二次函数的图像变化（压轴题专项训练）-浙教版数学九年级上册（解析版）

专题03二次函数的图像变化五类综合题型

典例详解

类型一、二次函数的旋转

类型二、二次函数的翻折

类型三、二次函数的平移

类型四、二次函数的对称

类型五、二次函数做分母的特殊变化

压轴专练

廖^型一、二次函数的旋转

二次函数旋转180°的核心规律

抛物线旋转180°后，形状不变（二次项系数绝对值不变），开口方向相反（二次项系数符号改变），

且对应点关于旋转中心对称。

坐标变换本质：

若点P（x,y）绕某点O（m,n）旋转180°后得到点P'（x;y'）,则。是P和P的中点，

（X+x,

\m=---

满足：42,

即旋转后点的坐标（x',y）与原坐标（x,y）的关系为:x'=2m-x,y'=2n-y»

旋转90°（开口方向变为水平）规律：

原抛物线（开口竖直）旋转90°后变为“水平抛物线”（开口向左或向右），不再是y关于x的二

次函数，而是x关于y的二次函数。

点（x,y）旋转90°后坐标变为（y,-x）（顺时针）或（-y,x）（逆时针）；

表达式需通过坐标替换推导。

例I.（2024九年级•全国・期末）如图，抛物线=32+仪。＜0,匕＞0）交汇轴于点儿B（点力在点8右

侧），交y轴于点C.将抛物线绕点A旋转180。，得到抛物线它与％轴的另一个交点为点。，顶点为点£若

四边形BCDE为矩形，则a、b应潢足的关系式为（）.

C.ah=—2D.ab=—3

2

【答案】D

【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标及矩形的性质和中心对称的性质.由矩形性质得48=力。,

即可求解.

【详解】解：令x=0,得丫=心

•••C（0,b）,

令『=0，得ax2+b=0,

•.•四边形BCDE为矩形,

•••AB=AC,

2

...2yj口a=yllb--a,

4(-D=/?2"?

•••ab=—3.

故选：D.

变式1-1.（22-23九年级上•浙江・周测）将抛物线y=/以点。为中心，顺时针方向旋转90。，得到一个新的

图象，，如图，若（与,%）,（工2/2）是图象，上的两点，则下列说法正确的是（）

B.若为>丫2,则工1>外

2

C.若力>工2，则y/>y2D.若%>，2，则花〉/

【答案】C

【分析】根据函数图像解答即可.

【详解】解：由图象可知，若X1〉X2,贝Ijy/Ay?2.

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质,数形结合是解答本题的关键.

变式1-2.(24-25九年级上•辽宁的芦岛•期中)抛物线y=2x2-4x+3绕原点O旋转180。所得抛物线的函

数表达式为.

【答案】y=-2x2-4x-3

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，

可得答案.

【详解】解：将y=2x2-4x+3化为顶点式，得y=2(x-1)2+1,

抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180。所得的抛物线的解析式是y=-2(x+I)2-1,

化为一般式，得y=-2x2-4x-3,

故答案为：y=-2x2-4x-3.

变式1-3.(24-25九年级上•湖南常德•阶段练习)如图，一段抛物线y=-x2+6x(0<x<6),记为抛物线

G，它与x轴交于点。，①；将抛物线G绕点力i旋转180。得抛物线C2,交x轴于另一点42；将抛物线绕

点七，旋转180。得抛物线C3；交工轴于另一点4…如此进行下去，得到一条“波浪线若点M(2023,m)在

此“波浪线”上，则的值为.

C2

示例：原函数y=x2,关于y=x翻折后为x=y2。

例2.(2025♦内蒙古呼伦贝尔•二模)已知二次函数丫=一/+4%+5及一次函数丫=一”+4将该二次函

数在％轴上方的图象沿不轴翻折至以轴下方，图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示)，当直线y=

一%+匕与新图象有4个交点时，Z7的取值范围是()

A.-9<b<0B.--</?<-1C.--<b<-1D.-7<b<-1

44

【答案】B

【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，aH0)与x轴的交

点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换.解方程-乂2+4乂+5=0得

A(-l,0),B(5,0),再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+l)(x-5),&Py=x2-4x-5(-1<

x<5),然后求出直线y=-x+b经过点A(—l,0)时b的值和当直线y=-x+b与抛物线y=x2-4x-5(-l<

x<5)有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围.

【详解】解：如图，

2

当y=0时,—x+4x4-5=0»解得x1=—1,x2=5,则A(—1,0),B(5,0),

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+l)(x-5),

2

g|Jy=X-4X-5(-I<x<5),

当直线y二一x+b经过点A(-1,O)E寸，1+b=0,解得b=-l；

当直线y=-x4-b与抛物线y=x2-4x-5(-1<x<5)有唯一公共点时，方程x?-4x-5=-x+b有相等

的实数解，解得b=-?,

4

所以当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为-曰<b<-l.

故选：B.

变式2-1.（24-25九年级上•青海西宁•期中）如图，函数y=lax?+bx+c|（a>0,8?-4ac>0）的图象是

由函数y=ax2+bx+c（a>0,b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿工轴向上翻折而成，则下

列结论：①2a+b=0：②将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点；③当1<皿〈彳时,

该图象与直线y=X+m有四个交点；④a+匕之a/+从（t为实数）其中正确的是（)

C.①③④D.②®®

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知

识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键.求出函数丫=a*2+6乂+（：1>0加2-4200）的对称

轴为直线X=l,由此即可判断①王确；先利用待定系数法求出函数丫=2*2+6*+。的解析式，再求出函数

y=|ax2+bx+c|在一1VxV3段的图象的最高点的坐标为（1,4）,由此即可判断②正确；找出两个临界位置:

当直线y=x+m经过点（一1,0）时,直线与函数y=|x2-2x-3|图象有3个交点；当直线y=x+m与函数y=

|X2-2X-3|在一1VxV3段的图象只有•个交点时，直线与函数y=|x2-2x-3|图象有3个交点，求出m的

值，由此即可判断③正确；根据当x=l时，函数y=ax?+bx+c取得最小值，最小值为a+b+c,则对于

任意实数3都有a+b+cWal+bt+c,由此即可判断④错误.

【详解】解：函数y=ax?+bx+c(a>0E-4ac>0)的对称轴为直线x=-三==二

・二匕=-2a,即2a+b=0,结论①正确；

由题意可知，函数y=ax2+bx+c的图象经过点(一1,0),(3,0),(0,—3),

a—b+c=0fa=1

将点(3,0),(0,-3)代入：9a4-3b+c=0>解得b=—2,

c=—3(c=—3

，函数y=ax2+bx+c的解析式为y=x2-2x-3=（x-I）2-4,其顶点坐标为（1,一4）,

工函数y=|ax2+bx+c|在一1Vx<3段的图象的最高点的坐标为（1,4）,

•••将函数y=|ax2+bx+c|图象向上平移1个单位长度后，在x轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的

坐标为(1,5),

・•・将函数y=|ax2+bx+c|图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点，结论②正确；

由上可知，函数y=|ax2+bx+c|的解析式为y=|x2-2x-3|,

当xW-l或xN3时，y=X2-2X-3,

当一1<x<3时，y=-(x2-2x-3)=-x2+2x+3,

有两个临界位置：如图，当直线y=x+m经过点(一1,0)时，直线与函数丫=k2-2乂-3|图象有3个交点，

如图，当直线y=x+m与函数y=|x?-2x-3|在一1Vx<3段的图象只有一个交点时，直线与函数y=

联立［y=-x2+2x+3得：x2-x+m-3=0,这个方程有两个相等的实数根,

(y=x+m

・,•方程根的判别式△=(-1)2-4(m-3)=0,

解得m=

4

・••当l<mv?时，该图象与直线y=x+m有四个交点，结论③正确；

由上可知，函数丫=2乂2+6乂+0图象的开口向上，对称轴为直线x=l,

・••当x=l时，函数y=ax?+bx+c取得最小值，最小值为a+b+c,

二.对于任意实数3都有a+b+cWat?+bt+c,即a+bWat?+bt,结论④错误;

综上，正确的是①®

故选：A.

变式22(24-25九年级上•山东烟台・期末)将抛物线y=-+1产的图象位于直线y=-2以下的部分向

上翻折，得到如图图象，若直线y=x+m与此图象有四个交点：则m的取值范围是.

【答案】1<mV：

【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与•次函数的交点问题，根据题意，画出新图

象，分别确定直线h与抛物线丫=(X+1)2有一个交点、直线b经过点A(-3,-2)时的m的值，即可求解.

【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示：

直线1］与抛物线y=—：(x+1)2有一个交点时：方程一：(x+1)2=x+m有一个实数根,

整理方程得：x2+4x4-1+2m=0,

A=42—4(1+2m)=0>

解得：m=p

由一;(x+=-2解得：X|=-3,x2=1,

:.A(—3,-2)

当直线经过点A(-3,-2)时，-2=-3+m得m=I,

Am的取值范围是：IVm<g

故答案为：1Vm<：.

等类型三、二次函数的平移

平移规律(基于顶点移动)：

左右平移：h控制,左加右减于X。

向左平移m个单位-»新顶点横坐标h-m新函数：y=afx-(h-m)]2+k=a(x-h+//+k

向右平移m个单位f新顶点横坐标h+m->新函数：y=afx-(h+m)]2+k=a(x-h-in)2+k

上下平移：k控制。上加下减。

向上平移n个单位->新顶点纵坐标k+n-»新函数：y=a[x-h)*+(k+n)

向下平移n个单位->新顶点纵坐标k-n-»新函数：y=a(x-h)2+(k-n)

解题关键：先找到顶点式或求出顶点坐标。平移时紧紧抓住顶点的变化。对于标准式y=al+法十八

可以先配方法或直接用顶点公式求出顶点坐标(h,k),再应用平移规律。

例3.(2025•河南驻马店•模拟预测)如图①，抛物线y=a%2+bx+3与％轴交于4B两点，与y轴交于点C,

(1)求抛物线的表达式.

(2)己知点尸3，%),Q(X2/2)是抛物线上的两点，且点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，若满足与+小>

-2,请比较力与的大小.

(3)将抛物线平移，使得其顶点P落在直线y=x-l上，设平移后的抛物线与y轴的交点为D,求点D的纵坐

标切的取值范围.

[答案】(1)抛物线的表达式为y=-X2-2X+3；

(2)y]>y2；

(3)点D的纵坐标丫口<-1.

【分析】(1)依题得出点C坐标后可推得点A坐标，结合抛物线对称轴可知点C坐标，设抛物线的解析式为

y=a(x+3)(x-1),将点C(0,3)代入即可得解;

(2)由X|+x2>-2推出一Vx2-(-l),即可判断点P比点Q距离对称轴更近，结合二次函数的图象

与性质即可得解；

(3)设平移后顶点P(p,p-1),平移后抛物线解析式为y=-(x-p)2+p-l,令x=0,可得点D的纵坐标

2

yD=-(p-0-2,进而可以判断得解.

【详解】(1)解：侬题得：当x=0时，y=3,

即C(0,3),

A0C=0A=3,

则A(-3,0),

••・抛物线的对称轴为直线x=-1,A,B两点关于对称轴对称，

・・・

设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),

将点C(0,3)代入得，a=-l,

•,・抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3；

(2)解：vX]4-x2>-2,

—1—x(VX2一(—1),

即点P比点Q距离对称轴更近，

由(1)得，a=-lV0,抛物线开口向下，有最大值，

二x>y2；

(3)解.：设平移后顶点P(p,p-1),则平移后抛物线解析式为y=-(x-p)2+p-l,

•••平移后的抛物线与y轴的交点为D,

令x=0,则点D的纵坐标丫口=-p2+p-1=-(p2-p)-1=~(P_0一方

••,对于任意p都有(p-0>0,

•••点D的纵坐标丫口<

【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质、

二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题.

变式3-1.（24-25九年级下•云南,期中）己知函数为=ax?+以.

⑴若此函数与x轴只有一个公共点且过点（1,-勺，求函数的解析式；

（2）若a>0,将此抛物线必向上平移c个单位（c>0）得到新的抛物线力，当％=c时，丫2=0；当0V%<c时，

y2>0.试比较ac与1的大小，并说明理由.

【答案】ay=-^x2

（2）ac<I

【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、二次函数与不等式的关系、二次函数的图象与性质，

（1）令y=0得，ax2+bx=0,由题意得根的判别式为。求得b=0,再把点（I,一；）代入求得a=-；，即可

求解；

（2）由题意得y2=ax24-bx+c,把（c,0）代入得一b=ac+1,利用函数图象可得一b>2ac,进而求解即可.

【详解】（1）解：令y=O得，ax?4-bx=0,

丁此函数与x轴只有一个公共点，

A=b2-4ac=b2=0,

Ab=0,

•••此函数图象过点（1,一9，

把点（1,一1）代入y】=ax?+bx得，a=-；,

•••函数的解析式为X=-32；

2

（2）解：ac<1,理由如下：由题意得，y2=ax+bx+c,

Vx=c时，y2=0；

/.ac2+be4-c=0,

/.ac+b+1=0,即一b=ac+I,

Va>0,

・•・抛物线开口向上，ac+1>0,

b<0

丁对称轴x=—：>0,画草图如下：

2a

*当0<x<c时，y2>0,

—~Nc>即-bZ2ac>

2a

:.ac+1>2ac,

/.ac<1.

变式3-2.(24-25九年级上•重庆秀山・期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-：/+6%+(；与工轴

交干点4(一2,0),8(4,0),与y轴交于点C,连接8C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,P是线段8C上方抛物线上的一个动点，过点P作尸Elly轴交8。于点E,在。3上取点D,连接C。，

其中2。。=BD,过点£作“卜轴交CD于点F,求PE+长度的最大值及此时点P的坐标：

(3)如图2,在平面内，将抛物线y=-^x2+bx+c沿直线y=%斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过(0,2)

时停止平移，此时得到新抛物线.在平移后的新抛物线上确定一点M,使得乙BOM=45。，请直接写出所有

符合条件的点M的坐标.

【答案】(l)y=-：X2+X+4

⑵PE+EF长度的有最大值为弓，点PC片)

(3)(2+2近,5近)或(4+273,-4-26)

【分析】本题主要考杳了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的

综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键.

(1)直接运用待定系数法即可解答:

(2)先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线BC、CD的解析式，设P点坐标为(m,

一;m?+m+4)(m>()),则E(m,-m+4),F(],-m+4),再表示出线段PE+EF的表达式，然后根据二

次函数的性质求最值即可解答；

(3)由y=一!x?+x+4=-;(x-+*设平移后的解析式为y=-;(x-1-+；+t(t>0),再根据

平移后的抛物线过(0,2)点可求得!,进而确定平移后的抛物线解析式，然后分M点位于x轴的上侧与下侧,

设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可.

【详解】(I)解：•・3=一那+bx+c与x轴交于点A(—2,0),B(4,0),

p)=-2—2b4-c解得

t()=-8+4b+c

•••撤物线的解析式为y=-+x+4：

(2)vy=-#+x+4

AC(0,4),

vB(4,0),2OD=BD,

设直线BC的解析式为y=kx+bH

则归墨>解啮工

:.y=—x+4,

同理：直线CD的解析式为y=-3x+4,

设P点坐标为(m,-gnr+m+4)(m>0),

则E(m,—m+4),F(1,—m+4),

•••PE=—；m2+m+4—(—m+4)=—■；m2+2m,

llm2m

EF=m一不=不

•••PE4-EF=—1m24-2m+Y=-；m2+Y="+看,

.•.当m=$寸，PE+EF长度的有最大值为葺点

(3)vy=-1x2+x+4=-1(x-1)2+p

如图，设平移后的解析式为y=-l(x-i-t)2+^+t(t>0),

•・•当平移后的新抛物线经过(0,2)时停止平移，得到新抛物线，

•••2=-;(-1-t)2+g+3解得：t=2或t=-2(舍弃)，

・•・平移后的新抛物线的解析式为丫=—；(x-3>+£=-；x2+3x+2,

①当M点位于x轴上侧时，过点M作MG1x轴，

•••匚BOM=45。，

.•.△MGO为等腰直角三角形,

MG=OG,

---x--:X2+3x+2,

解得：x=2+2V2,或x=2-2日(舍去)，

M(2+2V2,5V2)；

当M点位于x轴下侧时，过点M作MH1x轴,

VOBOM=45°,

.•.△MHO为等腰直角三角形,

MH=OH,

二x=一(-gx?+3x+2),

解得：x=4+2V5,或X=4-26(负数舍去)，

M(4+2石，-4一26)，

综上所述符合条件的点M的坐标(2+2衣,5衣)或(4+26，-4-26).

旗类型四、二次函数的对称

1.关于x轴对称对称规律：

顶点变化：原顶点(h,k)f对称后顶点(h,-k)；

系数变化：a变为-a(开口方向相反)。

表达式推导：

若原函数为顶点式y=a(x-h)2+k,对称后为：y=-a(x-h)2-k

若原函数为一般式y=ax?+bx+c,对称后为：y=-ax2-bx-c

2.关于y轴对称对称规律：

顶点变化：原顶点(h,k)一对称后顶点(-h,k)；

系数变化：a不变(开口方向不变)。

表达式推导：

若原函数为顶点式y=a(x-h)2+k,对称后为：y=a(x+h)2+k

若原函数为一般式y=ax?+bx+c,对称后为：y=ax2-bx+c

3.关于原点对称(中心对称)对称规律：

顶点变化：原顶点(h,k)--对称后顶点(-h,-k)；

系数变化：a变为\(-a\)(开口方向相反)。

表达式推导：

若原函数为顶点式y=a(x-h)2+k,对称后为：y=-a(x+h)2-k

若原函数为一般式y=ax?+bx+c,对称后为：y=-ax2+bx-c

4.关于直线x=m对称(竖直直线)对称规律：

顶点变化：原顶点(h,k)f对称后顶点(2m-h,k)(横坐标满足h=2m-h,纵坐标不变)；

系数变化：a不变(开口方向不变)。

表达式推导：

若原函数为顶点式y=a(x・h>+k,对称后为:y=a(x+h-2m)2+k

5.关于直线y=n对称(水平直线)对称规律：

顶点变化：原顶点(h,k)一对称后顶点(h,2n・k)(纵坐标满足\(k=2n-k\),横坐标不变)：

系数变化：a变为(开口方向相反)。

表达式推导：

若原函数为顶点式y=a(x-h>+k,对称后为：y=-a(x-h)2+(2n・k)

例4.(24-25九年级下•黑龙江大庆•期中)定义：若函数G和函数的图象关于直线％对称，则称函数

Ci和Q关于直线％=加互为“和睡函数”，函数G和Cz的图象交点叫做“和睦点”.

例如：函数y=x2-3关于直线％=1的“和睦函数”为y=(x-2)2-3,“和睦点”为(1,一2).下列说法不正

确的序号为.

①函数y=x2-2x关于直线％=-1的“和II奉函数”为y=(%+3产-1=/+6%+8,“和陛点”坐标为(一1,3)；

②函数y=x2-4x+1关于直线无=?n的“和I睡点”的纵坐标为九，当1WmW4时，则九的取值范围是一2<

n<1；

③函数y=X2-4x关于直线％=m的“和睦点”纵坐标d满足：|d|<3,〃?的取值范围是3<m<2+V7或2-

V7<m<1

④己知M(l,-2),N(4,-2),函数。1号=。(久一1)2-4矶。>0)关于直线％=2的“和陛函数”为。2,将函数C1

与G的图象组成的图形记为T,若丁与线段MN只有2个公共点，则a的取值范围是at1

【答案】②④/④②

【分析】本题主要考查了二次函数顶点式、二次函数点的坐标特征、二次函数交点问题等内容，利用数形

结合是解题的关键.①根据“友好函数''的定义即可求解，②n=R-4m+1=(m-2)2-3,再根据m的取

值范围即可得到n的范围，③根据题意得;3m2-4m|W3,解不等式，即可求解；④当MN过“和睦点”时，

为临界点情况，当MN过C］的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，找出临界值代入求解即可.

【详解】解：①•••y=x2-2x=(x-1)2一1,

•••顶点(1,一1),它关于直线x=-l的对称点为(-3,-1),

•••“和睦函数''为y=(x+3)2-1=X2+6X+8,

•••两个函数图象关于直线x=-l对称，

,其交点必在直线x=-1上，将x=-1代入y=X?-2x中，y=1-2x(-1)=3,

.一和睦点”坐标为(-1,3)；故①正确；

②由题意得n=n?-4m+1=(m-2)2-3,

v1>0,

••.n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为(2,-3),

••・当m=2时，n有最小值一3,

当m=1时，n=-2,当m=4时，n=1,

—3<n<1；故②错误；

③依题意可得d=m?-4m

V|d|<3,

/.|m2—4m|<3

Am2-4m—3<0或m2—4m+3>0

解得：3WmW2+夜或2-近WmWI,故③正确

当MN过“和睦点”时，为临界点情况，

当x=2时，y=a(2—I)2-4a=-3a,

即-3a=-2,

解得：a=[

则当a时，T与线段MN只有2个公共点；

当MN过C]的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，

当x=1时，y=a(l—I)2—4a=-4a,

即—4a=-2,

解得:a=p

综上，a的取值范围为：23|或@=；,故④错误，

故答案为：②④.

变式4-1.(24-25八年级上•广东中山•期末)定义：若函数图像上存在点M'(m+1,电)，且满足

九2-九1=3则称t为该函数的“域差值”.例如：函数y=2x+3，当x=m时，nx=2m+3；当x=m+1

时，n2=2m+5,n2-n1=2则函数y=2x+3的“域差值”为2

(1)点用<巾+1*2)在'=:的图像上，“域差值"=一4,求m的值；

(2)已知函数y=-2X2(X>0),求证该函数的“域差值"t>-2；

(3)点力(a,b)为函数y=-2/图像上的一点，将函数y=-2x2{x>a)的图像记为电，将函数y=-2x2(x<

a)的图像沿直线y=b翻折后的图像记为32当上，伍两部分组成的图像上所有的点都满足“域差值、<1时，

求a的取值范围.

【答案】(1)一早或空

(2)见解析

⑶-2]

【分析】(I)先把两点坐标代入反比例函数解析式中求出川,中的值，再由电二-4,列方程解答即可；

(2)设函数y=-2x?(x>0)图象上存在点M(m,n]),M(m+1,电)，且满足n?—川=t,m>0,求出川川?的

值，进而得到山一咆=-4m-2,求出一4m-2的范围即可证明结论；

(3)当W1两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”tWI时，nij_4m-2<1,可得mN—%对于函数丫=

一2x2(xWa)的图象沿直线y=b翻折后的图象即为W?：y=2x2-4a2(x<a),根据定义求出m的范围，即

可解答.

【详解】(1)解：•••点M(m,n。，M’(m+1,2)在y=(的图象上,

44

•••“域差值"t=-4,

整理，得：m2+m-1=0,

经检验，rri|=一4上m,=咚」均是方程-y—2=—4的解，

22m+1in

的值为一浮1或浮1：

(2)证明：设函数y=-2x“x>0)图象上存在点M(m,nD，M(m+l,n2),且满足电一川=3m>0

当x=m时，ri|=-2m2,

当x=m+l时,川=-2(m+1)2,

22

•••t=n2-n1=-2(m4-I)—(—2m)=—4m—2,

vm>0,

:.-4m<0,

：•-4m—2<—2,

即tV-2,

故该函数的“域差值”tv-2；

(3)解：如图所示，

加

2-

♦.,点A(a,b)为函数y=-2x?图象上的一点,

•••b=-2a2,

由(2)得:t=-4m-2,

当W1的图象上所有的点都满足“域差值”tW1时，

则-4m-2<1,

解得：

m>—4p

・•・如图，当aN—：时，函数y=—2x2(x")的图象上所有的点都满足“域差值”tW1；

设2t2)是函数y=-2X2(X<a)图象上的一点，则(t,2t2-4a?)在W2的图象上，

・••对于函数y=-2x2(x<a)的图象沿直线y=b翻折后的图象记为W2:y=2x2-4a2(x<a),

•・・W|的图象上所有的点都满足“域差值”tW1,

A2(m+I)2-4a2-2m2+4a2<1,

:.4m+2<1,

*“i

m4-1<

.-3

・・aq

综上所述，—<a<20

44

【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数

形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题.

变式4-2.(2025•辽宁铁岭•二模)在平面直角坐标系中，在函数S的图象上任找一点P,总能在函数7的图

象上找到一点Q,使得点P与点。关于直线y=m对称，我们把函数S与函数7称为关于直线y=/n的对称

函数，点P与点Q关于直线y=m互为对称点，直线y=m称为函数S和函数7的对称轴.例如点P(a,2a)在

函数y=2%的图象上，点Q(a,—2a)在函数y=-2%的图象上，点P与点。关于x轴(直线y=0)对称，函

数y=2x与函数y=-2%关于x轴(直线y=0)互为对称函数.

(1)函数、=|(x<0)关于直线y=0的对称函数是二

(2)若函数y=2T与函数y=-2x-4是关于直线y=m的对称函数，求这两个函数的对称轴y=m；

(3)若函数y'是函数y=[2'”,一？关于对称轴直线y=m的对称函数.

G+1)2-3,x>-2

①当m=—1时，求函数y=[2X+?，"-2关于对称轴直线=6的对称函数/；

②已知点4(-4,1),点8(3,1),当函数y'的图象与线段AB有且只有一个交点时，请直接写由〃?的取值范围.

【答案】(l)y=-“xV0)

X

(2)y=-2

⑶0y=[4,x<:②m<-1或-！vmW7.

l-(x+1)2+hx>-222

【分析】(I)设K(k,J是函数y=；(x<0)的图象上一点，则可知点(k,—J在函数y=：(x<0)关于直线y=0

的对称函数的图象上，据此可得答案；

(2)设点L(l,21)是函数y=2x图象上一点，则点L(l,21)关于直线y=m的对称点坐标为(1,2m-21),根据题

意可得点。,2m-21)在函数y=-2x-4的图象上，据此求解即可；

(3)①设点H(h,2h+2)(h<-2)是函数y=2x4-2(x<一2)的图象上一点，则

点(h,—4—2h)(h<一2)一定在函数y=2x+2(x<-2)关于直线y=-1的对称函数的图象上，设T(t,(t+

I)2-3)(t>一2)是函数y=(x+1)2-3(X>一2)的图象上一点，则点(t,1-(t+l)2)(t>一2)一定在函数y=

—2x—4XV—7

{-(x+I)2+1,x>-2

②同理可求出y=12x"!■2m2,x-2；在丫=—2x+2m—2(xW—2)中，当x=-2时，y=2m+2,

l-(x+l)2+2m+3,x>-2

分别求出当点A(-4,1)恰好在函数y=-2x+2m-2(x<-2)的图象上时，当抛物线y=-(x+I)2+2m+3

的顶点坐标恰好在线段AB上时，当点(-2,2m+2)恰好在线段AB上时，当点B(3,l)恰好在函数y=

-(x+1)2+2m+3的图象上时，四种情况下m的值即可得到答案.

【详解】(1)解：设K(k,J是函数y=：(xV0)的图象上一点，

关于直线y=0的对称点的坐标为(k,-：),

・••点,,一：)在函数y=；(x<0)关于直线y=0的对称函数的图象上，

，函数y=：(x<0)关于直线y=0的对称函数为y=—^(x<0)；

(2)解；设点LQ,21)是函数y=2x图象上一点,则点L。,21)关于直线y=m的对称点坐标为。,2m-21),

•・•函数y=2x与函数y=-2x-4是关于直线y=m的对称函数，

・•・点(1,2m-21)在函数y=-2x-4的图象上，

A-2l-4=2m-21,

Am=-2,

，这两个函数的对称轴为y=-2：

(3)解：①设点H(h,2h+2)(h<一2)是函数y=2x+2(x<-2)的图象上一点,则点H(h,2h+2)(h<一2)关

于直线y=-1的对称点坐标为(h,—4—2h)(h<-2),

，点(h,—4-2h)(h<一2)一定在函数y=2x4-2(x<-2)关于直线y=-1的对称函数的图象上，

，函数y=2x+2(x<-2)关于直线y=-1的对称函数为y=-2x-4(x<-2)；

设T(t,(t+1)2—3)(t>一2)是函数y=(x+I)2-3(x>-2)的图象上一点，则点T(t,(t+I)2-3)(t>一2)关

于直线y=-l的对称点坐标为l)2)(t>-2),

・••点(t,1一(t+l)2)(t>-2)一定在函数y=(x+I)2-3(x>一2)关于直线y=T的对称函数的图象上，

2

.・.函数y=(x+一3(x>-2)关于直线y=-1的对称函数为y=-(x+I)+l(x>-2),

-2x-4,x<-2

综上所述，y'=

.-(x+1)2+1,x>-2

②设点R(r,2r+2)(r<一2)是函数y=2x+2(x<-2)的图象上一点，则点R(r,2r+2)(r<一2)关于直线y=m

的对称点坐标为(i■，-2r+2m-2)(r<-2),

•••点(r,-2r+2m-2)(r<一2)一定在函数y=2x+2(x<-2)关于直线y=m的对称函数的图象上，

，函数y=2x4-2(x<-2)关于直线y=m的对称函数为y=一2x+2m-2(x<-2)；

设S(s,(s+I)2-3)(s>-2)是函数y=(x+I)2-3(x>-2)的图象上一点,则点S(s,(s+I)2-3)(s>-2)关

于直线y=1口的对称点坐标为(s,-(t+I)2+2m+3)(t>一2),

，点(s,-(t4-I)2+2m+3)(t>一2)一定在函数y=(x+I)2-3(x>一2)关于直线y=m的对称函数的图象

上，

工函数y=(x4-I)2—3(x>—2)关于直线y=m的对称函数为y=—(x+I)2+2m+3,

—2x+2m—2,x<—2

综上所述，y'=

、一(x+I)2+2m+3,x>—2

在丫=—2x+2m—2(x<—2)中，当x=-2时，y=2m4-2,

如图3-1所示，当点A(-4,1)恰好在函数y=-2x+2m-2(x4-2)的图象上时,

:.1=-2X(-4)+2m-2,

解得m=-|；

如图3-2所示，当抛物线y=-(x+I)2+2m+3的顶点坐标恰好在线段AB上时,

/.2m4-3=1,

如图3-3所示，当点(-2,2m+2)恰好在线段AB上时，贝ij2m+2=1,解得m=—3

如图3-4所示，当点B(3,l)恰好在函数y=-(x+I)2+2m+3的图象上时,

:.1=—(3+1)~+2m+3,

解得m=7；

图3-4

综上所述，当函数y'的图象与线段AB有且只有一个交点时，一半£11]＜一1或一；＜»1W7.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，解题的关键在

丁根据轴对称的性质得到对应函数的对称函数.

辱类型五、二次函数做分母的特殊变化

============================================================]

当二次函数作为分母时的分式函数，需要考虑几点

I.分母不为0,需要解相应一元二次方程的根

2.函数的值，由分母的取值范围反推。

3.图像特征

渐近线：

垂直渐近线：分母为零的点（即方程ax2+bx+c=0的实根）；

水平渐近线：当x越大时，分母二次函数ax?+bx+c函数值的绝对值越趋近于无穷大，即水平渐近线为y

越趋近于0o

单调性：

需结合分母的单调性分析：

若分母在某区间递增且为正，则分式在该区间递减；

若分母在某区间递减且为负，则分式在该区间递增（需注意符号对单调性的影响）。

例5.（2025・湖北宜昌•模拟预测）为了研究函数丫=忌薪的性质，小妍用描点法画它的图象，列出了如

下表格：

X・・・-3-2-10123・・・

①点（5,.）在该函数图象上；

②该函数图象在x轴上方；

③该函数图象有最高点：

④若力（兀,％）和8（—，5,、2）是该函数图象上两点，则<丫2；

⑤若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是y=看.

其中正确的结论是（）

A.①②③④B.①②®⑤C.②③④⑤D.①③@@

【答案】B

【分析】本题考查了函数的图象，根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关

键.

【详解】解」当x=5时，y=-=%

・••点（5年）在该函数图象上，原结论正确；

：7y==，>0,

^^2（x-i）2+l

，该函数图象在X轴上方，原结论正确：

A（x-1）2+1>1,

・•・—同

・••该函数图象有最高点，原结论正确；

□由图象可得，

V|1-（-V3）|>|1-7T|,

Ay,>y2»原结论错误;

匚若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是y=777T==，原结论

正确：

・•・正确的结论是

故选：B.

变式5-1.（2025・湖北武汉•三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数丫二仄小

的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格：

X♦・・-3-2-10123・・・

_111111

y~x2-2M+2・・・11・・・

52225

以下五个结论：①点（-4,在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线

X=1对称；④点力8（瓦丫2），若a>b>1,则为<y；⑤若直线y=。与函数y=2一;—的图象有

2

2个公共点，则其中正确的结论是.（填写序号）

【答案】0（2）@

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把x=-4代入函数解析式求出y的值即可判断①；由绝对值的

性质可得即不管x取何值，始终有yNO,即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质

可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关犍.

【详解】解：当时，[_I

x=-4y=(-4)2-2|-4|+2-10’

•••点（一喘）在函数的图象上，故①正确;

当x>0时，y=-rr-；--=--工0，

JX2-2X+2（x-1>+1

当x<0时，y=--=-->0,

:x-+2x+2（x+l）-+l

即不管x取何值，始终有yNO,

，函数的图象一定不经过第四象限，故②正确；

由表知，函数的图像关于直线x=0对称，即关于y轴对称，故③错误;

.・.当XN。时，y=x2_；x+2=（x-；2/y随x的增大而减小，

，点A（a,yJ,B（b,y2）,若a>b>1,则丫［<丫2，故④正确；

由②可知，0VyW1,

画函数图象如卜.：

由图象可知，当直线y=a与函数y的图象有2个公共点时，:Wa<1,故⑤错误；

综上，正确的结论是①②④，

故答案为：①②®.

变式5-2.（24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习）关于函数丫=7TM的图像和性质，下列五个结论：

J|X2-4X|+1

①点（-1,?在函数图像上；

②图像关于直线x=2对称；

③4（%,y）在函数图像上，若0VXW3,则:Wy<1；

④若力（%1，%）,8（%2，丫2）在函数图像上，则当与>x2>2时，%>y2i

⑤若方程「=£有两个不相等的实数解，则t=1或0VtV

|x2-4x|+l5

其中正确的结论是（填写序号）.

【答案】①②⑤

【分析】把x=-1代入到y=2_]]+]中，求出对应的函数值即可判断①；令丫'=k2一4乂|,当x24或x£0时

y=x2-4x=(x-2)2-4,当0<x<4时，y'=-x24-4x=-(x-2)24-4,根据函数y'=|x2-4x|关于直

线x=2对称，可得函数y=告力关于直线