重难点07 导数中的零点问题（举一反三专项训练）（全国适用）（原卷版）

2/30重难点07导数中的零点问题（举一反三专项训练）【全国通用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断、证明或讨论零点的个数】 2【题型2零点问题之唯一零点问题】 3【题型3零点问题之双零点问题】 3【题型4根据零点（个数）情况求参数范围】 4【题型5函数零点的证明问题】 4【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】 6【题型7隐零点问题】 7【题型8三角函数的零点问题】 8【题型9导数中函数零点的新定义问题】 91、导数中的零点问题导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题，三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，复习是要加强这方面的训练.知识点1导数中的函数零点问题的解题策略1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y=f(x)，把使f(x)=0的实数叫做函数y=f(x)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f(x)有零点.2．函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.3．函数零点（个数）问题的的求解方法(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.4．导数中的含参函数零点（个数）问题利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.5．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.知识点2隐零点问题1．隐零点问题隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点存在定理处理.2．隐零点问题的解题策略在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.【题型1判断、证明或讨论零点的个数】【例1】（2025·云南红河·三模）函数fx=x3−12x+16A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-1】（2025·宁夏银川·三模）若函数fx=2x3A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数fx=2x−1−ln(1)若点P是函数y=fx图象上的一点，求点P到直线l(2)若gx=f(x)+te【变式1-3】（2025·山东淄博·三模）已知函数fx(1)当m=12时，判断(2)当1<m<3时，判断函数y=fx在1−m,+【题型2零点问题之唯一零点问题】【例2】（2025·四川成都·三模）函数fx=2x−m−lnx有且只有一个零点，则A．1−ln2 B．1+ln2 C．【变式2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）若函数f(x)=ax−x3+ax2−x−1（a>0A．2≤a<e B．32<a<e C．【变式2-2】（2025·云南曲靖·二模）已知函数fx=ax+A．1 B．1e2 C．1e【变式2-3】（2025·河南·二模）若函数fx=2x3−3x2A．2,3 B．0,1 C．−1,4 D．−1,0【题型3零点问题之双零点问题】【例3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知fx=memx−lnxA．0,1e B．0,1e2 【变式3-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数fx=lnx,x>0−eA．−∞,1e B．1e,【变式3-2】（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数fx=lnx−kx−2A．−e,1e3 B．0,1【变式3-3】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数fx=x3−3x+a在区间0,2A．0,2 B．2,+∞ C．0,1 D．【题型4根据零点（个数）情况求参数范围】【例4】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数fx=exx，若函数gA．−∞,−2e B．−∞,−e【变式4-1】（2025·贵州贵阳·一模）已知函数fx=a+ex,x>0eA．−∞,e B．−∞,−e【变式4-2】（2025·陕西汉中·二模）已知函数f(x)=−x3−3x2−2x,x≤0A．(14,1e) B．(−2,0]∪{【变式4-3】（2025·四川·模拟预测）已知函数fx=3−2x+1,x>0,(x+2)2eA．0,1 B．1,4 C．1,4 D．1,+【题型5函数零点的证明问题】【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)讨论fx(3)证明：当a≥13时，函数【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）已知函数f(x)=e(1)当a=0时，证明：f(x)有且仅有一个零点；(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)相切．（ⅰ）求a；（ⅱ）当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．【变式5-2】（2025·浙江金华·三模）已知函数fx=x−a(1)当a=1时，求fx(2)若fx在区间−1,0上存在零点（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：当−1<x<0时，fx【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f(x)=9cos(1)当a=1时，求f(x)的图象在x=0处的切线方程；(2)若f(x)在区间−1,π2内存在极值点x0(3)证明：当0<a<6时，f(x)在区间−1,3参考数据：ln(【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】【例6】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=lnx+1−ax有两个零点x1A．a>1 B．xC．x1⋅x【变式6-1】（2025·四川成都·一模）已知函数fx=lnx2−a2xlnx+aeA．−1e2−e,0 B．−【变式6-2】（2025·湖北·二模）已知函数fx(1)当m=1时，求曲线y=fx在1,f(2)若fx有两个不同的零点x1，（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：x1【变式6-3】（2025·广东·二模）已知函数fx(1)当m=2时，求曲线y=fx在点1,0(2)若fx有三个零点x①求m的取值范围；②判断x1−x【题型7隐零点问题】【例7】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数fx(1)当a=1时，求fx在点π(2)若fx在区间0,π2【变式7-1】（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数fx=ln（1）若直线y=2x与函数fx的图象相切，求实数a（2）当a=−1时，求证：fx【变式7-2】（2025·重庆·三模）已知函数fx=x−1ex−ax+b，函数(1)求a，(2)讨论fx【变式7-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数fx=xe(1)求fx在区间−1,1(2)当a≥1时，求证：fx【题型8三角函数的零点问题】【例8】（2025·安徽·模拟预测）已知函数f(x)=ax+sinx，曲线y=f(x)在(1)证明：函数f(x)在R上单调递增；(2)设g(x)=mx3+f(x)，若m≤−【变式8-1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数fx(1)若a=1，求fx在0,+(2)若fx在0,2π上恰有两个零点，求实数【变式8-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数fx(1)当a=0时，求fx在区间0,(2)当x∈0,π2，a=−【变式8-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数fx(1)当a=2时，求曲线y=fx在点π(2)若a>0且函数fx在0,π上没有零点，求实数【题型9导数中函数零点的新定义问题】【例9】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数y=f(x)，x∈D1和y=g(x)，x∈D2，设D1∩D2=D，若对任意的x1，(1)判断函数f(x)=sinx，x∈(0,π2)(2)若函数f(x)=1x2+2lnx−2与y=g(x)“具有性质H(1)”，且函数y=g(x)在区间(0,+∞(3)已知函数f(x)=xlnx，x∈(0,1)，g(x)=x，求证：函数y=f(x)与y=g(x)“具有性质【变式9-1】（2025·湖北武汉·一模）已知函数fx的导函数为f′x，若f′x在区间D上单调递增，则称fx为区间D上的凹函数；若f′x在区间(1)若fx在2,3上为凹函数，求实数λ(2)已知Fx=fx−1，且Fx在【变式9-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设f′x是函数y=fx的导函数，f″x是函数f′x的导函数，若方程f″x(1)若4,f4是函数fx的“拐点”，求a的值和函数(2)若函数fx的“拐点”在y轴右侧，讨论f【变式9-3】（2025·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数fx在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：Rx=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f0=R0，f′(1)求实数a，b的值；(2)比较fx与R(3)若ℎx=mfx−1一、单选题1．（2025·天津河北·模拟预测）函数fx=lnA．0 B．1 C．2 D．32．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数fx=x21−A．−∞,0 B．−∞,1 C．3．（2025·湖南益阳·三模）若函数f(x)=−alnx+x2−1A．−∞,1 C．0,1∪1,+∞4．（2025·江苏常州·模拟预测）函数f(x)=(x−5)ex+A．1 B．3 C．5 D．75．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数f(x)=2−2ex+1，若方程f(aeA．(0,6e3) B．(0,2e6．（2025·广西河池·二模）关于函数fx=−xA．函数fx没有零点 B．函数fC．函数fx至少有1个零点 D．函数f7．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数fx=xex−a有两个零点xA．x1+2eC．x1+2ex2<−38．（2025·四川南充·一模）已知函数f(x)=lnx−2x+2−m（0<m<3）有两个不同的零点x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数f(x)=xex−A．当a=0时，f(x)在(−1,+∞B．当a<0时，fC．当a>0时，f(x)有一个零点D．f(x)最多有两个不同的零点10．（2025·河南·模拟预测）已知函数fx=lnA．存在负数k，使得fx没有零点 B．若fx恰有2C．若fx恰有1个零点，则k=−e D．当0<k<e−3时，11．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数fx=x−1A．∃a∈R，使得fxB．当a=3时，fxC．若fx有三个不同的零点x1、x2、D．若fx有三个不同的零点x1，x2，x3三、填空题12．（2025·四川德阳·一模）若关于x的方程lnx+1+mx=1有且仅有两个实根，则实数m13．（2025·全国·模拟预测）已知函数fx=xex−a,x<a,2−x−2a,x≥a14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数fx=lnx−ax有2个零点x1，x2，且四、解答题15．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数fx=a(1)求fx(2)讨论fx16．（2025