考点14解三角形-

考点14解三角形1.【2023全国乙卷】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若acosB−bcosA=c，且C=πA.π10 B.π5 C.3π10【答案】C

【解析】【分析】本题考查正弦定理，属于基础题．先由正弦定理将边化为角，再利用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角和定理可求出B的大小．【解答】解：由正弦定理得sinAcosB−sinBcosA=sinC，

所以sin(A−B)=sinC，所以2.【2021全国甲卷】在△ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=(

)A.1 B.2 C.5 【答案】D

【解析】【分析】本题考查了余弦定理，属于基础题．

设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．【解答】

解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cos120°，

即a2+2a−15=0，解得a=3，或a=−5(舍去)，

所以BC=33.【2020全国Ⅲ卷】在ΔABC中，cos C=23，AC=4,BC=3，则tanA.5 B.25 C.4【答案】C

【解析】【分析】本题考查余弦定理，利用余弦定理求出AB的值，再由余弦定理求出cosB，进而求出sinB，由同角三角函数的关系即可求出tanB．【解答】解：根据题意：cos C=AC2+BC2−AB2故tanB=4594.【2023全国甲卷】已知△ABC中，∠BAC=60∘，AB=2，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D【答案】2

【解析】【分析】本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题．在△ABC中利用正弦定理求出∠ACB，然后在△ABD中分别求出∠ABD和∠ADB，得出△ABD【解答】解：在△ABC中，由正弦定理ABsin∠ACB=BCsin∠又AB<BC，∴∠ACB<60∠ADB=180°−30∴AD=AB=25.【2021全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则【答案】2【解析】【分析】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．

由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．【解答】

解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，

∴12acsinB=3⇒6.【2021浙江】在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=

，cos ∠MAC=

【答案】2【解析】【分析】本题考查余弦定理，属于中档题．

在△ABM中，利用余弦定理得BM，可得BC，进而在△ABC中，由余弦定理得AC；

在△AMC中，由余弦定理可得cos ∠MAC【解答】

解：由题意作出图形，如图，

在△ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2−2BM⋅BA⋅cos B，

即12=4+BM2−2BM×2×12，

解得BM=4(负值舍去)，

所以BC=2BM=2CM=8，

在△ABC中，

由余弦定理AC27.【2020全国Ⅰ卷】如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=

．

【答案】−1【解析】【分析】本题考查三棱锥展开图，涉及余弦定理的应用．

先在△ACE中由余弦定理求得CE，则CE=CF=1，再在△ABC中由勾股定理求得BC，最后在△BCF中由余弦定理即可得解．【解答】解：由已知得BD=∵D、E、F

重合于一点，∴AE=AD=3，在△ACE中，由余弦定理得CE=1∴CE=CF=1，

由BC2=A∴在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB=BC2故答案为：−18.【2023全国乙卷】在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1(1)求sin∠ABC(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC【答案】解：(1)由余弦定理可知：BC2=2∴cos∠ABC=22∴sin∠(2)由(1)知sin∠ABC=2114，∵点D为BC上一点，且∠BAD=90°，∴∠在Rt△BAD中，AD=AB⋅则S△ADC

【解析】本题考查正余弦定理和解三角形，属于基础题．(1)分析题目条件，先后用余弦定理、同角正余弦的关系即可求解；(2)根据题意，已知AC=1，∠DAC=30°，要求△ADC面积只需求出AD长即可，而AD可在Rt△BAD中结合∠ABC9.【2023新高考Ⅰ卷】已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=(1)求sinA(2)设AB=5，求AB边上的高．【答案】解：(1)∵A+B=3C，∴π−C=3C，解得C=π∴2sin(A−C)=sin即2sin展开得：2sinA−将cosA=13sinA∴sin2A=(2)由(1)知sinA=31010∴sin又∵ACsinB∴AB边上的高ℎ=ACsin

【解析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的相关知识，属于中等题．(1)根据题意，结合A+B+C=π可直接求出C，再将C代入2sin(A−C)=sin(2)结合三角恒等变换、正弦定理，分别求出sinB和AC，即可得AB边上的高AC10.【2022浙江】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a=5c，cosC=35．

(I)求sinA的值;

(Ⅱ)【答案】解：(1)由于cosC=35，sinC>0，则sinC=45．

由正弦定理知4sinA=5sinC，则sinA=55．

(II)【解析】本题考查了正余弦定理解三角形何三角形的面积公式，属于基础题。11.【2022北京】在△ABC中，sin2C=3sinC.

(1)求∠C;

(2)b=6，且ΔABC的面积为6【答案】解：(1)sin2C=3sinC，

2sinCcosC=3sinC，

cosC=32，

∵0<C<π

∴∠C=π6．

(2)∵【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换

(1)利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解

(2)利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长12.【2020全国Ⅱ卷】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(π2+A)+cos A=54．

(1)求A；【答案】解：(1)∵cos化简得cos2A−cos又A是ΔABC的内角，

故A=π(2)证明：∵b−c=33由正弦定理可得sinB−又B=π−A−C=2π∴sin化简可得32cos又C∈(0,2π3)故可得C+π6=故A+C=π∴ΔABC是直角三角形．

【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)

利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cosA=12，再结合A(2)

利用正弦定理把b−c=33a中的边化成角，得到sinB−sinC=13.【2021全国乙卷】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=(

)

A.表高×表距表目距的差+表高 B.表高×表距表目距的差−表高

C.表高×表距表目距的差【答案】A

【解析】【分析】本题考查解三角形在实际问题中的应用，属于中档题．

连接DF延长交AB于M，记∠BDM=α，∠BFM=β，解直角三角形可得MB=ED⋅DFGC−EH=【解答】

解：连接DF，延长交AB于M，则AB=AM+BM，

记∠BDM=α，∠BFM=β，则MBtanβ−MBtanα=MF−MD=DF．

而tanβ=FGGC，tanα=EDEH．

所以MBtanβ−14.【2022全国甲卷】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=【答案】3−1(或【解析】【分析】本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．

首先利用余弦定理的应用建立关系式AC2AB2=4【解答】解：设CD=2BD=2m>0，则在▵ABD中，AB在▵ACD中，AC所以A≥4−12当且仅当m+1=3m+1即所以当ACAB取最小值时，BD=m=15.【2023天津】在▵ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c.已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB−C．【答案】解：(1)由正弦定理可得，asinA=bsin(2)由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=−7(舍去)．(3)由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都为锐角，因此cosC=1−故sin (B−C)=

【解析】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

(1)根据正弦定理即可解出；(2)根据余弦定理即可解出；(3)由正弦定理求出sinC，再由平方关系求出cos16.【2022新高考Ⅱ卷】记△ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1−S2+S3=32，sinB=1【答案】解：(1)∵边长为a的正三角形的面积为34a2，

∴S1−S2+S3=34(a2−b2+c2【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形

(1)利用余弦定理与正三角形的面积求得ac，继而利用面积公式求解

(2)利用正弦定理进行变形，即可求解17.【2022全国乙卷】记ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．

(1)证明：2a2=b【答案】解：(1)证明：已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)

可化简为sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB−bccos【解析】本题考查正余弦定理，属中档题目．

(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；

(2)由余弦定理求出a+b即可得出三角形的周长．18.【2021全国Ⅰ卷】记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin(1)证明：BD=b;(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．【答案】解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，

∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，

∵b2=ac，

∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB，

即bsin∠ABC=asinC，

∵BDsin∠ABC=asinC．

∴BD=b；

(2)由(1)知BD=b，

∵AD=2DC，

∴AD=23b，DC=13b，

在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=BD2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．

(1)利用正弦定理求解；

(2)要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．19.【2020全国Ⅱ卷】▵ABC中，sin2A−(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，

由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，

由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=−12，

因为0<A<π，所以A=2π【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题．

(1)直接利用正余弦定理即可求解；

(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．20.【2021全国甲卷】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°A.346 B.373 C.446 D.473【答案】B

【解析】【分析】本题考查解三角形，在于将AA′−CC′的长度通过做辅助线的方式转化为A′B′+100，属于中档题．

通过作辅助线，将已知所求量转化到三角形中，在△A′B′C′和Rt△CBM中，借助正弦定理，求得A′B′，进而在Rt△ABM中即可求得结果．【解答】

解：过点C作BB′垂线，交BB′于点M，过点B作AA′垂线，交AA′于点N，如图所示，

设B′C′=CM=m,A′B′=BN=n.在△A′B′C′中，∠A′C′B′=45°,∠A在Rt△CBM中，BM=BB′−CC′=100，∠BCM=15°,∠MBC=75°，由正弦定理得CMsin∠MBC=联立两式解得n=2003−1≈273．

在Rt△ABM可得A、C两点到水平面的高度差AA′−CC′=AN+BM=273+100=373m．故本题选B．21.【2020新高考Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan⁡∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为

cm2．

【答案】52【解析】【分析】本题考查平面图形中的边角关系，扇形的面积公式，是困难题．

设上面的大圆弧的半径为x，连接OA，过A作AI⊥BH交BH于J，交DG于K，交EF于I，过O作OL⊥DG于L，由题中长度关系易得∠AGD=45°，可得△AOH为等腰直角三角形，即可得到OL和DL的长度，根据tan⁡∠ODC=35可得到x=2【解答】解：设上面的大圆弧的半径为x，

连接OA，过A作AI⊥BH交BH于J，交DG于K，交EF于I，过O作OL⊥DG于L，记扇形OAB的面积为S扇形，

由题中的长度关系易知∠AGD=45°，所以∠AHO=45°，

又∠OAH=90°，可得△AOH为等腰直角三角形，

可得OJ=AJ=22x，OL=JK=5−tan∠ODC=OLDL=35

，

S阴影=S故答案为5222.【2023新高考Ⅱ卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD=1．(1)若∠ADC=π3(2)若b2+c2=8，求【答案】解：(1)∵S△ABC=3∴S△ADC=32，即过点A作AE⊥CD于点E，则在△ADE中，AE=∴在Rt△AEB中，BE=BD+DE=52，(1)∵在△ABC中，AD=∴|∴1=14(8+2bc又∵S△ABC=∴tan∴A=2π3，sinA=再将b=4c代入b2

【解析】本题考查了解三角形的综合应用，属于中等题．(1)结合三角形面积和中点关系进行求解；(2)观察题目所给条件，结合中线的向量表示和三角形面积进行求解．23.【2022新高考Ⅰ卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B．

(1)若【答案】解：(1)∵cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，∴cos2A2−sin2A2cos2A2+sin2A2+2sinA2cosA2=2sinBcosB1+2cos2B−1且cosB≠0，

∴cosA2−sinA2cos【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题．

(1)由二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切函数公式化简得tan(π4−A2)=tanB，即可求24.【2021新高考Ⅱ卷】在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)因为2sinC=3sinA，

根据正弦定理可知2c=2a+2=3a，

则cosC=a2+b2−因此，S△ABC(2)显然c>b>a，若▵ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c2解得−1<a<3，则0<a<3，由三角形三边关系可得a+a+1>a+2，可得a>1，

∵a∈Z，故a=2．

【解析】本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．

(1)由正弦定理可得出2c=3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin C(2)分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数a25.【2021北京】已知在△ABC中，c=2bcosB，C=2π3．

(Ⅰ)求B的大小；

(Ⅱ)在下列三个条件中选择一个作为已知，，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．

 ①c=2b；

 ②周长为4+2 【答案】(Ⅰ)B=π6；(Ⅱ)若选②，AD=7；若选 ③【解析】本题主要考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式，是高考中常见的题型，属于中档题，只要学生认真审题，都能得分．(Ⅰ)由正弦定理bsinB=csinC，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，

所以C=2B(舍去)或C+2B=π，故B=A=π6；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，c=3b，故不能选 ①；

若选②，设BC=AC=2x，则AB=23x，

故周长为(4+23)x=4+23，解得x=1，

即BC=AC=2，AB=23，

设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，

cosB=AB2+BD2−AD22×AB×BD=1+12−AD24326.【2020新高考Ⅰ卷】在①ac=3，②csinA=3，③c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】解：s