2024-2025学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，.当时,.因为在上单调递增，在上也单调递增.当时，；当时，.所以的取值范围是.故选：C.2.已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（）A.6或18 B.18C.8或20 D.22【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为，连接.由题意得，∵M为线段FP的中点，为线段的中点，∴，由双曲线定义得，，故.故选：B.3.设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为方程表示椭圆，所以，解得.同时，解得.由于焦点在轴上，所以，即.移项可得，即.解得.综合前面的条件，和.所以的取值范围是.故选：A.4.若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，椭圆的半焦距为，所以，解得.故选：D5.若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】圆，圆心，半径.圆，圆的圆心，半径.两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程.求圆心到直线的距离.根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以.故选：B.6.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，所以，所以，因点N为BC中点，所以，所以故选：A7.已知动点满足，则动点P轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线【答案】C【解析】已知，将等式右边的变形为，即.此时原等式变为，两边同时除以得到.表示点到点的距离，表示点到直线的距离.所以点到点的距离等于点到直线的距离.点不在直线上，根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，故动点的轨迹是抛物线.故选：C.8.已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由题意可知切线，即，可知，则面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.10.设a为实数，直线，，则（）A.恒过点 B.若，则或C.若，则或0 D.当时，不经过第二象限【答案】BD【解析】将，代入的方程左边得.当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点.故A错误.对于直线和.因为，根据两直线平行的判定条件，则，整理得，解得或.当时，，，两直线平行；当时，，，化简为，两直线平行，所以或.故B正确.因为，根据两直线垂直的判定条件，则，整理得.利用求根公式，所以C错误.直线，当时，，即.，直线不经过第二象限.当时，，，直线方程变形为，则，，所以直线不经过第二象限，故D正确故选：BD11.过抛物线焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（）A.的坐标为 B.若，则C.若，则的最小值为3 D.面积的最小值为2【答案】ACD【解析】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，则由可得，，所以，所以而，当且仅当时等号成立，故，故，故F1,0，故A正确；若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误；若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，故的最小值为3，故C正确；，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量为________________.【答案】【解析】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为：，又因为，，所以，，所以，所以在上的投影向量为：.故答案为：13.点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________.【答案】【解析】由题意得，.设，则，，∴，由得，，∴，即，∴离心率.故答案为：.14.已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________.【答案】【解析】圆方程可化为，所以圆心，半径.圆心在直线上方，且圆心到直线的距离，所以圆在直线上方，所以根据圆的性质，，所以，当共线且依次顺序排列时取等号.因为都满足不等式，所以都在直线的上方.设关于直线的对称点为，根据对称点的性质，，且，解方程组，由得，代入得：，则，所以，则，当共线并依次顺序排列时取等号，，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点，，.设，.（1）求和；（2）若与互相垂直，求实数k的值.解：（1）∵，，，，，∴，，于是，，，.（2）∵，，且与互相垂直，∴，即，∴，解得：.16.已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过.（1）求圆E的方程；（2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程.解：（1）设圆E的方程为，由题意知，解得，，，故圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设圆心到直线l的距离为d，则，则，解得，则直线l的方程为；综上：直线l的方程为或.17.已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.（1）求双曲线E的标准方程；（2）直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.解：（1）因为双曲线的离心率，可得，即.又因为焦点到渐近线的距离为，根据点到直线距离公式，而，所以，则.由且，，可得，解得.所以双曲线的标准方程为.（2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得.因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以.由，解得.对于，即，解得.由，（结合），所以，解得.由，解得，即或.综合以上条件，取交集得.则实数k的取值范围为.18.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.（1）求抛物线C的方程；（2）过点的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）由抛物线定义可知，所以，则，所以抛物线C的方程为；（2）由在抛物线上，得，即，显然，过点的直线斜率不为0，故设直线方程为，，，由，得，，解得或，则，，故，，又，，所以，故为定值.19.动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数，（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程.解：（1）设，得，整理得M的轨迹C的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时；当直线l的斜率存在时，设方程为，，，联立方程，消y得，恒成立，故，则，，所以，法一：令，，则，可得，当，即，时，取得最大值3；综上所述，当最大时，所求直线l的方程为；法二：，当且仅当，即时，等号成立，综上所述，当最大时，所求直线l的方程为.河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，.当时,.因为在上单调递增，在上也单调递增.当时，；当时，.所以的取值范围是.故选：C.2.已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则（）A.6或18 B.18C.8或20 D.22【答案】B【解析】设双曲线的右焦点为，连接.由题意得，∵M为线段FP的中点，为线段的中点，∴，由双曲线定义得，，故.故选：B.3.设方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为方程表示椭圆，所以，解得.同时，解得.由于焦点在轴上，所以，即.移项可得，即.解得.综合前面的条件，和.所以的取值范围是.故选：A.4.若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，椭圆的半焦距为，所以，解得.故选：D5.若圆与圆交于A，B两点，则弦长为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】圆，圆心，半径.圆，圆的圆心，半径.两圆方程相减可得：，化简得，即，此为公共弦所在直线方程.求圆心到直线的距离.根据勾股定理，弦长的一半，已知，，则，所以.故选：B.6.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，点N为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为点M在OA上，且为OA上靠近A点的三等分点，所以，所以，因点N为BC中点，所以，所以故选：A7.已知动点满足，则动点P轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线【答案】C【解析】已知，将等式右边的变形为，即.此时原等式变为，两边同时除以得到.表示点到点的距离，表示点到直线的距离.所以点到点的距离等于点到直线的距离.点不在直线上，根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，故动点的轨迹是抛物线.故选：C.8.已知椭圆具有知下性质：若圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：若椭圆，点为椭圆在第一象限内的任意一点，过点作椭圆的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由题意可知切线，即，可知，则面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.10.设a为实数，直线，，则（）A.恒过点 B.若，则或C.若，则或0 D.当时，不经过第二象限【答案】BD【解析】将，代入的方程左边得.当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点.故A错误.对于直线和.因为，根据两直线平行的判定条件，则，整理得，解得或.当时，，，两直线平行；当时，，，化简为，两直线平行，所以或.故B正确.因为，根据两直线垂直的判定条件，则，整理得.利用求根公式，所以C错误.直线，当时，，即.，直线不经过第二象限.当时，，，直线方程变形为，则，，所以直线不经过第二象限，故D正确故选：BD11.过抛物线焦点的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则（）A.的坐标为 B.若，则C.若，则的最小值为3 D.面积的最小值为2【答案】ACD【解析】由题设有，直线的斜率不为零，故设直线，则由可得，，所以，所以而，当且仅当时等号成立，故，故，故F1,0，故A正确；若，则，故，故的斜率为，其倾斜角为或，故B错误；若，则过作准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，故的最小值为3，故C正确；，当且仅当时等号成立，故面积的最小值为2，故D成立.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则在上的投影向量为________________.【答案】【解析】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为：，又因为，，所以，，所以，所以在上的投影向量为：.故答案为：13.点A，B是椭圆的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为________________.【答案】【解析】由题意得，.设，则，，∴，由得，，∴，即，∴离心率.故答案为：.14.已知圆，M是圆C上的任意一点，P为直线上任意一点，点，则的最小值为________________.【答案】【解析】圆方程可化为，所以圆心，半径.圆心在直线上方，且圆心到直线的距离，所以圆在直线上方，所以根据圆的性质，，所以，当共线且依次顺序排列时取等号.因为都满足不等式，所以都在直线的上方.设关于直线的对称点为，根据对称点的性质，，且，解方程组，由得，代入得：，则，所以，则，当共线并依次顺序排列时取等号，，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间中三点，，.设，.（1）求和；（2）若与互相垂直，求实数k的值.解：（1）∵，，，，，∴，，于是，，，.（2）∵，，且与互相垂直，∴，即，∴，解得：.16.已知圆E经过点，，且与y轴相切，直线l恒过.（1）求圆E的方程；（2）直线l与圆E相交于M，N两点，且时，求l的方程.解：（1）设圆E的方程为，由题意知，解得，，，故圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时满足，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，设圆心到直线l的距离为d，则，则，解得，则直线l的方程为；综上：直线l的方程为或.17.已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.（