2024-2025学年北京市大兴区高一下学期期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故选：C.3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，且，则，则，所以，故选：A4.函数的最大值是（）A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】，由正弦函数的值域可得其最大值为.故选：C5.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】由题意可得实部为，虚部为1，所以.故选：D6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.7.如图，在等腰梯形中，，，，为边上一点，且满足，若，则（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由题可知，故，从而易知．，．故，故选：B．8.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点逆时针旋转后得到，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设点在角的终边上，则，，则，，故选：A.9.如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接，因为平面，平面，所以，所以，，所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且，因为正方形的边长为，则，所以，设点到的距离为，则，所以，面积的最小值为，故，即三棱锥体积的最小值为.故选：C.10.在中，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，设内角所对的边分别为，由余弦定理，得.设的内切圆的半径为，则，解得，所以.故动点的轨迹所覆盖图形的面积为.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知，则＝________.【答案】【解析】由，平方可得即，所以.故答案为：.12.已知复数，则______.【答案】3【解析】，所以，所以.故答案为：313.如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中，______；图形的面积为______．【答案】2；3【解析】由斜二测画法可知；由图可得梯形的高为，所以梯形的面积，则平面图形的面积为.故答案为：2；3.14.在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为______，与水流方向所成的角为______．【答案】20；【解析】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由题意知，，所以，且．所以船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为．故答案为：20；．15.已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论：①若，则；②若在方向上的投影向量为，则的最小值为；③若，则的最大值为；④若，则为定值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】由已知，结合正弦定理可知，即，①如图所示，设中点为，则，即，所以是以为底的等腰三角形，所以，①正确；②如图所示，若在方向上的投影向量为，则，即，即为直角三角形，则当时，即时，取得最小值为，②错误；若，则，此时，即，则，又，所以当点与重合时，取得最大值为，③正确；若，即，所以，又，，则，即是以为底的等腰三角形，如图所示，，所以，④正确；故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知复数．（1）当时，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值．解：（1）当时，所以.（2）由为纯虚数知，得，解得.所以．.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，所以，，所以，所以.18.在中，．（1）求的大小；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．解：（1）在中，可得，所以，由正弦定理，可得，因为，所以，又因为且，所以，所以因为，所以.（2）取中点，则边上中线为，且，选条件①：当时，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，可得，所以；当时，可得.选条件③：由的面积为，在中，可得，解得，由余弦定理，可得，所以．若选条件②：由，由函数在上为单调递减函数，所以，此时，不符合题意19.已知平面四边形的边长满足，且．（1）若，求的大小；（2）若，求四边形的面积．解：（1）在中，由正弦定理知，.因为，所以，且因为，所以．又因为，且所以或.（2）因为，所以，因为，所以在中，由余弦定理可得在中，由余弦定理可得所以故四边形的面积20.如图，在正四棱锥中，侧棱长为1，记，其体积记为，表面积记为．（1）求的值；（2）求的解析式，并直接写出的取值范围；（3）试判断是否存在最值，并说明理由．解：（1）因为正四棱锥中，，所以，设正方形的中心为，连接，则，则在中，，则，所以；（2），，由正四棱锥的结构特征可知；（3），因为，所以，所以，所以，所以不存在最值.21.如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.（1）在仿射坐标系中，①若，求；②若，且，的夹角为，求；（2）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值.解：（1）①因为，，所以；②由，即，得，，，因为与的夹角为，则，得；（2）依题意设，，因为为中点，则，为中点，所以，所以，因为，则，在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，，在中，由正弦定理，设，则，，其中，是取等号，则.北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由.故选：C.3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，，且，则，则，所以，故选：A4.函数的最大值是（）A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】，由正弦函数的值域可得其最大值为.故选：C5.已知复数在复平面内对应的点为，则（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】由题意可得实部为，虚部为1，所以.故选：D6.在中，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.7.如图，在等腰梯形中，，，，为边上一点，且满足，若，则（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】由题可知，故，从而易知．，．故，故选：B．8.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点逆时针旋转后得到，则的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设点在角的终边上，则，，则，，故选：A.9.如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接，因为平面，平面，所以，所以，，所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且，因为正方形的边长为，则，所以，设点到的距离为，则，所以，面积的最小值为，故，即三棱锥体积的最小值为.故选：C.10.在中，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，设内角所对的边分别为，由余弦定理，得.设的内切圆的半径为，则，解得，所以.故动点的轨迹所覆盖图形的面积为.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知，则＝________.【答案】【解析】由，平方可得即，所以.故答案为：.12.已知复数，则______.【答案】3【解析】，所以，所以.故答案为：313.如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中，______；图形的面积为______．【答案】2；3【解析】由斜二测画法可知；由图可得梯形的高为，所以梯形的面积，则平面图形的面积为.故答案为：2；3.14.在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为______，与水流方向所成的角为______．【答案】20；【解析】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由题意知，，所以，且．所以船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为．故答案为：20；．15.已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论：①若，则；②若在方向上的投影向量为，则的最小值为；③若，则的最大值为；④若，则为定值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】由已知，结合正弦定理可知，即，①如图所示，设中点为，则，即，所以是以为底的等腰三角形，所以，①正确；②如图所示，若在方向上的投影向量为，则，即，即为直角三角形，则当时，即时，取得最小值为，②错误；若，则，此时，即，则，又，所以当点与重合时，取得最大值为，③正确；若，即，所以，又，，则，即是以为底的等腰三角形，如图所示，，所以，④正确；故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知复数．（1）当时，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值．解：（1）当时，所以.（2）由为纯虚数知，得，解得.所以．.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，所以，，所以，所以.18.在中，．（1）求的大小；（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．解：（1）在中，可得，所以，由正弦定理，可得，因为，所以，又因为且，所以，所以因为，所以.（2）取中点，则边上中线为，且，选条件①：当时，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，当时，可得，所以；当时，可得.选条件③：由的面积为，在中，可得，解得，由余弦定理，可得，所以．若选条件②：由，由函数在上为单调递减函数，所以，此时，不符合题意19.已知平面四边形的边长满足，且．（1）若，求的大小；（2）若，求四边形的面积．解：（1）在中，由正弦定理知，.因为，所以，且因为，所以．又因为，且所以或.（2）因为，所以，因为，所以在中，由余弦定理可得在中，由余弦定理可得所以故四边形的面积20.如图，在正四棱锥中，侧棱长为1，记，其体积记为，表面积记为．（1）求的值；（2）求的解析式，并直接写出的取值范围；（3）试判断是否存在最值，并说明理由．解：（1）因为正四棱锥中，，所以，设正方形的中心为，连接，则，则在中，，则，所以；（2），，由正四棱锥的结构特征可知；（3），因为，