微积分英文版3

CHAPTER3THEDERIVATIVE微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2.1 TwoProblemswithOneThemeTangentLines&SecantLinesTheslopeofasecantlinebetween2pointsonacurveisthechangeiny-valuesdividedbythechangeinx-values.Sinceatangentlinetouchesonlyonepointonthecurve,howdowefindtheslopeoftheline?Weconsidertheslopeof2pointsthatareINFINITELYclosetogetheratthepointoftangency…thusalimit!AverageVelocity&InstantaneousVelocitySimilartoslopeofasecantline,tofindaveragevelocity,wefindthechangeindistancedividedbythechangeintimebetween2pointsonatimeinterval.Tofindinstantaneousvelocity,wefindthedifferenceindistanceandtimebetweentwopointsintimethatareINIFINITELYclosetogether…again,alimit!TangentLineSlopeatx=c&InstantaneousVelocityatt=caredefinedtheSAME一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动机动目录上页下页返回结束2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率机动目录上页下页返回结束两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动目录上页下页返回结束RestofChange:3.2TheDerivativeThederivativeoff(x)isdesignatedasf’(x)orf’ory’.3.2TheDerivative思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数机动目录上页下页返回结束二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M

点处的切线斜率机动目录上页下页返回结束若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间

I

内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就说函数就称函数在

I内可导.的导数为无穷大.机动目录上页下页返回结束3.6LeibnizNotationDifferentiabilityimpliescontinuity.Ifthegraphofafunctionhasatangentatpointc,thenthereisno“jump”onthegraphatthatpoint,thusiscontinuousthere.函数的可导性与连续性的关系定理.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即机动目录上页下页返回结束2.

设存在,则3.

已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束2.3RulesforFindingDerivatives常数和基本初等函数的导数机动目录上页下页返回结束例.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束四则运算求导法则

定理.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动目录上页下页返回结束此法则可推广到任意有限项的情形.证:

设,则故结论成立.机动目录上页下页返回结束例如,(2)证:

设则有故结论成立.推论:机动目录上页下页返回结束(C为常数)(3)证:

设则有故结论成立.推论:机动目录上页下页返回结束(C为常数)例.解:机动目录上页下页返回结束有限次四则运算的求导法则(C为常数)机动目录上页下页返回结束2.4DerivativesofTrigonometricFunctions

Formula

解f’(sinx)=cosx

f’(cosx)=-sinxFindderivativesofothertrig.functionsusingthesederivativesandapplyingproductruleand/orquotientrule例.

求证证:类似可证:机动目录上页下页返回结束Derivativesofsec(x),csc(x)andcot(x)Allarefoundbyapplyingtheproductand/orquotientrulesandusingknownderivativesofsin(x)andcos(x).2.5TheChainRule复合函数求导法则Foracompositefunction,itsderivativeisfoundbytakingthederivativeoftheouterfunction,withrespecttotheinnerfunction,timesthederivativeoftheinnerfunctionwithrespecttox.Ifthecompositionconsistsof3ormorefunctions,continuetotakethederivativeofthenextinnerfunction,withrespecttothefunctionwithinit,until,finally,thederivativeistakenwithrespecttox.在点x

可导,复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点x

可导,证:在点

u可导,故（当时)故有机动目录上页下页返回结束求下列函数的导数例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动目录上页下页返回结束例.求解:例.设解:求机动目录上页下页返回结束例.求解:关键:

搞清复合函数结构由外向内逐层求导机动目录上页下页返回结束例.设求解:机动目录上页下页返回结束Findthederivative(notethisisthecompositionof3functions,thereforetherewillbe3“pieces”tothechain.)3.7Higher-OrderDerivativesf’’=2ndderivative

f’’’=3rdderivative

f’’’’=4thderivative,etc…The2ndderivativeisthederivativeofthe1stderivative.The3rdderivativeisthederivativeofthe2ndderivative,etc.定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束Velocityisthederivativeofdistancewithrespecttotime(1stderivative)andAccelerationisthederivativeofvelocitywithrespecttotime(2ndderivativeofdistancewithrespecttotime)Up(orright)isapositivevelocity.Down(orleft)isanegativevelocity.Whenanobjectreachesitspeak,itsvelocityequalszero.速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束3.8ImplicitDifferentiation(Anapplicationofthechainrule!)yisnowconsideredasafunctionofx,thereforeweapplythechainruletoyApplyallappropriaterulesandsolvefordy/dx.Findthederivative例.

求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束例.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x

求导机动目录上页下页返回结束

1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页下页返回结束2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对

x求导机动目录上页下页返回结束又如,

对x

求导两边取对数机动目录上页下页返回结束设由方程确定,解:方程两边对x

求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求机动目录上页下页返回结束①设求分别用对数微分法求答案:机动目录上页下页返回结束2.8RelatedRatesAvery,veryimportantapplicationofthederivative!Appliestosituationswheremorethanonevariableischangingwithrespecttotime.Theothervariablesaredefinedwithrespecttotime,andwedifferentiateimplicitlywithrespecttotime.相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动目录上页下页返回结束相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动目录上页下页返回结束例.

一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:

设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,机动目录上页下页返回结束由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个

y

与

x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x

是

y的