1 1正数与负数 讲义人教版数学七年级上册

2023-2024学年人教版七年级上册第一章有理数讲义1.1正数与负数层级要求：④正数与负数在实际问题中的应用，并理解其意义(难点)掌握③用正数、负数表示具有相反意义的量理解②正数、负数的定义，零表示的量的意义(重点)认识①负数的产生与具有相反意义的量基础知识详解知识点一正数和负数的概念（重点）出题角度1用定义判断正数与负数例1.下列各数中哪些是正数？哪些是负数？除了0之外在正数的前面加上“—”号正数除了0之外-18，-0.002，，-，2014，，1.3，0，3.14，π。除了0之外在正数的前面加上“—”号正数除了0之外分析：0既不是正数也不是负数小学学过的数0既不是正数也不是负数小学学过的数解：正数：，2014，1.3，3.14，π。负数：-18，-0.002，-，。点拨：正数的正号可以省略不写，负数的负号不可省略，所以可以从负号上判断正数和负数，但要注意，带负号的数不一定都是负数，如“—0”、“—（—1）”都不是负数。出题角度2对正数、负数和0的意义的考查例2．下列说法正确的是（）A． 一个数前面加上“﹣”号，这个数就是负数B．零既不是正数也不是负数C． 零既是正数也是负数D．若a是正数，则﹣a不一定就是负数解析：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“﹣”号，所得的数是非负数，故A错误；B、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B正确；C、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故C错误；D、若a是正数，则a＞0，﹣a＜0，所以﹣a一定是负数，故D错误．答案：B点拨： 解答此题的关键是弄清正数、负数和0的区别；正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数．出题角度3对用字母表示的数的正负性的判断例3.若m表示一个数，那么﹣m一定是（）A． 负数 B． 正数 C． 0或负数 D． 无法确定解析： 此题要分三种情况当m=0时，当m＜0时，当m＞0时分别计算出﹣m．当m=0时，﹣m=0，当m＜0时，﹣m＞0，当m＞0时，﹣m＜0，答案：D点拨： 此题主要考查了用字母表示数，关键是要分情况进行讨论，注意不要漏解．变式练习1.把下列各数分别填在对应的横线上：3，﹣0.01，0，﹣2，+3.333，﹣0.010010001…，+8，﹣101.1，+10，﹣100。其中：正数有：_________；负数有：_________．变式练习2.下列说法正确的是（）A、零是正数不是负数B、零既不是正数也不是负数C、零既是正数也是负数D、不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数变式练习3.我们用字母a表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例．（1）a一定表示正数，-a一定表示负数；（2）如果a是零，那么-a就是负数；（3）若-a是正数，则a一定为非正数．知识点二用正数和负数表示具有相反意义的量出题角度1用正数、负数表示相反意义的量例4.用正数和负数表示下列具有相反意义的量：（1）钟表的指针逆时针方向旋转20°记作，顺时针方向旋转30°记作；（2）孔子出生于公元前551年，如果用﹣551年表示，那么司马迁出生于公元前145年可表示为，欧阳修出生于公元1007年可表示为年；（3）运进200箱记作，运出150箱记作．解析： （1）根据逆时针旋转为负，顺时针旋转为正解答；钟表的指针逆时针方向旋转20°记作﹣20°，顺时针方向旋转30°记作+30°；（2）根据正数和负数的意义解答；∵孔子出生于公元前551年，用﹣551年表示，∴司马迁出生于公元前145年可表示为﹣145，欧阳修出生于公元1007年可表示为+1007年；（3）根据运进为正数，运出为负数解答．运进200箱记作+200，运出150箱记作﹣150．答案：（1）﹣20°，+30°；（2）﹣145，+1007；（3）+200箱，﹣150箱．点拨： 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．变式练习4.孔子出生于公元前551年，如果用﹣551年表示，那么下列中国历史名人的出生年代应表示为：（1）汉武帝出生于公元前156年：．（2）李白出生于公元701年：．（3）文天祥出生于1236年：．出题角度2正数和负数在实际生活中的应用例5.课桌的高度比标准高度高2毫米记作+2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么？现有5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸长1毫米，﹣1毫米，0毫米，+3毫米，﹣1.5毫米，若规定课桌的高度最高不能高于标准高度2毫米，最低不能低于标准高度2毫米，才算合格，问上述5张课桌有几张不合格？解析： 首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．解：（1）根据题意可得：比标准高度高为“+”，比标准高度低为“﹣”，所以比标准高度低3毫米记作：﹣3毫米；（2）根据题意得：合格的课桌的高度h范围是﹣2≤h≤2．所以，不合格的课桌只有1张：+3毫米的．点拨：在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义，解决此类题目的关键是明确“一种意义”的量对应的是正数还是负数，这样，我们就可以判断“另一种意义”的量对应的是正数还是负数了。变式练习5.体育课上，对初三（1）的学生进行了仰卧起坐的测试，以能做24个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名女学生成绩如下：5﹣2﹣1301007﹣5﹣1（1）这10名女生的达标率为多少？（2）她们共做了多少个仰卧起坐？思维误区诊断误区一对正数、负数的概念理解不透彻，容易误认为凡是带负号的数就是负数，凡是带正号的数都是正数例1：—4,0.5，—，，0，—a(a<0)中，负数的个数是（）。A.1B.2C.3D.4错解：A或C或D正解：B（本题中的负数有—4，—，共2个。）错因分析：判断正数、负数时不要只根据符号来判断，而应根据正数、负数的概念。本题造成错解的原因是对概念理解不透彻，易误认为带负号的数一定是负数，从而认为—a(a<0)是一个负数。误区二对相反意义的量的理解错误例2：下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（）购进50斤苹果与卖出—50斤苹果高于海平面786m与低于海平面230m向东走—9m和向西走10m飞机上升100m与前进100m错解：A或C或D正解：B错因分析：购进50斤苹果与卖出—50斤苹果具有一样的意义，表示相同的量，所以A错；C与A同理，也是错的；上升与前进不是相反的意义，所以D也错。具有相反的意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等。“—”本身就是意义相反的意思。误区三写相反意义的量时容易忽略了量的单位例3：（1）如果收入100元记作+100元，那么支出180元记作；（2）零上15度记作+15℃，那么零下20摄氏度记作；（3）如果电梯上升了两层记作+2，那么—3表示电梯。错解：（1）—180（2）—20（3）下降了三层。正解：（1）—180元（2）—20℃（3）下降了三层。错因分析：在用正数、负数表示一对具有相反意义的量时，不要漏掉后面的单位。如（1）中若记作—180那就错了，这是因为把一个量去掉后它后面的单位名称，就是一个数，而不再是一个量了。误区四不清楚“0”所具备的性质而导致错误对0的理解不深刻，只知道0既不是正数也不是负数，不知道它还是非正数，非负数，非正整数、非负整数。例4：在数－2.4，，0,2007，－89,3.26中非负数的个数是（）A.3B.4C.5D.6错解：A正解：B错因分析：对非负数的概念理解不透彻，以为非负数就是正数，少算了0.综合展示舞台学霸笔记展示0的意义1．在小学，0表示“没有”或者“空”，引入负数以后，0有了丰富的含义，例如在温度计上，0C不是没有温度，而是表示冰点，它是一个确定的温度。2．0可以表示数位，如20，0.04中的0都表示数位。3．在加减法中，一个数加，减0，得原数，等于不加不减。在乘除法中，0与任何数相乘，得到的积是0，0被任何非0数除，得到的商仍然是零。知识拓展：非负数指正数和0，非正数指负数和0；非负整数指正整数和0；非正整数指负整数和0。1．0既不是正数，也不是负数。2．0不再是我们认识中的“最小数”，而是变成了正数和负数的分界线。3．0是自然数，是偶数，是最小的自然数，0也是整数。能力拓展展示能力拓展一正数、负数和0的作用1.表示相反意义的量例1.蜗牛爬杆，第一天白天前进3米，晚上后退2米；第二天白天前进4米，晚上后退5米；第三天白天前进6米，晚上后退3米，请你将这个过程记录在表中．第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上______________________________________________________假如蜗牛每天前进4米，晚上后退2米，从12米深的井底沿井壁向上爬，想一想蜗牛几天爬到井口？分析： 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：蜗牛前进记为正，蜗牛后退就记为负，直接得出结论填表即可；蜗牛每天前进4米，记作+4米，晚上后退2米，记作﹣2米，4﹣2=2（米），每天前进了2米，从12米深的井底沿井壁向上爬，求蜗牛几天爬到井口，因为最后的4米，蜗牛已经爬到井口，不必再后退，所以用8除以2取得的天数加最后的1天，如下图所示，即可得解．解：第一天第二天第三天白天晚上白天晚上白天晚上+3米﹣2米+4米﹣5米+6米﹣3米8÷（4﹣2）=4（天），4+1=5（天）；答：蜗牛5天爬到井口．答案：+3米，﹣2米，+4米，﹣5米，+6米，﹣3米．2.表示时间例2.根据北京时间与其他地方时间差填空．与北京时间比：悉尼时间早2小时，记为+2时；东京时间早小时，记为时；巴黎时间晚小时，记为时；伦敦时间晚小时，记为时．当北京时间为15：00时，悉尼时间为时．解析： 此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选北京时间为标准，早的记为正，则晚的就记为负，直接得出结论即可．与北京时间比：悉尼时间早2小时，记为+2时；东京时间早1小时，记为+1时；巴黎时间晚7小时，记为﹣7时；伦敦时间晚8小时，记为﹣8时．当北京时间为15：00时，悉尼时间为17：00时；答案：1，+1，7，﹣7，8，﹣8，17：00．点拨： 此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．3.表示误差例3.在一种零件的直径在图纸上是10±0.05（单位：㎜），表示这种零件的标准尺寸是_________㎜，加工要求最大不能超过_________㎜，最小不能超过_________㎜．解析： 根据题意先确定这种零件的标准尺寸是10mm，再根据这种零件的直径在图纸上是10±0.05（单位：㎜），从而判断出加工要求最大不能超过10.05mm，最小不能超过10﹣0.05=9.95mm．∴本题应填10，10.05，9.95．点拨： 本题考查了正数和负数，解题的关键是先确定零件的标准尺寸，然后根据图纸的要求去做即可．4．表示涨跌（盈亏）例4.下表记录了某星期内股市的升跌情况，该股市星期一开盘时为4560点，请完成下表：时间升跌情况用正、负数表示星期一上升100点星期二下跌50点星期三上升40点星期四下跌30点星期五上升10点分析：上升和下跌是一对意义相反的量，上升用正数表示，则下跌用负数表示，表示中空白处用正、负数表示为：+100，—50，+40，—30，+10；股市每天收盘时的点数，上升则用开盘时的点数加上上升的点数，下跌则减去下跌的点数，所以股市星期五收盘时的点数为：4560+100—50+40—30+10=4630.解：表中分别填+100，—50，+40，—30，+10，星期五收盘时为4630点。点拨：在实际生活中常用正、负数表示相反意义的量。本题要理解“上升”与“下跌”的意义，以及每天收盘时“点数”之间的关系。5．表示测试成绩例5.数学竞赛成绩80分以上为优秀，以80分为基准，可简记如下：85记作+5,74分记作-6。若某班八名学生参赛的成绩简记为：+10，+7，+3,0，-2，-3，-4，-6，则这八名学生的成绩分别是多少？分析：这道题要求写出八名学生的成绩，由题意可知，当简记的分数为正数时，表明成绩比80分高；当简记的分数为零时，表明成绩成绩刚好是80分；当简记的分数为负数时，表明成绩比80分低。所以只要用80分加上或减去正、负号后的相应数值，就可得到每个学生的成绩。解：由题意知，这八名学生的成绩依次是：90,87,83,80,78,77,76,74。6．表示生活中的距离例6.甲村旁有一条南北走向的柏油马路，如果乙村在甲村南1km，丙村在甲村北2km，怎样用正数、负数和0表示这三个村子的正确位置？解析：三个村子的位置如图，为了用正数、负数和0表示这三个村子的正确位置，可模仿温度计上表示气温的方法，先选一个村子作为起始点，再确定另两个村子的位置。解：如果选甲村作为起始点，向南为正，向北为负，则甲村的位置为0km,乙村的位置为+1km，丙村的位置为—2km。如果选乙村作为起始点，向南为正，向北为负，则乙村的位置为0km,甲村的位置为—1km，丙村的位置为—3km。如果选丙村作为起始点，向南为正，向北为负，则丙村的位置为0km,甲村的位置为2km，丙村的位置为3km。点拨：答案不唯一，此类题一定要先确定起始点和正反方向，再表示各个建筑的位置。能力拓展二正数与负数中数字的变化规律探究例7.观察下面的一列数：请你找出其中的规律，解答：（1）第9个数是多少？第14个数是多少？（2）第2010个数是多少？（3）如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越接近？分析：（1）分母逐渐增加，分子第偶数个是负的，并且是偶数，第奇数个是1，并且为正，由此即可确定第9个数是和第14个数是多少；（2）利用（1）的规律即可求解；（3）根据变化的规律可以确定分别于0和﹣1越来越接近．解：（1）观察下面的一列数：，∴第9个数是，第14个数是﹣；（2）第2010个数是﹣；（3）如果这一组数据无限排列下去，与0、﹣1越来越接近．点拨： 此题主要考查了数字的变化规律，其中解题时通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．中考真题展示1．如果温度上升2℃记作℃，那么温度下降3℃记作（

）A．℃ B．℃C．℃ D．℃【答案】D【解析】解：上升2℃记作℃，下降3℃记作℃；故选：D．【