专题22.11 一元二次方程的根与系数的关系（基础检测）（解析版）

专题22.11一元二次方程的根与系数的关系（基础检测）一、单选题1．一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B【详解】略2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据、是一元二次方程的两个根得到，再将变形为，然后代入计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴∵，∴，选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到判别式等于，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴判别式解得故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程判别式与根的情况，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．4．若一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系，首先将方程化为一般式，直接利用两根之积公式，代入系数即可求得答案．【详解】将方程化为一般式：，根据两根之积公式，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系公式，熟记根与系数的关系公式：是解题的关键．5．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3【答案】D【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．【详解】由根与系数的关系可知，，∵一个根为-2，∴另一根为，故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．6．已知是方程的两根，则的值为（）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】A【分析】利用，，解答即可.【详解】解：.∵是方程的两根，

∴，=7，

∴

∴

=2+7-+==2+7=9.【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.二、填空题7．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为_____．【答案】2【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x1+x2的值．【详解】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系，“在一元二次方程(，都为常数)中，两根，与系数的关系为，”．8．若是一元二次方程的两个根，则________．【答案】．【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求出．【详解】解：是一元二次方程的两个根，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，掌握一元二次方程的根与系数关系．9．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则=____【答案】1【分析】直接利用根与系数的关系得到a的值．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，∴==1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（）的两根时，，．10．已知m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m3+4n2﹣19的值为_____．【答案】0．【分析】把m与n代入方程得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，∴m2﹣m﹣3＝0，n2﹣n﹣3＝0，即m2＝m+3，n2＝n+3，m+n＝1，则m3+4n2﹣19＝m2•m+4n2﹣19＝m（m+3）+4（n+3）﹣19＝m2+3m+4n+12﹣19＝m+3+3m+4n﹣7＝4（m+n）﹣4，把m+n＝1代入得：原式＝4﹣4＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．11．已知方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则3﹣2x1﹣x2的值＝_____．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得3﹣x1﹣1＝0，x1+x2＝，那么3＝x1+1，再将它们代入3﹣2x1﹣x2，计算即可．【详解】解：∵方程3x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，∴3﹣x1﹣1＝0，x1+x2＝，∴3＝x1+1，∴3﹣2x1﹣x2＝x1+1﹣2x1﹣x2＝﹣（x1+x2）+1＝﹣+1＝．故答案为．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．12．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+3＝0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2＝4，则k的值为_____．【答案】7【分析】根据两根关系列出等式,再代入第二个代数式计算即可．【详解】∵x1、x2是方程x2﹣kx+3＝0的两个根，∴x1+x2＝k，x1x2＝3．∵x1+x2﹣x1x2＝k﹣3＝4，∴k＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程的两根关系,关键在于熟练掌握基础知识,代入计算．13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是__________．【答案】【分析】利用根与系数的关系得出，，再将通分为，再代入求出即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∵，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________；若，则________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系可得和，再根据得到，代入即可求出a值．【详解】解：由题意可得：，，∵，∴，∴，解得：，故答案为：2，．【点睛】本题考查了一元一次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程得到和．三、解答题15．已知关于x的方程x2+2x+a–2=0的一个根为1.(1)求a的值;(2)求此方程的另一个根．【答案】（1）a=-1；（2）-3.【分析】(1)把代入已知方程即可求得a的值；(2)利用根与系数的关系即可求得方程的另一根．【详解】（1）将x＝1代入方程得：，解得：；（2）方程为：，设方程的另一根为，∴∴即此方程的另一个根为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将x＝1代入原方程求出a的值是解题的关键．16．已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．【答案】的值为1.【分析】由题意先根据根与系数的关系得到，，再变形已知条件得到，解得，然后根据判别式的意义确定k的值．【详解】解：由已知定理得：，，∴，即，解得：，当时，△=，∴舍去；当时，△=，∴的值为1．【点睛】本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若、是一元二次方程的两根时，．17．已知关于的方程，当为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】m=-2；【分析】先由两根互为相反数得出两根之和为0，即，据此可得的值，代入方程，求变形方程的根即可．【详解】解：∵关于的方程两根相互为相反数，∴，解得，∴方程变形为，解得．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系定理，一元二次方程的解法，熟练掌握根与系数关系定理，灵活选择方法求方程的根是解题的关键．18．已知关于的一元二次方程：.（1）小明说：“不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根.”他的说法正确吗？为什么？（2）若方程：的两个实数根，满足：，请求出的值.【答案】(1)小明的说法正确;(2)的值为【分析】（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可以得到，，再把进行变形可得，然后代入计算即可求解．【详解】解：（1）方程可化为，∵，∴对于任意实数，方程都有两个不相等实数根，小明的说法正确，（2）方程由根与系数的关系得：，∵，∴∴，变形得∴，即的值为.【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．19．己知关于的一元二次方程．（1）求证:该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该一元二次方程的两个实数根分别为，且，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）经过，理由见解析．【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根即可得出答案．（2）根据，表示出n，再把点代入，即可得出答案．【详解】（1）证明：∴该一元二次方程总有两个实数根；（2）当时，∴动点所形成的函数图象是经过点．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△