1的平出数.根

据定义，树下列说法错误的是（）

A.2025与-2023是关于1的平衡数

B.3-0与T+&是关于1的平衡数

C.若（帆+道卜（1-6）=-5+36,则加+K与5-6不是关于1的平衡数

D.若"+〃=3,，则”与力是关于I的平衡数

二、填空题

6.计算M+VilxG的结果等于

7.若规定〃?+in@n=mn-ir,则2③5=2@(>/3-l)=

8.观察下列等式，如果〃为大于I的正整数，请用含〃的等式表示这个运算规律：.

①曰《②职咚③邛;…

9.如图，在Rt^ABC中，AB=2,3c=1,VA4c记为第①个直角三角形，以斜边AC为长直角边，CD=1

为短直角边作笫②个Rl^ACD；再以斜边A。为长直角边，OE=1为短直角边作第③个RLADE；……依

此规律，第⑳、直角三角形的斜边长为.

10.定义：因为即巧（八-而上向一呵=a-b,可以有效的去掉根号，我们称（石+扬）与

（右-扬）为一对“对偶式”.若4展7-布二7=1，则J18—工+＞；117=—.

三、解答题

H.计算：

⑴廊++旧

⑵（逐-夜）（&+石）-（石-加;

12.计算题

13.定义新运算：对于任意实数〃、b,都有a㊉〃=〃（4一/，）+1,例如2㊉5=2x（2—5）+l=-5.

⑴求（4+3）㊉（5+1）的值;

⑵求（石-1）㊉（百㊉1）的值.

14.对于任意实数a,b,定义一种运算"㊉”如下："㊉〃=如：&@四=丽一网=3-2=

⑴2㊉6=,2&㊉逐=；

（2）已知（〃?+&）㊉（2也一〃?）=3〃，求（〃?+夜）一（2&—〃，的值.

15.观察下列等式，解答下列问题：

第I个等式:

第2个等式:

第3个等式:

（1）请直接写出第5个等式：（不用化简）；

⑵根据上述规律，请用含”的式子表示第〃个等式（〃为正整数），并证明等式成立；

（3）利用（2）的结论计算：J2022+—^x>/2024-J2021+—!—xx/2023.

V2024V2023

16.学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：旧=6£=C=杵2=2《，这个根号里的2经

过适当的变化，竟然可以“跑''到根号的外面，好像“穿堵"，数字2称为“穿墙数”.类似的“穿墙”现象还有许

多，例如:等.

⑴根据上述规律,

（2）请你用一个正整数〃（〃为“穿墙数”，〃之2）表示含有上述规律的等式（不需要证明）;

⑶按此规律，若U=（a，〃为正整数），求〃的值.

17.先阅读，后解答:

1:1义五一夜—.、(6+应)-3+限二31.

近72x722'6一起5同心+也)(75)2-(V2)2^

在上述解题过程中，及与及相乘，石-五与G+应相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称

为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.

(1)6的有理化因式是:6+2的有理化因式是：

(2)将下列式子进行分母有理化:

II11

⑶类比(2)中④的计算结果，计算:------------1-----------------1----------------F…H-----------------------------

x/2+lV3+V2V4+V3V2025+V2024

18.【观察・发现】

填空：

【归纳♦猜想】

如果〃为正整数，按照此规律，第〃个式子可以表示为：

【应用•运算】

①用发现的规律填空，并通过计算验证：J2024+--=__________；

V2026

②直接写出结果：若6^=1*,则而=.

19.阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人

合在一起,取长补短.威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.如：

(6+J5).(石—J5)=(石尸一(JJ)2=|；(百+&).(石—应)=(石尸—(J?)?=3,它们的积是有理数，我们

说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：

虻