江苏省常州市2024-2025学年高一年级下册期末 数学试题（含解析）

数学试题

一、单选题

1.已知复数z满足i2z=l_2i，其中i为虚数单位，贝也对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.cos70°sin40°-sin70°cos40°=（）

A.一3B.--C.1D.也

2222

3.某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马

拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）

A.3B.5C.6D.10

4.已知小，”表示两条不同的直线，夕表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若〃zua,n!la,则机〃“B.若〃zua,mHn,则〃//a

C.若机//a,aL/3,则机J_£D.若m/la,mL/3,则

5.若将一个表面积为36兀cm?的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆

锥的底面半径为（）

A.2cmB.25/3cmC.3cmD.30cm

6.在VA2C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,S为VABC的面积.若2s"（acosB+bcosA）,则人=

（）

71”兀71-兀

A.-B.—C.—D.一

6432

7.已知正四棱锥尸-ABCD的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与C。所成角为a,侧棱R4与底面

A3CD所成角为夕，侧面上钻与底面ABCD所成的二面角为/,则（）

A.a>y>/3B.a>/3>yC.y>/3>aD./3>a>y

8.己知平面向量4，b,万均为单位向量，若H与5的夹角为60。，则传-汗）•k-2B）的最大值为（）

A.2+73B.4C.2+77D.5

二、多选题

9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（）

A.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件

B.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件

C.事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件

D.事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立

10.在VABC中，A>B,则下列不等式中一定正确的是（）

A.sinA>sinBB.cosA<cosB

C.sin2A>sin25D.cos2A<cos2B

11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2,高为2夜，点A为下底面圆周上一点，S为上底面圆

周上一点，则（）

B.该圆台的内切球的半径为啦

7T

C.直线&4与直线所成角的最大值为三

D.直线AQ与平面SO.所成角的正切值最大为形

三、填空题

12.若（l+i）z=4i,其中i为虚数单位，则复数z的模为.

13.若cos[a+1J=_；,则$吊（2&+2的值为.

14.若正方体qG2的棱长为1,则以R为球心，巫为半径的球面与底面ABCD的交线长

3

为.

四、解答题

15.已知四边形ABC。是平行四边形，且A（2,3）,5（—2,-1）,C（4,2）.

⑴求点。的坐标;

(2)求平行四边形A5CD的面积.

16.在地平面上有一竖直的旗杆。尸(。在地平面上)，为了测得它的高度，在地平面上取一基线A8,测得

其长为20m.在A处测得P点的仰角为30。，在8处测得尸点的仰角为45。，又测得“08=30。.

(1)求旗杆的高度Q

⑵求点A到平面POB的距离.

17.某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得

到如图所示的频率分布直方图.

⑴求"的值;

(2)试估计本次测试的平均成绩(用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩);

(3)立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的

概率均为0.8,求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率.

18.在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=4,点、P,。均在线段A8上(不含端点)，且NPCQ=45。.

(1)若CP=J^,求AP的长;

⑵求△PCQ的面积的最小值.

19.如图1,在直角梯形尸BCD中，PB//CD,CDLBC,3C=PB=2CD,A是PB的中点.现沿AD把△P4D

折起，使得上(如图2所示)，E,尸分别为BC,A3的中点，G是线段上4上一点.

R

⑴求证：平面PAE，平面PDE;

(2)若G是线段出的中点，求AG与平面必£所成的角;

(3)若RG//平面PDE,求一的值.

题号12345678910

答案BBCDBDACBDABD

题号11

答案ABD

1.B

求出复数z,根据复数的几何意义确定正确选项.

【详解】因为i2z=l—2in-z=l-2i=>z=—l+2i,

所以复数z对应的点为(-1,2),位于第二象限.

故选：B

2.B

由两角差的正弦公式逆用即可求解.

【详解】COS70°sin400-sin70°cos40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-1.

故选：B.

3.C

由分层抽样的定义即可得解.

【详解】女生应抽取的人数是16x”h=6.

80

故选：C.

4.D

以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的.

【详解】如图，在正方体ABCD-A片G2中:

G

因为44〃平面ABC。，BCu平面ABC。，且A由与BC为异面直线，故A错误；

因为Afiu平面ABCD,AB〃CD,但CDu平面ABCD,而非CD〃平面ABCD,故B错误；

因为A4〃平面A5CD,平面ABCD1平面C£>£»G,但其耳〃平面C£>E>G,而非A4_L平面C£»2£,故C错

误；

对D：若加〃a,"z_L尸，则tz_l_尸，故D正确.

故选：D

5.B

求出铁球的半径R,再结合等体积法即可求解.

【详解】设所求为，铁球的半径为R,则4无斤=36兀，解得R=3,

所以4兀x3?=\/x9,解得厂=2j§cm.

33

故选：B.

6.D

由余弦定理、三角形面积公式得sinA=l,即可求解.

1(„2+r2_/,2Z,22_2>

【详解】因为2S=2x5bcsinA=bcsinA,b^acosB+bcosA^=ba-------------\-b-----------be,

若2s=6(acosB+bcosA),贝!jbesinA=Z?c,而bc>0,Ae(0,7i),

jr

所以sinA=l,A=—.

2

故选：D.

7.A

根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出a,P，Y,求出它们的三角函数,

利用三角函数的单调性，比较它们的大小.

【详解】如图：

不妨设AB=2.取AC和的交点为H,A8中点E,连接PE,HE,PH.

则==PE=£,HA=HP=叵.

因为AB//CD,所以/皿为异面直线上4与CO所成的角，为a,所以cosa=2§=1,所以a=£.

AP23

因为PH,平面A3CD,所以ZPAH为直线PA与底面ABCD所成的角夕，所以cos6=也="，所以夕=；.

AP24

因为ABJ.EP,所以NPEH为侧面上钻与底面A5CD所成的二面角7,所以

HE1V3

cosy=----==——.

PE03

因为！＜且＜变，且丁=34在上单调递减.

232I2J

所以

故选：A

8.C

根据仅“).仅—23)=2-"2+2石)，把问题转化为求~倒+2彼)的最小值，进一步转化为求忖+2囚的值，利

用向量的数量积的运算法则求解即可.

【详解】由题意：忖=W=|4=1,a-S=lxlxcos600=1.

因为卜—a)(c—2可=c+2a-b—c-^a+2b^=2-c.(a+2万).

Xj=|c|•|«+2^|•cosa+2b^=|tz+2^|•cos^c,a+2b^＞—|tz+2^|,

当cosk,a+2石)=7i时取"=

又.+叫=伍+2»)=7+4%.石+宕=l+4x；+4=7,所以卜+20=近.

所以卜-。）.卜-2石）22+4.

故选：C

9.BD

利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数，

故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误；

对于B,因为“至少有一次点数为奇数”包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，

因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，

所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；

对于C,因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会

发生，

所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；

对于D,连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有6x6=36种不同的结果，

1Q1

记“第一次点数为偶数”为事件A,则事件A包含3x6=18种结果，故尸（A）=9=：,

362

1Q1

记“第二次点数为奇数”为事件5,则事件B包含6x3=18种结果，故P（A）=9=；,

362

g111

事件同时发生包含3x3=9种不同的结果，feP（AB）=^=---x-=P（A）P（B）,

所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确.

故选：BD.

10.ABD

利用边角关系及正弦定理判断A；利用余弦函数的性质判断B；举例说明判断C；利用二倍角公式结合选项

A判断D.

【详解】对于A,在VABC中，A>Boa>b,由正弦定理得sinA>sin3,A正确；

对于B,显然兀>A〉8>0,因此cosA<cos3,B正确；

对于C,取A=75。,3=60。，满足A>3,而sin2A<3=sin22,C错误；

22

对于D,由选项A知，sinA>smB>0,则cos2A=l-2sin2Avl-Zsin?8=cos2B,D正确.

故选：ABD

11.ABD

对于A,根据圆台的体积公式，可得答案；对于B,研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定,

可得答案；对于C,根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于D,根据线面

角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A选项，因为圆台。。2的上、下底面半径分别为1和2,高为2后，

所以1/=[(12+1><2+22)・2后=竽无，则A选项正确.

对于B选项，设上底面半径为与，下底面半径为若圆台存在内切球，

则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图(1)所示，梯形的上底和下底分别为2,4,高为2&，

易得等腰梯形的腰为出+(应『=3,假设等腰梯形有内切圆，

则腰长=3=K+&,所以梯形S.SCB存在内切圆，

故圆台存在内切球，且内切球的半径为则B选项正确;

图⑴

对于C选项，如图(2),过S作SD垂直于下底面于点。，则aQ//S。,

所以直线&4与直线所成角即为直线&4与直线SD所成角，即ZASD为所求,

ADAD

而tan/ASO=~^=5万，由圆的性质得，

LL…/fAOAD叵3万

所以‘225。=正=逅e

44

图⑵

对于D选项，如图(3),平面S0。即平面SOQzC,

过点A做交3c于点因为SD垂直于下底面，而在底面内,

所以SO_LA1/,又SDnBC=。，且5C,SOu平面SQQzC,所以河，平面SOOzC,

AH

所以直线与平面所成角即为且

A0,SO。2cNAQH,tan/AQH=--.

Uxri

设AH=xe[0,2],则02H=他-AH?=6-d,

2

所以="&+02H2=,8+4-无2=sjn-x,

AHX

所以3"人°"=而=尸,

当x=0时，tan^AQW=0,当%«0,2]时,

X211

tan/AqH=],因为函数,一।亘「在（0,2]上单调递增,

12-x212

X,

所以当x=2时，tan/AO]H有最大值，最大值为等，所以D选项正确.

图⑶

故选：ABD.

12.2&

利用复数的除法运算法则求得复数Z,进而可求得|z|.

4i4i(l-i)_4+4i

【详解】由（l+i）z=4i,可得z-------=2+2i,

-l+i-(l+i)(l-i)2

所以目=，2?+22=20.

故答案为：20.

31

利用诱导公式可得sin2q+6=_cos2a+j兀+]71,再结合二倍角的余弦公式即可求解.

62

【详解】因为cos[a+]J=£

4,

所以一…s2c+g

sin12a+6)=cosf2a+^]^^=-cos2a+-

l3

=-2cos2f67+^j+l=-2xfj+1=(

故答案为：

o

14.—1—71

66

由题可得球面与底面的交线为以。为圆心，g为半径的圆与正方形ABCD相交的一段弧，即可求出.

【详解】正方体ABC。-4月62中，平面ABCD,

_1

所以平面ABC。与球的截面是以。为圆心的圆，且半径为———,

3

所以球面与底面ABC。的交线为以。为圆心，g为半径的圆与正方形A3c。相交的一段弧,

11TT

该交线长%x2%至

故答案为：—■

6

15.(1)(8,6)

(2)12

(1)设点。的坐标为(x,y),结合通=觉即可求解;

(2)根据题意，先求出通，莅的夹角余弦值，进而得到其正弦值，再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】(1)设点。的坐标为(x,y).

由题意得荏=(-4,-4),nC=(4-x,2-y).

__.[4-x=-4f%=8

因为丽=觉，所以c,,解得女,

[2-y=-4[y=6

所以点。的坐标为(8,6).

(2)由荏=(<-4),通=(6,3),

贝I丽.丽=-24-12=-36，画=J16+16=4夜,西=136+9=3氐

3A/10

()AB-AD-36

则COSAB,AD=^

网.由472x37510

所以sin(通,而)=^1-cos2(AB,AS)=等,

则平行四边形ABCD的面积为

|x|AB|x|Ao|xsin^AB,AD^x2=1x4A/2x3V5x^x2=12.

16.⑴/z=20m

(2)10A/3m

(1)由题意AO=6/7,BO=/Z,结合余弦定理即可求解；

(2)过点A作ACLBO于点C,说明所求为线段AC的长度，解三角形即可得解.

【详解】(1)由题意AO=6〃,30=6,而AS=20m,ZAOB=30°,

所以由余弦定理有400=3/？+//2-2/1•/x立，即层=400，解得〃=20m；

2

(2)如图所示，过点A作ACL30于点C,

由题意POJ■平面ABO,又ACu平面A3O,所以AC_LP。，

又因为ACLBO,80口尸。=。，80,「。＜=平面280,

所以AC_L平面P80,

故所求为线段AC的长度，

由(1)可知AO=6〃=20石m,

所以AC=AOsin30°=10/m.

17.(l)a=0.020；

⑵73；

(3)0.96.

(1)根据频率分布直方图计算即可;

(2)由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解；

(3)小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况,

根据概率计算即可.

【详解】(1)根据频率分布直方图，可得0.008x10+4x10+0.032x10+0.024x10+0.016x10=1,

解得a=0.020；

(2)设本次测试的平均成绩为元，则根据频率分布直方图，可得

0.008x10x95+0.020x10x85+0.032x10x75+0.024x10x65+0.016x10x55=73,

即本次测试的平均成绩为73；

(3)设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为尸，贝U2=0.8+0.2x0.8=0.96,

即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为0.96.

18.(1)AP=3或AP=1；

⑵40-4

【详解】(1)在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=4,点、P,。均在线段上(不含端点)，

所以NC4P=45°,在AACP中，CP2=C42+AP2-2C4XAPXCOS45%

所以5=8+土-4AP,

所以AP=3或钎=1；

B

过。作交A5于T,贝!JCT=2,

设NPCT=a,NQCT=£,a+/?=45。，

所以=tana,=tan△所以△尸CQ的面积为=gx(PT+QT)x2=2(tana+tan〃),

因为tan(a+万)二1=tana+tan',所以十-j.tancrxtan,,

1-tanaxtana

所以tanaxtan尸=1一(tana+tan£)<(⑦。>:an⑶,所以(tana+tan^)2+4(tana+tan^)-4>0,

所以tana+tan/22五一2,当且仅当tana=tan尸=0-1时，tana+tan/取最小值20-2，

所以面积的最小值为40-4.

19.(1)证明见解析；

jr

(2)尸G与平面P4E所成的角为工；

6

cAG1

(3)=一

AP4

【详解】(1)证明：直角梯