2026年中考数学必刷压轴题-圆与动点问题（学生版+名师详解版）

2023中考必刷压轴题--圆与动点问题一、单选题1．在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，过点B作直线的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（）A． B． C． D．22．如图，半径为13的内有一点，，点在上，当最大时，等于（）A．40 B．45 C．30 D．653．如图，点在半径为的内，，为上一点，延长、交于、当取最大值时，的长等于（）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（）A．1 B．2 C． D．5．如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（）A． B． C． D．6．已知的直径，与的弦垂直，垂足为，且，则直径上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有（）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个7．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）8．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形.图是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.图1图2有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形②图1中，点A到上任意一点的距离都相等③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④9．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（）．A．14 B．15 C．16 D．810．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题11．如图，在中，AD为直径，弦于点H，连接OB．已知，．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为．当时，的值为．12．如图，平面直角坐标系中，的半径为，交x轴正半轴于点B，弦，点P为y轴上一点，且的值最小，则点P坐标为．13．如图，半圆的半径为4，初始状态下其直径平行于直线．现让半圆沿直线进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线重合为止．在这个滚动过程中，圆心运动路径的长度等于．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．15．如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动(没有滑动)一周，则它的中心点所经过的路径长为．16．如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝．（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝．17．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．18．如图，⊙O的半径为3，点A是⊙O外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接OA、OP．则线段OP的最大值是．19．如图，半圆O的直径，在中，，，．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为（s），运动开始时，半圆O在的左侧，．当时，的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．20．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为；面积的最大值为．三、综合题21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，为⊙O的半径．（1）的大小等于（度）；（2）将绕点O顺时针旋转，得，点A，B旋转后的对应点为，．连接，设线段的中点为M，连接．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．22．如图，在中，，延长到点，使，延长到点，使．以点为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结．（1）求证：；（2）设小半圆与相交于点，．①当取得最大值时，求其最大值以及的长；②当恰好与小半圆相切时，求弧的长．23．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。请研究如下美丽的圆，如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明。24．如图，平行四边形中，于，，，经过点作圆和边切于点（点可与点、重合），分别交边，边于点、．（1）的长为；（2）若点在边上，求的长；（3）嘉琪说：“若点与点重合，则点一定在圆上”.你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由；（4）设圆的半径为，直接写出的取值范围．25．A，B是⊙C上的两个点，点P在⊙C的内部．若∠APB为直角，则称∠APB为AB关于⊙C的内直角，特别地，当圆心C在∠APB边（含顶点）上时，称∠APB为AB关于⊙C的最佳内直角．如图1，∠AMB是AB关于⊙C的内直角，∠ANB是AB关于⊙C的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy中．（1）如图2，⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，中，是AB关于⊙O的内直角的是；②若在直线y=2x+b上存在一点P，使得∠APB是AB关于⊙O的内直角，求b的取值范围．（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边）．现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】如图，连接AC，BD，二线交于点G，∵平行四边形中，，，∴四边形ABCD是菱形，∴BG⊥AC，∴点G在以BC为直径的圆上，设圆心为O，则半径OB=，连接OG，∵，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°，∴△GOC是等边三角形，∴∠GOC=60°，∠GOB=120°，根据题意，点F的运动路径为，∴的长为：，故答案为：B．【分析】先证明四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，证明出点F的运动路径为，再利用弧长公式求解即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：如图当PA与小圆相切时，∠OPA最大，∵OA⊥PA，∴，S△OPA=，故答案为：C．

【分析】当PA与小圆相切时，∠OPA最大，根据切线的性质求出PA，即可求出三角形的面积.3．【答案】C【解析】【解答】解：，及半径为3为定值，当时，，此时最小，为的直径，，，当时，最小，的值最大，故答案为：C．

【分析】根据，PM为定值，再根据PN越小，MN的长越大，求出PN的最小值即可得到答案。4．【答案】C【解析】【解答】连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在直角中，，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为，故答案为：C．【分析】先求出PQ⊥OQ，再利用勾股定理求出，最后求解即可。5．【答案】D【解析】【解答】解：如图，∵，，∴△AQP∽△APB，∴AP：AB=AQ：AP，∴，过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，∴MG=3，MA=5，根据勾股定理，得AG==4，∴AB=2AG=8，∴，∴或（舍去），∵AQ=AB-QB，∴AP+QB=+8-AQ==∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，∴AQ=2，AP=4，连接AE，设MA与PE的交点为N，∵△AQP∽△APB，∴∠APQ=∠ABP，∵∠AEP=∠ABP，∴∠APQ=∠AEP，∴AP=AE=4，，根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，在Rt△AEN中，，在Rt△MEN中，，∴=，解得x=，∴，∴EN=，∴PE=2EN=，故答案为：D.【分析】过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△AQP∽△APB，于是可得比例式AP：AB=AQ：AP，化为乘积式为AP2=AQ×AB；在直角三角形AMG中，用勾股定理可求得AG的值，由垂径定理得AB=2AG可求得AB的值，结合乘积式可将AP用含AQ的代数式表示出来，而AQ=AB-QB，于是AP+QB可表示为AP+QB=-+10，根据AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，则AQ、AP的值可求解；连接AE，设MA与PE的交点为N，由已有的相似三角形可得∠APQ=∠ABP，结合已知可得∠APQ=∠AEP，由等边对等角可得AP=AE，弧AE=弧AP，根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，设AN=x，则MN=5-x，在Rt△AEN中，用勾股定理可将EN2用含x的代数式表示出来；同理在Rt△MEN中，用勾股定理可将EN2用含x的代数式表示出来；于是可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则EN的值可求解，由垂径定理得PE=2EN可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：Rt△AOM中，AO=CD=5，AM=4.8=，∴OM=，Rt△AMD中，MD=OD-OM=，AM=，∴AD=，∵CD是圆的直径，∴∠CAD=90°，Rt△ACD中，CD=10，AD=6，∴AC=，A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，∴直径上的点（包含端点）与点的距离为整数的点有6个，故答案为：C．

【分析】利用勾股定理求出AC和AD的长可得A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，从而得解。7．【答案】D【解析】【解答】解：连接AQ、PA，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故答案为：D．【分析】先求出PQ＝，再根据点A的坐标求解即可。8．【答案】B【解析】【解答】解：①勒洛三角形不是中心对称图形，故①不符合题意；②图1中，点A到上任意一点的距离都相等，故②符合题意；③图2中，设圆的半径为r∴勒洛三角形的周长=圆的周长为∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③符合题意；④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④不符合题意故答案为：B【分析】逐一对选项进行分析即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为：C．

【分析】连接OC并延长，⊙C上一点P，以O为圆心，OP为半径作圆⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8，则AB的最大值为16.10．【答案】C【解析】【解答】连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在直角中，，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为，故答案为：C．

【分析】连接PQ、OP，根据切线的性质得到PQ⊥OQ，再根据勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值。11．【答案】1s或3s或6s【解析】【解答】解：∵OB=2，∠OBC=30°，，∴OH=，当点E从O运动到D的过程中，点E运动到点H时，∠OBE=30°，∴1t=1，t=1s，点E从点O运动到点D，则t=2÷1=2s，当点E从D运动到O的过程中，点E运动到点H时，∠OBE=30°，∴1（t-2）=1，t=3s，∵∠BOH=90°-∠OBH=90°-30°=60°，∵∠OBE=30°，∴∠BEO=∠BOH-∠EBO=30°，∴OE=OB=2=OA，∴点E运动到点A时，∠EBO=30°，∵AD=2AO=4，∴1（t-2）=4，t=6s，当时，的值为1s或3s或6s．【分析】分类讨论，结合图形，列方程计算求解即可。12．【答案】【解析】【解答】解：B点的对称的是C点，连接交y轴于P，则的值最小，∵，∴，∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴点P的坐标是．故答案为：．

【分析】B点的对称的是C点，连接交y轴于P，则的值最小，先证明，可得，将数据代入求出，即可得到点P的坐标。13．【答案】4π【解析】【解答】由题意知：半圆的半径为4，∴从初始状态到垂直状态，圆心运动路径的长度=．∴从垂直状态到重合状态，圆心运动路径的长度=．即圆心运动路径的总长度=．故答案为4π．【分析】由图可知，圆心运动路径的长度主要分两部分求解，从初始状态到垂直状态，圆心一直在一条直线上；从垂直状态到重合状态，圆心运动轨迹是圆周，计算两部分结果，相加即可．14．【答案】2【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∵∠PAC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，由勾股定理求得OB＝5，∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．∴PB最小值为2．故答案为：2．

【分析】先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题。15．【答案】2π【解析】【解答】解：∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°,∴∠FAF´=60°,∴∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O点所经过的路径长为：故答案为：2π【分析】首先求得从B到B´时，圆心O的运动路线与点F运动的路线相同，即是的长,又由正六边形的内角为120°，求得所对的圆心角为60°，根据弧长公式计算即可.16．【答案】（1）（2）【解析】【解答】（1）扇形AOB滚动一周得到扇形A′O′B′，∵∠AOB＝120°，OA＝1∴∴（2）∵，∴即扇形AOB滚动5周后，O与E相距，继续滚动，B点与HE相交，即公共点D点，∴，，∴【分析】（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，可得OO'等于扇形的周长，根据弧长公式即可求出弧AB的长，进而可得结果；

（2）先求出当扇形与矩形EFGH由公共点时扇形滚动的周数，可得点O'到点E的距离，进而利用勾股定理可得结论。17．【答案】【解析】【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OMCD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝21，∴OMCD，即OM的最大值为；故答案为．

【分析】先求出OM是△ACD的中位线，可得OMCD，所以当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，再求出OM的值即可。18．【答案】【解析】【解答】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．∵OA=6，OT=3，∴OT=TA，∵AP=PB，∴PT=OB=，∵OP≤PT+OT，∴OP≤，故答案为：．

【分析】连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT，根据题意可得：OT=TA，再结合线段AB的中点为P，可得PT是三角形ABO的中位线，所以PT=OB=，再利用三角形三边的关系可得OP≤PT+OT，即可得到OP≤。19．【答案】1或4或7【解析】【解答】如图，当点C与点E重合时，AC与半圆O所在的圆相切，∵，∴，∴，即点O运动了2cm，∴，当AB与半圆O所在的圆相切时，过点C作交于点F，∵，，∴，∴，即点O与点C重合，∴点O运动了8cm，∴，当点C与点D重合时，AC与半圆O所在的圆相切，，即点O运动了14cm，∴，故答案为：1或4或7．【分析】分类讨论，结合图形，根据半圆O的直径，在中，，，．计算求解即可。20．【答案】2；7【解析】【解答】解：连接OC，如图，∵点C为弦AB的中点，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，当x=0时，=-3，则D（0，-3），当y=0时，=0，解得x=4，则D（4，0），∴OD=4，∴，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP=1，∴PD=OD-OP=3，∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE=DP：DE，即PH：3=3：5，解得PH=，∴MP=PH+1=，NH=PH-1=，∴S△NED=×5×=2，S△MED=×5×=7，设△CDE面积为S，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为2≤S≤7，∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，故答案为：2；7．【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得到点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E、D的坐标，则DE=5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解。21．【答案】（1）45（2）解：取的中点N，连接MN，，构成，延长AO交⊙O于点H，如图，根据三角形三边关系，,当点，N，M三点共线时，取最大值，在中，，∵点M，N分别是的中点，∴，作，由网格图的特点可得，在OH上取格点G，取格点C，连接OC与⊙O交于，如图所示，，此时，，故连接OC与⊙O交于，点即为所求．【解析】【解答】解：（1）由图形可知，OA=OB，OB⊥OA，∴△ABO是等腰直角三角形，∴，故答案为：45；

【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定及性质求解即可；（2）如图，取的中点N，连接MN，，构成，延长AO交⊙O于点H，再利用三角形三边的关系判定即可。22．【答案】（1）证明：在和中，，∴；∴（2）解：①当时，取得最大值，最大值，在中，，∴；②当恰好与小半圆相切时，，∵在中，，∴，∴，∴，∴，∴弧的长【解析】【分析】（1）先利用SAS证明三角形全等，再求出AB=CD即可；

（2）①先求出三角形ABE面积的最大值为4，再利用勾股定理求出AB的值，最后求解即可；

②先求出AE=2，再求出∠ABE=30°，最后利用弧长公式计算求解即可。23．【答案】（1）证明：连接OD、DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分OB，∴DB=DO∵DO=OB，∴DB=DO=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°，∵BC=OB=BD，∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD=∠BDC=∠DBO．∵∠DBO=60°，∴∠CDB=30°∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，∴CD是⊙O的切线（2）解：这个确定的值是连接OP，如图：由已知可得：OP=OB=BC=2OE∴∵∠COP=∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴【解析】【分析】（1）连接OD，DB，利用垂径定理易证DE垂直平分OB，利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DO，可推出DB=DO=OB，可证得△ODB是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠BDO=∠DBO=60°，利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质，可求出∠CDB=30°，即可得到∠ODC=90°；然后利用切线的判定定理，可证得结论.

（2）连接OP，易证OP=OB=BC=2OE，可得到PO是线段OE，CO的比例中项，再利用∠COP=∠POE，可证得△OEP∽△OPC，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PE与PC的比值，由此可得到是一个确定的值.24．【答案】（1）8（2）解：如图，当圆在上时，连接．∵圆和边切于点，∴，∵，∴，∴由于点在上，∴，∴的长为．（3）解：嘉琪的判断错误，理由如下：如图，设与圆交于点，连接、，∵，四边形为平行四边形，∴，∴，∴为圆的直径，必过点∵切圆于点，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴∴在圆的外部．∴嘉琪的判断不符合题意；（4）解：．【解析】【解答】(1)，，，，，，由勾股定理得，故答案为：8；(4)当O、C、E在同一直线上时，r最小，此时，斜边上的高CE为圆O的直径，，，，即半径为；当圆O与AB边相切于点B时，r最大，连接OB，过点O作BC的垂线OH，交BC于点H，，，，在中，，，，，，即r的最大值为，．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BC的长；

（2）当圆在上时