高考数学一轮复习（新高考版）平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算

【考试要求】1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的

意义和两个向量相等的含义2理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的

儿何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平

面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两人平面向量共线的含义.5.了解平面向

最的线性运算性质及其几何意义.

知识梳理

I.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有力包的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：长度为Q_的向量，记作0.

⑶单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：。与任息向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑹相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

力，

a交换律：a+b=力+

求两个向量和的

加法三角形法则。；结合律:(。+力)

运算

+c=a+(b+c)

a

平行四边形法则

求两个向量差的

减法a—5=a+(-b)

运算

几何命义

|xa|=|Z||ab当力＞0时，痴与a

2(〃。)=(〃)a；

求实数2与向量的方向相同;

数乘(x+/z)a=xa+//a；

a的积的运算当2V()时,〃与a的方向相反;

A(a+b)=Aa+ib

当2=0时，〃=0

3.向量共线定理

向量力与非零向量。共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使得力=〃.

【微思考】

1.三角形加法法则的推论是什么？

提示一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点

的向量，即3元+不石+不用H-----\-An-\An=MAn,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成

的向量和为零向量.

2.中点公式的向量形式是什么？

提示中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点，。为平面内任一点，则（。入+0方）.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（I）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.（X）

（2）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.（X）

（3）若向量最与向量而是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.（X）

（4）当两个非零向量°,力共线时，一定有力=痴，反之亦成立.（V）

题组二教材改编

2.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若“与力都是单位向量，则。=方

B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

C.若用有向线段表示的向量俞与而不相等，则点M与N不重合

D.海拔、温度、角度都不是向量

答案CD

解析A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大

小，故x轴，），轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D

正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.

3.设M为平行四边形对角线的交点，。为平行囚边形43CO所在平面内任意一点，

则万1+加+公+5b等于（）

A.OMB.20MC.30MD.4而

答案D

解析苏+加+沅+丽=（—+的+（励+而）=2而+2而=4而.

4.已知口ABC。的对角线AC和8D相交于点0,且晶=%为=力，则比=,BC=

.（用a,b表示）

答案b—a—a-b

解析如图，DC=AB=OB~OA=b~a,BC=OC-OB=-OA~OB=-a-b.

题组三易错自纠

5.对于非零向量b,%+2b=0"是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条住

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a+2b=0,则°=一2瓦所以°〃尻

若。〃瓦则a+2b=0不一定成立，

故前者是后者的充分不必要条件.

6.（多选）下列四个命题中，错误的是（）

A.若WOa=b

B.若⑷=|力则

C.若⑷=|同，贝1］。〃〃

D.若a=4则⑷=网

答案ABC

1.（多选）给出下列命题，其中叙述错误的命题为（）

A.向量赢的长度与向量就的长度相等

B.向量。与〃平行，则。与力的方向相同或相反

C.|。|十步|=|。一"=。与〃方向相反

D.若非零向量。与非零向量力的方向相同或相反，则。+力与》之一的方向相同

答案BCD

解析对于A,向量筋与向量枝，长度相等，方向相反，命题成立；对于B,当。=0时，

不成立；对于C,当。，力之一为零向量时，不成立；对于D,当。+》=0时，。+力的方向

是任意的，它可以与访力的方向都不相同.

2.设“，〃都是非零向量，下列四个条件中，使步自成立的充分条件是（）

A.a=~hB.a//b

C.a=2bD.a〃力且|a|=|"

答案C

题型二平面向量的线性运算

命题点1向量加、减法的几何意义

例1设非零向量ab满足心+例=注一例,则（）

A.aA-hB.⑷=|力|

C.a//bD.同＞网

答案A

解析方法一利用向量加法的平行四边形法则.

在。A8CO中，设懿=〃，AD=b,

由|°+加=|0一臼知，|启|=|加|,

从而四边形ABC。为矩形，即AB_LA。，故。_1_"

故选A.

方法二'：\a^b\=\a-b\.

••・|〃+肝=|〃一肝.

:.a2+/+2。力=。2+浜-la-b.

*.a*b=O.

故选A.

命题点2向量的线性运算

例2（2020・合肥质检）在△48C中，BD=\BC,若篇=a,AC=b,则成等于（）

2112

A.qa+y力B.qa+gb

八I2,21

c5rD.Q。一乎

答案A

解析方法一如图，过点。分别作AC,A8的平行线交48,AC于点E,3则四边形AEQ”

为平行四边形，所以&）=而十后.因为丽=5/，所以检=冢），能=冢乙所以病=声

JJJJ

+|AC=1«+|/>,故选A.

战?=;〃+；力，故选

方法二5,6+2A.

331

方法三由BD=g8C,得AQ—44=g(AC—A4),所以4Q=A/3+；(AC—/W)=，8+；AC=G。

+*,故选A.

命题点3根据向量线性运算求参数

例3(2021.河南八市联考改编)在等腰梯形A/3CO中，疝=2比，点E是线段病的中点，若能

=Z48+〃AQ,则2+〃=

答案i

解析取AB的中点F,连接CF,则由题意可得C87AD且C尸=4D因为靠=矗+迸=靠

315

---

^

z4

4*

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)求已知向量的和或差.共起点的向量求和用平行四边形法则：求差用向量减法的几何意义:

求首尾相连向量的和用三角形法则.

(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求

参数的值.

跟踪训练1⑴(2018•全国I)在△ABC中，A。为8C边上的中线，E为AO的中点，则旗等于

()

A^AB—^ACB.^AB—^AC

3-*I-*D.(A5+%C

C7A8+7AC

44

答案A

解析作出示意图如图所示.

—*—*—►1—►I—>■

EB=ED+DB=/D+豆CB

II—►-►1—>—►

=5义]("+/1。)+]("—AC)

31_►

=jAB—pC.故选A.

⑵在平行四边形人AC。中,凡尸分别为边ACUO的中点.若嬴=/方+)，丽，yGR).

则X-y=.

答案2

解析由题意得恁=赢+诙=赢+地,

—1—>

AF=AD^DF=AD^AB,

因^jAB=xAE-\-yAF,

所以赢=（x+g矗+（杆）源），

所以x—y=2.

题型三共线定理的应用

例4设两向量。与力不共线.

(I)若靠=a+b,正=勿+8乩CD=3(a-b).求证：4,B,D三点共线；

(2)试确定实数上使履+方和。+姑共线.

⑴证明•・•而=。+瓦就=2a+8A,CD=3(a~b).

，砺=正+必=2。+8)+3(。一))=2。+86+3。-36=5(。+&)=5赢.・・・赢，砺共线，

又它们有公共点从

B,。三点共线.

(2)解・"a+)与。+姑共线，.••存在实数L

使履+8=2(。+姑)，即Aa+b=2a+〃力，

：.(k—z)a=(/.k—1)8.

,:a,b是不共线的两个向量，

：.k-A=Ak-\=O,・・・/一1=0,：.k=±\.

思维升华利用共线向量定理解题的策略

(1)。〃8。。=幼(6/0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线=赢，启关线.

(3)若a与b不共线且).a=ub,则2=4=0.

(4)万〃沆〃为实数)，若A,B,C三点共线，则i+〃=l.

跟踪训练2(1)(2021・南昌质检)已知a,力是不共线的向量，而=〃+4危=〃+曲(九4ER),

若A,B,。三点共线，则2,4的关系一定成立的是（

A.川=1B.M=-1

C.A—/t=—1D.Z+"=2

答案A

解析・・・Q与最;有公共点A,・••若4,B,。三点共线，则存在一个实数人使赢=加，即

2=/,-I

施+力=勿+〃力，则彳消去参数，，得〃2=1；反之，当川=1时，AB=-a-\-b,此时

存在实数，使/诵=与已故祐和启共线.•・•茄与府有公共点A,...A,B,C三点共线，故

选A.

（2）（2020•郑州模拟）设ei与以是两个不共线向量，赤=3ei+2ez，①=储+62，必=3白一2履2,

若A,B,。三点共线，则k的值为.

答案《

解析由题意知，A,B,D三点共线，故存在一个实数九使得前=2而.

=

又A8=3ei+2e2,CBke\-\-ei,CD=3e\—2keiy

BD=CD—CB=3e]—2ke2~(ke\+^2)

=(3一女)ei—(2女+1)62,

:.3ei+2e2=i(3—k)e\—2(2k+1)e2»

p=x(3-Zr),解得上=_*

[2=一2(2女+1),

课时精练

留基础保分练

1.（2021.湖北宜昌一中月考）已知“，b是两个非零向量,且|«+切=闻+步|,则下列说法正确

的是（）

A.。+》=0

B.a=h

C.。与力共线反向

D.存在正实数九使。=力

答案D

解析因为。，b是两个非零向量,且|。+引=同+步|,

所以。与力共线同向，故D正确.

2.如图所示，在正六边形A8CDE/中，函+诙+雄等于（）

口

A.0B.BE

C.ADD.CF

答案D

解析根据正六边形的性质，

易得，函+丽+访

=函+赤+济

=BF-\-CB=CF.

3.已知平面内一点尸及△ABC,若丽+丽+元=赢，则点P与△A8C的位置关系是（）

A.点P在线段48上B.点尸在线段8c上

C.点P在线段AC上D.点月在△A5C外部

答案C

解析由萩+而+元=靠，得万+而+元:=丽一莉，即正=一26，故点P在线段AC上.

4.（2020•唐山模拟）己知O是正方形的中心.若/无=西+〃/，其中九4WR,贝g

等于（）

A.-2B.一］C.fD巾

答案A

解析DO=DA-{-AO=CB-^AO=AB-AC~\~}乙：AC=AB—\JAC,所以2=1,〃=—4乙，因此"£=

-2.

5.（多选）下列说法中正确的是（）

A.AB4-BA=0

B.若⑷=|加且则a=b

C.向量。与力不共线，则。与力都是非零向量

D.若。〃〃，则有且只有一个实数九使得6=加

答案AC

解析由嘉，函互为相反向量，得筋+前=0,故A正确；

由⑷=|例且。〃瓦得。=〃或。=一儿故B错误；

若。与力不共线，则〃与b都是非零向量，故C正确；

根据向量共线基本定理可知D错误，因为要排除零向量.

故选AC.

6.（多选）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若4贬=%否+%乙则点M是边8c的中点

B.若病=2嬴一/，则点M在边BC的延长线上

C.若病=一施一所，则点M是△人8c的重心

D.若病=疝?+就，且x+y=g,则△M3C的面积是△A3C面积的£

答案ACD

解析若刀口=%S+次?，则点M是边BC的中点，故A正确；

若病=血一最?，即有刀/一筋=初一就，

即威=在，

则点M在边CB的延长线上，故B错误；

若病=一成/一函

即刀讥I■加/+苏/=0,

则点M是△ABC的重心，故C正确；

如图，AM=xAB+yAC,

且x十）,=3，

可得2嬴=2x赢+2.v/，

设病=2俞，

则M为AN的中点，

则△MBC的面积是△ABC面积的：，故D正确.

故选ACD.

7.若丽|=前|=|赢一花=2,则而+晶=,

答案2#

解析因为|初|=位］=丽一族1=2,

所以△A8C是边长为2的正三角形，

所以通+最?|为△A4C的边4c上的高的2倍，

所以以0+彳为一2噌.

8.设向量。，力不平行，向量痴+》与。+2办平行，则实数2=.

答案

解析•・•向量”，b不平行，・・・a+25W0,又向量Lz+b与。+2b平行，则存在唯一的实数

4=〃，1

使痴+》="(a+2b)成立，即痴+》=〃〃+24〃，贝时解得2=〃=5.

」=2〃，2

9.设M是△ABC所在平面上的一点，目J而+,而+,疝7=0,D是AC的中点，则\DM\

|雨

MG1

答案3

解析・・・。是AC的中点，，总+证=2励，

又•・,MB+$瀛+|/WC=0,

f3ff3f

:.MB=一](MA+“。=一弓义2MD,

即M8=3OM,故MO=QBM,

J

.曲」

・•——y

18M

10.己知O,E,〃分别为△ABC的边AC,CA,AB的中点，且证=md=b,给出下列命

题：®AD=^a—h；②BE=a+/〃：®CF=-®AD+HE+CF=().

其中正确命题有.

答案②③④

~-►-*1->I->I-►-►I―►I—>—>I

解析BC=a,CA=b,AD=548+5AC=5(AC+C8)+yC=5C8+AC=一中一方，故①错;

3E=4C+gcA=a+；〃，故②正确；

CF=2(CB+CA)=2(~a^~^)=~2a~^2^t故③正确；

AD-\-BE-\-CF=一力一；。+。+夕>+1力一Jr=0,故④正确.

所以正确命题序号为②③④.

11.己知a,力不共线，O\=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设/七R,如果3a=c,2b

=d,e=/(a+/>),是否存在实数，使C,D,石三点在一条直线上？若存在，求出实数，为值,

若不存在，请说明理由.

解由题设知，CD=d—c=2b—3a,

CE=e-c=«-3)a+ib,

C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数&,使得成=我(力，

即(，一3)。+力=一3履+2必，

整理得(/-3+34)。=(22—。).

因为0,力不共线,

6

得

f-3+3&=0,解=-

所以有J5

2k-t=(),

故存在实数芦使C,D,E三点在一条直线上.

12.如图，在△A4C中，。为4c的四等分点，且靠近4点，E,尸分别为4C,4。的三等分

点，且分别靠近A,两点，设加=4,AC=b.

(1)试用a,力表示比，AD,BE；

⑵证明：B,E,尸三点共线.

(1)解在4c中，因为⑪=a,AC=h,

所以的=米:一赢=卜一明

病=施+曲=赢+；正

131

=4+4(方一。)=平+^力，

8E=8A+AE=—AB-FJAC=—〃+，

(2)证明因为“£=—

而』及+#=-公+尹

=_。+翡。+%）=-%-1

所以济=；诙，而与赤共线，且有公共点B,

所以6,E,尸三点共线.

用技能提升练

13.（多选）设〃，。是不共线的两个平面向量，已知而=a+sina•4其中。£（0,2兀），QR=

2a-b.若P,Q,R三点共线，则角a的值可以为（）

.TCc5兀「，7兀r11兀

A.7B.T-C.-T-D.-7-

oooo

答案CD

解析因为a,〃是不共线的两个平面向量，所以2a-bW0.即痂#0,因为夕，Q,R三点共

线，所以的与诙共线，所以存在实数2,使丽=2徐，所以a+sinab=2；。一Zb,所以

1=2A,i7TC11Jr

',解得sina=-5•又。£（。，2兀），故a的值可为束■或7-.

sina=—A,z0°

ni

14.（2020•广东六校联考）如图，在△A8C中，AN=^NC,P是BN上一点，若A>=麻+水,

则实数，的值为（）

22I3

A5B5C6口彳

答案C

解析方法一因为病=争衣;所以俞=,危.

—>—►-►—►—►2—>—►

设NP=i、NB,则4Q=AN+NP=MAC+2N8

=|AC+晨法+牯)=］启+/^―|/4C+赢)

=；JB4-|(1-A)AC.

.—I——，一

所以M8+y\C=Z48+m（l-2）AC,

7=A,

得（21

解得T=a=d，故选c.

方法二

,q.—I—5—

所以4P=/A8+wAC=/A8+"AN,

J