立体几何初步-高中数学一轮复习(人教A版)含解析

立体几何初步--高中数学一轮复习人教A版专题特训

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.如图，这是一个正方体的展开图，关于原正方体，有以下四个结论：QABIICD；②

EF//CD-,③CDLCG；④其中正确结论的个数是（）

EB

D.4

2.已知圆锥SO的轴截面SAB是边长为4的等边三角形，C是阳的中点，一只蚂蚁从点

4出发，沿着圆锥SO的表面爬到点C,则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）

A.273C.2A/5D.6

3.在正方体ABC。—A4GA中，P为耳。的中点，则直线尸5与所成的角为（）

，兀兀一兀兀

A.-B.-C.-D.一

2346

4.如图所示，梯形ABC。是平面图形A5C。用斜二测画法得到的直观图，ADf=2,

ABf==1则平面图形ABCD的面积为（）

aD'£

A.1B.-C.也D.3

24

5.若棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为（）

A.26B.28C.30D.32

6.在正三棱锥尸-ABC中，AB=4,PA=6,。是5c的中点，则异面直线AZ）与PS所

成角的余弦值是（）

A.BB.BC.逅D.逅

9393

7.已知三点不共线，。为平面ABC外一点，下列条件中能确定四点共面的是（）

AOM=OA+OB+OCBOM=3OA-OB-BC

C.QM=OA+^OB+^OCDOM=3OA-2OB-BC

8.如图，已知正方体A3CD-A耳的棱长为4,E是棱C；，的中点，则平面AqE截

正方体ABCD-ABCQI所得截面图形的面积为（）

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.如图,三棱柱A5C-4与。1中，底面三角形4耳。1是正三角形，石是2C的中点，则下列叙述错误的是

4

A.CC］与81E是异面直线B.QC与AE共面

C.AE与片。1是异面直线D.AE与B©所成的角为60。

10.正方体ABC。—A4G。棱长为I,若尸是空间异于G的一个动点，且则下列正

确的是（）

A.PG〃平面ACB1

B.存在唯一一点P,使尸2〃耳C

C.存在无数个点P,使用C

D.若尸c,则点尸到直线AG的最短距离为逅

6

11.已知某圆台的上，下底面的半径分别是3和4,且该圆台的上，下底面的圆周都在

半径为5的球。的球面上，则该圆台的体积可能是（）

37兀C259兀

AA.-----B.3771D.259兀

313

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.圆锥的全面积为7T,则它的体积的最大值为.

13.底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为.

14.如图所示，在直三棱柱A3C-A耳C中，底面是以NABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,

BB1=3a,。是AG的中点，点石在棱AM上，要使平面4。石，则AE=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.正方体ABC。-AgCQi中,MN,Q,P分别是AB,BC,CCi，CR的中点.

(1)证明：M,N,Q,P四点共面.

(2)证明：PQ,MN,DC三线共点.

16.如图，己知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AD〃5C，AD=2Q4=2£>C=2，NBCD=90°，

(1)证明：平面Q43,平面ABCD；

(2)求二面角B—PC—O所成平面角的正弦值.

17.如图，在三棱柱ABC-A与G中，AB=BC,AC=42AB,侧面BCG4为正方形,

。为棱8月的中点，点E为棱AC上一点，且AD〃平面BGE.

(1)证明：平面ABB14,平面BCG片;

AR

⑵求法的值;

⑶若NABB]=60°,求直线GE与平面ABB.A,所成角的正弦值.

18.如图，在三棱锥A—BCD,DA,DB,DC两两垂直，且DB=DC=ZM=2,E为BC的中点.

(1)证明：AE1.BC；(用向量方法证明)

(2)求直线AE与QC所成角的余弦值.

19.如图，在正四棱柱ABCD-中,E是AA]的中点，且用=y/2AB-

(1)证明:AC〃平面5DE.

(2)证明:A£_L平面

参考答案

1.答案：B

解析:原正方体如图所示，由正方体的性质可知AB,。相交，ED//AH,ED=AH,

AH//CF,AH=CF

则ED//CF,即=CF则四边形EDCF为平行四边形，则EF//CD；

因△CDG为等边三角形，则ZGCD=60°,

又空间内两条直线的夹角范围为［0°,90。］,则直线。与CG所成的角为60。；

因HE〃CG且则

则①③错误，②④正确.

解析:由题意可知圆锥SO的底面半径厂=2,母线/=4,

侧面展开所得扇形的圆心角”平川则NASB或啖

因为C是S3的中点，所以SC=2,

则这只蚂蚁爬行的最短距离AC=y/AS2+SC2=V42+22=26,

故选：C.

3.答案：D

如图，连接Bq,PCX,PB

因为A2〃5Ci,

所以NP3C]或其补角为直线？8与AD1所成的角,

因为8与J_平面A4C2,所以5百，PC1，

又PqJ_BQi,BB[BQ[=B1,

所以PC1±平面PBB「所以PC,±PB,

设正方体棱长为2,则5G=20,PC]=1^=V2

sinZPBC.=%=L

BC[2

jr

所以NPBC[=—.

6

故选：D

4.答案：D

解析:在梯形A'B'C'D'中，ZB'A'D'=45,则该梯形的高为4*sin45。=—,

2

梯形A'B'C'D'的面积为S，=A'D+BC,立=垣，

224

在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2夜，

所以平面图形AfiCD的面积5=2后S，=2应x延=3.

4

故选：D.

5.答案：B

解析：所求棱台的体积为V=gx(4+16+/^M)x3=28

故选B

6.答案：A

解析:取棱PC的中点E,连接AE,DE,

因为。是5C的中点，所以DE//PB,AD±BC,

则NADE或其补角是直线AD与PS所成的角，.

由题中数据可知PE=3,DE=-PB=3,BD=2,

2

由勾股定理得AD=y]AB2-BD2=2A/3,

在"PC中，由余弦定理可得W

则AE=7AP2+PE2-2AP-PEcosZAPC=J36+9-2x6x3x1=717,

山+。后2_.2

12+9-17

故cosZADE=

2ADDE2x26x3-9

故选：A

7.答案：D

解析：由空间向量基本定理可知，若M,ABC四点共面,

则需满足存在实数x,y,z使得OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=l,

显然选项A,C不成立；

对于选项B,由°河=3OA_QB_BC可得OM=30A-OB-（OC-OB^=3OA-OC,

不合题意，即B错误；

对于D,化简OM=304—208.可得OM=30A—2OB-（OC-OB）=3OA-OB-OC,

满足=可得D正确;

故选：D.

8.答案：B

解析:取。2的中点F,连接所，易型EFUDCJAB],所以平面A^E与。口交点为F,

则平面AB.EF为平面AB.E截正方体的截面，四边形AB.EF为等腰梯形，

过F做FGLAB],由AB=AD=4G=3耳=4,D1F=D1E=2,

所以=，AB2+BB：=4垃,EF=心上+。尸

=2A/2,

22

AF=B1E=V4+2=275,FG=J20-2=3&,

所以其面积为S=；(EE+AB]).EG=；x(2V^+4V^)x3a=18.

故选：B.

9.答案：ABD

解析：由于CC]与gE都在平面C131BC内，故GC与4E共面,A错误；

由于GC在平面CXBXBC内，而AE与平面CXBXBC相交于E点，

点E不在QC上，故QC与AE是异面直线,B错误；

同理AE与Bg是异面直线,C正确；

AE与Bg所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点,公ABC为正三角形,

所以AE_L5C，即AE与BG所成为90。，口错误•

故选：ABD.

10.答案：ACD

解析：对于A,因为3。，平面。4,G，

所以点P在平面ZM1G上，

又因为平面〃平面A31C,所以PC]〃平面AC4,所以A正确，

对于B,假设存在点P,使得PDJ/BQ,

因为与c,所以

这与在平面£>AG外矛盾，所以假设不成立，即点尸不存在，所以B错误,

对于C,如图，因为与CJ_平面ARG3,

平面ADCiB】平面4G£>=C]E,

所以当点p在直线GF上时，恒有尸口，与c,所以c正确，

如图，若B4LPC,则点P在以。为球心，

Ji

OA(OA=—)为半径的球面上，

2

设BD],平面ZX41cl=E,

则B点到平面D4C的距离为BE=|52=平，

所以。点到平面D4G的距离为

所以平面DAG被球面截得的圆的半径为r=/曰-y-=全，

且圆心为OE中点，设为。「

则在等边三角形D4G中，01到直线4G的距离为曰义|=*，

所以点P到直线AC的距离的最小值为

A/6A/6A/6A/6缶

----r=---------=---,所以D正确，

3366

故选：ACD

11.答案：AC

解析:旋转体的性质可得外接球半径与圆台轴截面外接圆半径相等,

如图所示,

当球。的球心。在圆台外时，设圆台的高为人

32+OM2=52=4

则4解得

[42+(OM-A)2=52h=l

c..\37兀

圆台的体积为g兀X(32+3x4+42')=^-；

当球。的球心。在圆台内时，

OM2+32=52

则＜0^+42=52,即圆台的高)=7,

h=0M+ON

贝|J圆台的体积为g兀X7X(3?+3X4+42)=259兀

3

37兀259TI

综上，该圆台的体积为亍或丁,

故选：AC.

12.答案:今

1_/

解析:因为兀〃+兀，=兀，所以/=-----

所以V=4S/2=!口'J/?—严，

33

即V=L=」兀J-2/+r1

33

当产=；时，

Vmax=--71

12

故答案为：显兀

12

13.答案：371

解析：因为圆锥的底面直径为2,它的轴截面是等边三角形，

则圆锥的母线长/=2,底面半径厂=1,

所以圆锥表面积为S=Tirl+nr~=7rxlx2+兀xf=3兀.

故答案为：371.

14.答案：。或2a

解析：以点B为坐标原点，BA,BC,8月所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则5/0,0,30),D空，型,3a,C(O,0a,O).设E@a,6,z)(0<z<3a),则

(22J

CE=@a,—ga,z),4E=("z,0,z—3a).由题意得CEL4E,贝U。足4后=0,即

2a1+z2-3az=0,解得z=〃或2。.故AE=Q或2〃.

15.答案：(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

解析：(1)连接gq.

Q,N分别为CG，的中点，,NQ//BQ且NQ=gBG，

MF分别为A5，G2的中点，PCJ/MB且=MB.

四边形BCXPM为平行四边形，BCJ/MP且Bq=MP

NQ//MP，且NQ=^MP,：.M,N,P,Q四点共面.

(2)由(1)知NQ//MP,且NQwMP,

PQ,MN必交于一点、E.

EwPQ,PQu平面DCCRCEG平面DCCR.

石eACV,肱Vu平面ABCD,EW平面ABCD.

又平面A5CD平面DCCQi=CD.

.•.EeCD,即PQ,跖V，DC三线共点.

解析：(1)由题意：AD，PZ>ADu平面AD=D，

所以平面PAD

因为Q4u平面PAD，所以CD，Q4•

又己4,A5，AB，CDu平面ABCD，且四边形ABCD为梯形，且AD〃BC，所以AB与必相交,

所以上4,平面ABCZ).

又己4u平面已45，

所以平面MB，平面ABCZ>

（2）以C为原点，建立如图空间直角坐标系，因为PA_L平面ABCD，所以上4〃2轴―

设CB=/，/>0，则C(0,0,0),3(0/,0)，0(1,0,0)，P(I,2,1).

所以CB=(0j,0)，CP=(1,2,1)，C£)=(1,0,0〉

设平面PCB的法向量为加=（石,乂,4）,

m_LCBm-CB=0(^,y1,z1).(0,r,0)=0；12；+4=0'取机=（l'0'T）.

则nn(x,y,z)-(l,2,l)=0=

mlCPm-CP=0111

设平面PCD的法向量为〃=（X2，%，Z2），

nVCDn-CD=0(工2，%/2)-(1，0,0)=0=%)—0口/、

则nn1，取〃二(0,1,—2).

F+2yl+4=0、

nLCPn-CP=0(x2,y2,z2)-(l,2,l)=0

所以m-n=2,|m|=^2,|«|=45-

m-n2M

所以cosm,n=-----—■—=-,

|m|-|n|7105

巫，即二面角5—PC—。所成平面角的正弦值为《叵.

所以sinm,n-

55

17.答案：（1）证明见解析;

⑵

⑶等.

解析:（1）由AB=5C,AC=41AB,得AC?=,所以AB^^BC,

又侧面BCCXBX为正方形，所以5C，8与，

因为43「3与=6,43,33]u平面,所以5C，平面A,

又NCU平面BCGBi,故平面ABBXAX±平面BCC.B,.

(2)如图，连接。与8G交于点F,连接EP,

因为〃面3£E,平面AD。平面3GE=EF,ADu平面ADC,

匚匚|、|n,iAEDF

所以AD//EF,则---=---

ECFC

在正方形BCC#中，ABDFs^CiCF,。为棱8月的中点,

匚匚2DFBD1匚匚〜AE1

所以——=——=-所以一=-

FCQC2EC2

(3)设AB=5C=2,

由⑴可知，平面又BCHB、G，所以与g，平面

AR1

由(2)知，—延长交AA的延长线于H，

因为侧面BCG用为正方形，^.AB=BC=2,则A"=gcC]=gBC=l,

连接4〃，所以N4“G为直线GE与平面所成的角，

所以朋=3耳=2,4g=43=2，则4〃=3,

由NABB[=60°得NA41g=60°,

在△4片“中，根据余弦定理，

2222

B^=4H+-2\H-\BXcos60=3+2-2x3x2x1=7,则旦77="

在中，