二次函数的定义压轴题四种模型（解析版）

专题01二次函数的定义压轴题四种模型全攻略

聚焦考点

考点一二次函数的识别考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

考点三根据二次函数的定义求参数考点四列二次函数关系式

y...........................

典型例题

考点一二次函数的识别

例题：（2022•江苏•盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（）

2

A.y=3x-lB.y=3x2-1C.y=—D.y=x3+2x-3

x

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用二次函数的定义进而分析得出答案.

【详解】

解：&、y=3x-l,是一次函数，故此选项不符合题意；

B、y=3x2-l,是二次函数，故此选项符合题意；

2

C、y=—,不是二次函数，故此选项不符合题意；

x

D、y=x3+2x-3,未知数的最高次为3,不是二次函数，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式y=4«2+6x+c（aw0）,是解题的关键.

【变式训练】

1.（2020.陕西・西安市大明宫中学三模）观察：①y=6/；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x；（4）y=x3-2x；

⑤>=/一：+3；@y=（x+l）2-x2.这六个式子中二次函数有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义判断即可.

【详解】

①y=6/是二次函数；

②y=-31+5是二次函数；

③y=200.r2+400x是二次函数；

④y=炉-2尤不是二次函数；

⑤y=/-J_+3不是二次函数；

X

⑥y=（尤+1）2-尤2=2尤+1不是二次函数；

这六个式子中二次函数有①②③

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的定义，即一般地，形如，=办2+法+。（a,b,c是常数，awO）的函数，叫做二次函

数.

2.（2022•全国•九年级课时练习）下列函数①y=5x-5；②y=3尤2_1；③>=4--3/；④y=2/_2x+l；

@y=4.其中是二次函数的是.

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0,逐一判断.

【详解】

解：①y=5x-5为一次函数；

②卢3尤2一1为二次函数；

③"4尤3一3炉自变量次数为3,不是二次函数；

④y=2N-2x+l为二次函数；

⑤y=±函数式为分式，不是二次函数.

X

故答案为②④.

【点睛】

本题考查二次函数的定义，熟记定义“函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0"是解题关

键.

考点二二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

例题：（2022•福建省福州外国语学校八年级期末）二次函数y=W-2x+3的一次项系数是（)

A.1B.2C.-2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义：一般地，形如产aN+bx+cQ、b、c是常数，亦0）的函数，叫做二次函数.其中X、

y是变量，a、b、c是常量，。是二次项系数，6是一次项系数，。是常数项作答.

【详解】

解：二次函数y=N—2x+3的一次项系数是一2；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号.

【变式训练】

1.（2022•全国•九年级）设6,c分别是二次函数＞=-尤2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）

A.a=-1,b=3,c=0B.a=-1,b=0,c=3

C.a=-1,b=3,c=3D.a=l,b=0,c=3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的一般形式可得答案.

【详解】

解：二次函数y=-N+3的二次项系数是。=-1,一次项系数是6=0,常数项是c=3；

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的一般形式，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符

号.

2.（2022•全国•九年级）已知二次函数y=l-5x+3x2,则二次项系数a=,一次项系数6=，常数项

c=___.

【答案】3-51

【解析】

【分析】

形如：丁=依2+乐+,（。工0）这样的函数是二次函数，其中二次项系数为a,一次项系数为6,常数项为c,根

据定义逐一作答即可.

【详解】

解：二次函数y=l-5x+3N,则二次项系数。=3,一次项系数匕=-5,常数项c=l,

故答案为：3,-5,1.

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键.

考点三根据二次函数的定义求参数

例题：（2022•全国•九年级课时练习）已知y=O-l）"/+i+2x-3是二次函数式，则机的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】

若y=（m-1）/泊+2x-3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案；

【详解】

fm-10

解：由题意得：121c，

[m+1=2

解得：m=-l,

故答案为：-L

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键.

【变式训练】

1.（2021•黑龙江•塔河县第一中学校九年级期中）已知y=（〃-2）/+2x-l是〉关于x的二次函数，那么机的

值—.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义，（加-2）/中，未知数尤的指数为2,系数不为0,列式计算即可.

【详解】

解：回〉=（a一2"同+2尤一1是〉关于》的二次函数，

回|〃』=2且加一2H0,

0m=—2.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如厂"2+bx+c（a,b,c是常数，且存0）的函数，叫做二次函

数是解题的关键.

2.（2021・广东广州•九年级期中）关于尤的函数y=（加+1）/'一”是二次函数，则机的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据二次函数的定义：一般地，形如方加+法+c（a、b、c是常数，心0）的函数，叫做二次函数，求出小

的值即可解决问题.

【详解】

解：Ely=（%+l）/j"是关于尤的二次函数，

0m2-»i=2,m+l*0,

解得："2=2.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键.

考点四列二次函数关系式

例题：（2022•上海市青浦区教育局二模）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平

均增长率为X,第一季度的总产值为y（亿元），则y关于X的函数解析式为.

【答案】y=f+3x+3

【解析】

【分析】

根据题意分别求得每个月的产值，然后相加即可求解.

【详解】

解：回某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x,

回二月份的为（l+x）xl=l+x

三月份的为（l+x）x（l+x）=（l+x）2

第一季度的总产值为y（亿元），贝lJy=l+l+x+（l+x）2=x2+3x+3

故答案为：>=尤2+3》+3

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键.

【变式训练】

1.（2021•山东滨州•九年级期中）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若

每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10力件，那么卖出商品所赚钱>元与售价x元之间的函数关系为

【答案】_y=-10x2+560x-7350

【解析】

【分析】

由题意分析出每件商品的盈利为："-21）元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化

简即可.

【详解】

解：由题意得：每件商品的盈利为：（%-21）元，

所以：j=（x-21）（350-10x）

=-10X2+210X+350^-7350

=-10x2+560%-7350

故答案为：y=-10x2+560.r-7350

【点睛】

本题考查的是列二次函数关系式，掌握"总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.

2.（2022,全国•九年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,点N从A点出

发，点河沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）.若设

AM=AN=xcm,阴影部分的面积为yen?,则>与x之间的关系式为.

【解析】

【分析】

先求出S'WN=；/，进而即可得到答案.

【详解】

2

由题意得：S^AMN=^AM-AN=^X,

回阴影部分的面积=6x8-；/,即：J=-1X2+48.

故答案是：y=-gx2+48.

【点睛】

本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积.

课后训练

,（■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■**

一、选择题

1.（2022・吉林・安图县第三中学九年级阶段练习）下列函数中是二次函数的是（）

83

A,y=2x+1B.y=x2?-2C.y=--D.y=x3

x

【答案】B

【分析】根据二次函数的定义进行判断.

【详解】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误；

B,该函数是二次函数，故本选项正确；

C、该函数是反比例函数，故本选项错误；

该函数是三次函数，故本选项错误；

故选3.

【点睛】本题考查二次函数的定义.熟知一般地，形如y="2+6x+c（a、b、c是常数，axO）的函数，叫

做二次函数是解答此题的关键.

2.（2020•北京房山•九年级期中）二次函数y=f-4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如丫=依?+6尤+c（a,b,c是常数，a#0）的函数，叫做二次函数.其

中x,y是变量，是常量，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答.

【详解】解：解:二次函数y=/-4x+3的二次项系数是1,一次项系数是Y,常数项是3.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏

掉符号.

3.（2022•江苏•九年级专题练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万

元，则y与尤的函数关系式为（）

A.＞=100（1-x）B.y=100-x12C.y=100（1+x）2D.y=100（1-x）2

【答案】。

【分析】根据两年后机器价值=机器原价值X（1-折旧百分比）2可得函数解析式.

【详解】解：根据题意知＞=100（1-X）2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题

意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确

定.

4.（2021•河北•唐山市第九中学九年级阶段练习）若函数＞=（01+2）/12+"'-4+侬一3是关于X的二次函数，则

机的取值为（）

A.-3B.2C.3D-3或2

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0,且未知数的次数等于2,据此列不等式组并求解

即可.

[m+2w0

【详解】解：由二次函数的定义可知，当2,c时，该函数是二次函数，

[m+m-4^2

回〃z=-3或m=2,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键.

5.（2022•江苏•九年级专题练习）如图所示，在放AABO中，ABLOB,且AB=O3=3,设直线x=r截此

三角形所得的阴影部分的面积为S,则S与/之间的函数关系式为（）

11

A.S=tB.S=—»C.S=t2D.S=-r-l

22

【答案】B

【分析】中，ABrOB,且AB=QB=3,可得4OB=ZA=45。；再由平行线的性质得出

NOCD=NA=45。，即/COD=/OCD=45。，进而证明CD=OD=心最后根据三角形的面积公式，求出S

与，之间的函数关系式.

【详解】解：如图所示，

国RMABO中,ABLOB,且钻=05=3,

0ZAOB=ZA=45°,

回CDLOB,

^\CD//AB,

团NOCD=NA=45。，

国/COD=NOCD=45。,

团CD=OD=t,

团S/\ccn=_2,ODxCD

=!?(O<?<3),

2

即：s=l/(o<r<3).

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，

等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点.解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系.

二、填空题

6.（2021•全国•九年级课前预习）把＞=（2—3尤）（6+无）变成的形式，二次项为,一次

项系数为,常数项为.

【答案】-3尤2-1612

【解析】略

7.（2022・全国•九年级课时练习）如图，AABC中，AB=AC,CO0A8于。，BD=1,设BC=x,AD=y,当

x＞行时，y关于尤的函数解析式为.

c

【分析】由B£>=1,AD^y,可得A3=AC=y+l,在R/EIACD中，CD-^AC^-AD^y+l,在R/I32CO中，

C^BC^-BD2^-1,即得Zy+lK2』，可得答案.

【详解】解：^BD=1,AD=y,

EL4B=y+l,

^AB=AC,

t2L4C=y+l,

在R/HACD中，C£>2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+l,

在R胞BCD中,C》=BC2-BD2=X2-1W-l,

回2y+l=、2-l,

0y=^x2-l.

故答案为：y=-1卜>应）.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CLP作等量，列出y与x的关系式.

8.（2021・重庆・垫江第八中学校九年级阶段练习）若函数y=（a+l）Na田是二次函数，则0的值是.

【答案】1

【分析】根据二次函数的定义，列出关于。的方程和不等式，即可求解.

[|a|+l=2

【详解】根据二次函数的定义可得：11,八，解得：G=1.

[。+1*0

故答案为：L

【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2,二次项系数不等于零，是解

题的关键.

9.（2021・山东•泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知y=（〃”4）尤总3*2是二次函数，则加的值为

【答案】-1

【分析】根据二次函数的定义，即可求解.

【详解】解：12y=（唉4）--3加-2是二次函数,

0m2—3m—2=2月.〃z—4w0,

解得：/«=-l.

故答案为：-1

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数丫=62(。力0)是解题的关键.

10.(2021•全国•九年级专题练习)下列函数一定是二次函数的是.

3

(1)y=ax2+bx+c-,(2)y=——；③y=4x2-3x+l；(4)y=(m-l)x2+bx+c；(5)y=(x-3)2-x2

-x

【答案】③

【分析】根据二次函数的定义：一般地，把形如广以2+/+°(©0)(4、6、C是常数)的函数叫做二次函数，据

此判断即可.

【详解】解：①丫=加+"+°,必须满足60才为二次函数，故①不一定是二次函数；

②等号右边为分式，故②不是二次函数；

③y=4W—3x+l是二次函数，故③是二次函数；

(4)y=(m-I)x2+bx+c,加=1时，该式不是二次函数；

⑤y=(x-3)2-£=X2-6X+9-W=-6尤+9,该式不是二次函数;

故答案为：③.

【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解本题的关键.

三、解答题

11.(2022•全国•九年级专题练习)下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=3x-l；

(2)y=3f+2；

(3)y=3x3+2x2；

(4)y=2x2-2x+l；

(5)y=x2-x(l+x)；

(6)y=xT2+x

【答案】(2)(4)是二次函数

【分析】根据二次函数的定义，即可求解.

【详解】解回(1)不是二次函数，因为自变量的最高次数是1.

(2)是二次函数，因为符合二次函数的概念.

(3)不是二次函数，因为自变量的最高次数是3.

(4)是二次函数，因为符合二次函数的概念.

(5)不是二次函数，因为原式整理后为方一尤.

(6)不是二次函数，因为x—2为分式，不是整式.

故（2）（4）是二次函数.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y="x2+bx+c（其中。、6、c均为常数，且。片0）

的函数关系称为二次函数是解题的关键.

12.（2022•全国•九年级课时练习）已知函数"（a+1）（a-2）无（a为常数），求a的值：

⑴函数为二次函数；

⑵函数为一次函数.

【答案】⑴。=1

（2）a=0或-1

【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出〃+1=2,a+lM得出即可；

（2）利用一次函数的定义分别求出即可.

⑴

当1时，函数为二次函数，

[a+l^Q

解得：a=±lfa^-1,

⑵

上//+1=1叶"粉为沪水粉

当《,cc时，函数为一次函数，

[。+1+。-240

解得：a=O,

当4+1=0,即4=-1时，函数为一次函数，

所以，当函数为二次函数时，a=l,当函数为一次函数时，。=0或-1.

【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键.

13.（2022・全国•九年级课时练习）一个二次函数y=（笈-l）x-4+2%—1.

（1）求L的值.

（2）求当x=3时，y的值？

【答案】（1）k=2；（2）14

【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于％所满足的式子，求解即可；

（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可.

ft2_7^+4=2

【详解】解：（1）依题意有，，八，

"-I/O

解得：k=2,

欧的值为2；

（2）把62代入函数解析式中得：y=x2+2x-l,