立体几何中的截面问题（附答案解析）-全国高考数学一轮复习（提高版）

微专题立体几何中的截面问题

截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件：①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个

平面.

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条

直线和交线平行.

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

视角U延展作多面体截面

例1(2024•随州5月模拟节选)在棱长为2的正方体ABCZXA/iCiDi中，E,尸分别为

AB,8C的中点，则过点A，E,尸的平面截正方体A8CDA181GO1所得的截面多边形的周

长为2、m+、正.

【解析】方法一：如图(1),延长D4,DC,与直线EF分别交于点M,Q,连接AM,

与4A,GC分别交于点P,H,连接PE,即，则五边形所在平面即为截面.因

为正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点，所以产百=也.由

RtABEF^RtACQF^RtAAEM,得4知=。0=85=8尸=1,EF=ME=FQ=^,所以P,

H分别为靠近A,C的三等分点，故AiP=CiH=1,所以由勾股定理得DXP=DXH=\^+^

=¥旦PE=FH=yj12+(J)=平，所以截面多边形的周长为。iP+PE+EF+FX+Di"

=^^X2+^X2+^2=2713+^2.

方法二：因为平面AAiDi£>〃平面821GC,则过点。i,E,尸的平面必与AAi,CG相

交，设过点。1,E,尸的平面与441,CG分别交于点M,N.因为过点Di,E,/的平面与平

面AAiPD和平面8B1GC分别交于AM与NF,所以AM〃NF,同理可得。iN〃ME,如

图(2),过点。1,E,尸的平面截正方体ABCD-A/iCiDi所得的截面图形为五边形AMEFN.

以。为坐标原点，分别以函，DC,访1的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标

系。孙Z,设CN=n,贝IA/(2,0,m),N(0,2,ri),EQ,1,0),F(l,2,0),Di(0,

0,2),所以证=(0,1,-m),血=(0,2,n-2),况0=(2,0,m-2),桥=(1,0,-

\―2m=n_2,\m3'72

〃).因为。iN〃/E,£)iM〃NF,所以解得qc所以AM=a，CN=w，

[—2”=加一2,_233

444

所以CiN=^,所以在Rt/XOiAiM中，01Al=2,A\M=y所以£>iA/='.同理

OIN=¥亘在RtAMAE中，AM=|,AE=1,所以.同理NF=^.在RtAEBF中，

BE=BF=1,所以EF="所以DiM+DiN+ME+NF+EF=2X^^-+2X^-+y[2=

2713+^2,即过点A,E,尸的平面截正方体ABCD-ALBICIG所得的截面多边形的周长为

2713+^2.

图⑵

(例1答)

〈总结遑炼》

作多面体截面的方法：

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找

截面实际就是找交线的过程；

(2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；

(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点；

(4)同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；

(5)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可

以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；

(6)若已知点在几何体内部，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点.

变式1在正四棱柱ABCD-A181C1。中，44i=2A8=4,点E,F,G分别是AAi，4囱，

B1G的中点，则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCn-AiSGQi所得截面多边形的周长为

A.2吸+3$B.2^2+3^5

C.2吸+44D.2$+4小

【解析】如图，延长GP交的延长线于点交AG的延长线于点N,连接ME

并延长交A。于点K,交。1。的延长线于点T,连接力V,分别交CD,CCi于点/,H,连接

KI,GH,则六边形EFGH/K所在平面即为平面所G,六边形EEGH/K即为过点E,F,G

的平面截正四棱柱ABCD-AiBiCiA所得的截面多边形.由全等三角形可知，K,I,”分别

为AD,CD,CCi的中点.因为AAi=2A8=4,所以EF=GH=EK=HI=邓,FG=KI=y[2,

所以六边形EFGHIK的局长为21「+4巾.

视角巴平行作多面体截面

例2如图，已知正三棱柱木料ABC-AiBiCi各棱长都为2,Oi，O分别为△AiSG和

△ABC的中心，。为线段5。上的点，且第=上过A,B,。三点的截面把该木料截成两

部分，则截面面积为一平

(例2)

【解析】如图，连接CO,GOi并延长分别交A3,45于点D,Di,易知CE>〃GA,

连接DQ并延长交CiDi于点P,过点P作EF/ZArBr分别交SG,AiG于点E,F,连接

BE,AF.因为EFV/AiBi,所以故梯形ABEF为过A,B,Q三点的平面截正三棱柱

A2C-48C1的截面.因为。1,O分别为△A18C1和△ABC的中心，甯=口，又CD"CM,

所以OIP=3OD=3OQI.又△AbBCi是等边三角形，所以。故AP=/)iG,

即P是AG的中点，所以E尸=%11,易知四边形A出/为等腰梯形，所以为等腰梯

形的高.又正三棱柱ABC-46G各棱长都为2,所以EF=1,2£=5了1=小，PD=

7BE?—(DB—PE)2=yj5_(1—g=华,所以$梯形ABEF—1(AB+£F)XPD=^X3X^=

3回

4,

（例2答）

变式2如图，正方体ABCD-AiBiGOi的棱长为2,E,尸分别为BC,CG的中点，则

（变式2）

39

A-2B-2

C.9D.18

【解析】连接BCi,ADi,DiF,如图所示，因为E,尸分别是8C,CG的中点，所以

所〃3G.在正方体中，ADi/ZBCi,所以EF〃4所以A,A,E,尸在同一平面内，所以

平面AEF截该正方体所得的截面为平面EEDiA.因为正方体的棱长为2,所以EF=也,ADt

=2^2,DiF=AE=y]22+l2=y/5,则点E到AD,的距离为等腰梯形EFD^A的高，即

诉2_（^^）2=乎所以截面面积为5=1x（2^2+72）X^=1.

（变式2答）

视角团球与截面

例3（1）（2025•常州期末）已知正方体A8CDA山Cid的棱长为2,点M为棱。口的中

点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（A）

71c2兀

A4-3BT

-4兀

C.71D.•y

（2）已知正方体A8CD-4BiCbDi的棱长为1,以4为球心，卑为半径的球的球面与正

方体ABCZK4bBiGA的表面的交线长为（C）

A.等20

B.

9

D.y/37i

【解析】因为粤〉啦,所以以Ai为球心，卑为半径的球的球面，只能与正方体6

个面中的3个面（底面ABCD,侧面BCCiBi,侧面CDdCi）相交，且与每个面的交线长相

等.以底面A8CD为例，因为平面ABC。，所以4A垂直于平面ABC。内任何一条直

线.设正方形ABC。内交线上的点到点A的距离为九则序+12=苗]]2,解得〃=2乎.因

此正方形ABCD内到Ai的距离为等的点，就是正方形ABCD内到点A的距离为平的点，

1JT2、巧

而cosNEA3=cosNHAZ）=H=¥，所以NHAE=4,而这些点在以A为圆心，^一为半

3

径，圆心角为亲的圆弧上，则该段圆弧长为"平=亭，故所求交线长为3Xy[3ny[3n

9=3■

（例3⑵答）

〈总结提炼〉

（1）平面截球体，截面都是圆形，球半径、截面圆半径、球心与截面圆心之间的距离,

满足勾股定理；

（2）球体与多面体的交线，是一段一段的圆弧，计算每一段的圆心角大小是关键.

配套精练

1.（2024.深圳二模）已知正方体ABCD-AiBiC。,过点A且以m1为法向量的平面为a,

则a截该正方体所得截面的形状为（A）

A.三角形B,四边形

C.五边形D.六边形

【解析】如图，连接AC,ADi,CDi,BD,因为22」平面ABC。，ACu平面43。，

所以831_LAC又四边形A8CO为正方形，所以BO_LAC,又BBiCBD=B,BBi,BOu平面

BBiD,所以AC_L平面BBQ.因为BQu平面所以AC_LS。，同理可证明

因为ADiAAC=A,ADi,ACu平面ACDlt所以8iO_L平面ACDi,所以平面a即为平面

ACDif则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

（第1题答）

2.若球的两个平行截面的面积分别为10兀和16兀，球心到这两个截面的距离之差为也,

则球的直径为（D）

A.3也B.4^2

C.5^2D.6^2

【解析】设球心为O,半径为R,若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图（1）,

p2=42+6/2,

设OA=d,由题可得1R2=(®)2+3+地门,

d=y[2,

解得故球的直径为2R=6dl若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图（2）.设

R=35

p2=42+iZ2,

OA^d,由题可得BC=®,AB=y[2,OD=OC=R,则

AO=4,]R』(VW+(也一①2,

解得d=—啦（不合题意，舍去）.

图⑵

（第2题答）

3.若四面体ABC。的所有棱长都相等，其顶点都在球。的球面上，过点A,B,。作平

面a,平面a截此四面体所得截面面积为也，则球。的表面积为（D）

A.2兀B.3兀

C.4兀D.6兀

【解析】将四面体A8C。放置在正方体中，如图，设正方体的棱长为a,贝1AB=$a,

取C。中点连接AM,BM,则为平面a截此四面体所得截面，由题意，，也0a

=取,得。=陋,所以正方体的对角线长为,2+2+2=加,则球。的半径为坐，可得球0

里|=6兀.

的表面积为47rx

（第3题答）

4.如图，在正三棱柱ABC-AICi中，AB=4,AAi=3,4cl=44N,BBi=3MBi，平

面CMN截三棱柱所得截面的周长是（B)

（第4题）

A.3^2+4^5B.3也+34+小

C.4g+3小D.3^2+4^5+^3

【解析】如图（1）,延长CN与A4i的延长线交于点儿连接与All交于点G,

连接NG,则四边形CNGM为所求截面，其中CN=y]CC]+CiN2=^/32+32=3^2,CM=

、BC2+BA/2=、42+22=2小,如图（2）,AAiIlNsACiCN,所以绢=缺=:，即

CC1=1,如图(1),由4五=81知=1,易得AA1HG沿AB1MG,所以4G=BiG,即G是小田

的中点，所以济匚而庐=严乔=小，在△4GN中，ZNAiG=60°,AtG=2,

22

4N=1,所以NG=yjAlN+AiG-2AiN-A1G-cos60°=yj1+4-2XlX2Xj=y[3,所以四

边形CNGAf的周长为3y/2+2y[5+y[5+y[3=3y/2+3y/5+y/3.

图⑴

图⑵

（第4题答）

5.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-AWiGd中，P,。分别在棱BC,CG上,

CP=x,CQ^y,%e[0,1],yd[O,1]且^+产=。，过人,尸，Q三点的平面截正方体ABCD-

AiBiCid得到截面多边形，贝ij（BD）

--h>C

XP

（第5题）

A.x=y时，截面一定为等腰梯形

B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大值为吸

C.存在x,y,使截面为六边形

D.存在x,y,使BDi与截面平行

【解析】对于A,当x=y=l时，截面为矩形，故A错误；对于B,当x=l时，点尸

与点8重合，设过A,P,。三点的平面交。。于因为平面4401。〃平面88C1C,故

PQ//AM,且AB_LP。，此时截面为矩形.当点。与点G重合时面积最大，此时截面面积S

=1X^2=^,B正确；对于C,截面只能为四边形、五边形，故C错误；对于D,当了=

I，时，延长B1B交QP延长线于点N,画出截面APQM如图所示.因为BP=CP,

BN//CQ,故RtABP^RtACPQ,贝[BN=CQ=；.由面面平行的截面性质可得

21

AADM^APCQ,AD=2PC,故。M=2CQ=§,此时M£）I=Q,故MDI=BN且MDJ/BN,

故四边形Affl/N为平行四边形，故MN〃BDi,根据线面平行的判定定理可知与截面

平行，D正确.

（第5题答）

6.（2024.景德镇三检X多选）已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为6,P,Q分别是棱

AiBi，4A的中点，过P,Q,C作正方体的截面，则（ACD）

A.该截面是五边形

B.四面体CGPQ外接球的球心在该截面上

C.该截面与底面A8C。夹角的正切值为平

D.该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75

【解析】对于A,如图(1)所示，延长尸。交CiP的延长线于点M,延长。尸交GS

的延长线于点连接MC交OA于点N,连接8C交于点K,连接PK,QN,则五边

形PQNCK为平面尸QC截正方体所得的截面，故A正确；对于B,如图⑵所示，设三棱锥

C-PQCi的底面三角形PQG的外心为。1,三棱锥C-PQCi外接球的球心为0,且GP=G。

CiP2+CiQ2-PQ24

=3y/r5,PQ=3y/r2,CP=CQ=9,在△APQG中，cosZPCiQ=-----oQf.Qg=5>sin

/PGQ=|，所以△PQG外接圆半径为℃i=2sin巽C]°=毕，所以在△OCi。中，三

棱锥C-PQCi外接球半径R=CiO=NOiG+*=y(平)+32=亭,所以三棱锥C-

CP2-\-PO2—CO1

PQC1外接球球心。到P，2，C三点的距离都为R.在△PQC中，cos/CPQ=-2cxp0

=乎，sin/CPQ=军，所以△尸QC外接圆半径、=2sin%>Q=当件力凡所以四面体

CGP。外接球的球心不在该截面上，故B错误；对于C,如图(3)所示，以4为坐标原点，

AB9AD,AA1所在直线分别为X,J,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则尸(3,0,6),

2(0,3,6),C(6,6,0),所以丽=(—3,3,0),PC=(3,6,-6),设"=(x,y,z)为平面

〃尸。=—3x+3y=0,

PQC的法向量，贝川_取x=y=2,z=3,所以n=(2,2,3).因为AA\

、/rPC=3x+6y—6z—0,

-A

_L平面ABCD,故后i=(0,0,6)为平面ABC。的一个法向量，则cos<AAi,加=——

|A4i||n|

=4片=今?，sin<A41,加=圆铲，tan(AAi,加=平，故C正确；对于D,如图

⑷所示，取SG中点G,连接QG,因为AHBiPsAHGQ,所以嘿=%=/即m=3.

又因为AHBiKsAHCiC,所以第'=然=3，即SK=2,同理，由得

MDi=3,由△AffliNsA^GC得AN=2,所以VC-BIKP\SABIKPCBJX^X2X3X6

=6,VC-DlQN=^S^DlQN-CD=^X1x2X3X6=6,VC-PQCl=^S^PQCvC1C=^X^

X3小X3小x|x6=27,VC-BiPCi=|sABiPCrCiC=|x|x3X6X6=18,VC-DxQCi^

SA£)I2CI-CIC=|X|X3X6X6=18,所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为6

+6+27+18+18=75,故D正确.

图(1)

p

图(2)

图⑶

图（4）

（第6题答）

7.（2024•荷泽一模节选）在棱长为2的正方体A8CDA向G。中，尸为的中点，。为

B1G的中点，则过尸，Q,。三点的截面面积为2/左.

【解析】截面为边长为小的菱形P8QA.易得尸。=2啦，BDi=25,所以S=3X2也

X2事=2#.

8.（2024・济宁一模节选）如图，在棱长为2的正方体ABCn-AiBCid中，M,N分别是棱

BC,。。的中点，则过A,M,N的平面截正方体ABCD-AbBiGA所得的截面图形的周长为

-2--

（第8题）

【解析】如图，四边形AMHN为过A,