立体几何中的向量方法（二）-求空间角和距离

§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

最新考纲考情考向分析

1.能用向量方法解决直线与直线、直本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异

线与平面、平面与平面的夹角的计算面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距

离等内容，考盒热点是空间角的求解.题型以解答题

问题.

为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与

2.了解向量方法在研究立体几何问题

中的应用.方程思想、转化与化归思想.

基础知识自主学习

——回扣基础知识训练基础耿目一

r知识梳理

1.两条异面直线所成角的求法

设。，力分别是两异面直线小，2的方向向量，则

/［与，2所成的角〃。与力的夹角夕

范围(o,f][0,兀]

0ab

求法cos0-|a||ft|cos”Ml制

2.直线与平面所成角的求法

设直线/的方向向量为。，平面。的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为仇。与〃的夹

=

角为B，则sin0|cosp\—ILI'IJi«

|C4||r<|

3.求二面角的大小

⑴如图①，AB,CO分别是二面角［一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小

0=(AB,CD).

(2)如图②®,小，〃2分别是二面角a-/一4的两个半平面a，夕的法向量，则二面角的大小

，满足|cos8|=|cos“2〉b二面角的平面角大小是向量力与〃2的夹角(或其补角).

【概念方法微思考】

1.利用空间向量如何求线段长度？

提示利用|丽2=熟易可以求空间中有向线段的长度.

2.如何求空间点面之间的距离？

提示点面距离的求法：

已知从笈为平面a的•条斜线段，〃为平面。的法向量，则点6到平面。的距离为

|说>1=1嬴||cos</W,n>|.

r基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(X)

(2)直线的方向向鼠和平面的法向最所成的角就是直线与平面所成的角.(X)

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(X)

(4)两异面直线夹角的范围是(0,引，直线与平面所成角的范围是［。，,二面角的范围是［0,立

(J)

(5)若二面角a一〃一£的两个半平面a,4的法向量〃I，“2所成角为仇则二面角。一。一夕的

大小是71—0.(X)

题组二教材改编

2.［PIO4T2］已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),〃=(0,1,1),则两平面所成的二

面角为()

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

答案C

mm

解析cos〈%加=丽=许=方,即〈，%,〃〉=45°.

・•・两平面所成二面角为45°或180°-45°=I35°.

3.［P1I7A组T4(2)］如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱的底面边长为2,

侧棱长为2也，则AG与侧面ABBiA｝所成的角为.

答案I

解析如图，以A为原点，以赢，私AE_LA8),所在直线分别为x轴、y轴、z轴(如图)

建立空间直角坐标系，设。为48的中点，

则A（0,0,0）,G（l,小，2^2）,0（1,0,2啦），.*.ACi=（l,小，2^2）,

而=（1,0,272）.

ZGAD为AG与平面所成的角，

，八/4CiAD

cosZC\AD=------------

|/(Ci||Ab|

_〈，木,26(1,0,诉_布

712X^9—2，

又•・・NGAOw[o,・,・/5/)=1

题组三易错自纠

4.在直三棱柱A8C-A/ICI中，NBC4=90。，M,N分别是4e，4cl的中点，BC=CA

=CG，则与AN所成角的余弦值为()

A±B2C典D也

A.1()05L102

答案C

解析以点C为坐标原点，C4,CB,CG所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系.

在菱形A8CO中，不妨设G8=l.

由NA4C=120。，

可得4G=GC={1

由BE_L平面ABCZ),AB=BC=2,可知AE=EC.

又4E_LEC,所以EG=小,且EG_LAC

在RtZ\£8G中，可得BE=小,故。尸=乎.

在R【△产QG中，可得产G=乎.

在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=巾,DF=^,可骞EF=*,从而EG2~\-FG2=EF2,

所以EGLFG.

又ACP/G=G,AC,/GU平面AR7,

所以石6_1_平面AFC.

因为EGU平面AEC,所以平面AEC_L平面AFC.

(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC所在直线为x轴、y轴，|无|为单位长度,

建立空间直角坐标系Gxyzt

由(1)可得A(0,一小，()).E(l,

C(0,馅，0),

所以恁=(1,小,也)，CF=f-1,一小，阴.

故cos〈器,CF)=AE&；=一*

的I曲

所以直线4E与直线。尸所成角的余弦值为由.

思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤

(I)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；

(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量：

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)两异面直线所成葡的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

跟踪训练1三校柱AKC-AIiCi中，/XAHC为等边三角形，A4i_L平面A8C,AAi=AB,N,

M分别是AiS，4G的中点，则AM与8N所成角的余弦值为()

1374

--CD-

055

10

答案C

解析如图所示，取AC的中点O,以。为原点，BD,DC,所在直线分别为x纳、y

轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC=2,则A(0,—1,0),加(0,0,2),

8(一小，0,0),A(一坐，一；，2),

所以Q/=(0,I,2),

的=(坐,~2y2),

7

_AMBN_2_7

所以cos〈藏/,俞〉故选C.

\AMl\BN\邓义小1°'

题型二求直线与平面所成的角•…・师生共研

例2(2018•全国【)如图，四边形ABCO为正方形，E,F分别为40,BC的中点，以。尸为

折痕把△。尸。折起，使点C到达点P的位置，且PF_LBF.

⑴证明：平面P£^_L平面A3/J。；

⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

(1)证明由已知可得8尸_PF,BFA.EF.

PFCEF=F,PF,EFU平面PEF,

所以4尸_1_平面PEF.

又BRZ平面ABFO,所以平面PEF上平面ABFD.

(2)解如图，作PHLEF,垂足为”.

由(1)得，PH_L平面AB/刃.

以〃为坐标原点，泳的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标

系Hxyz.

由⑴可得,DE±PE.

又。尸=2,DE=\,

所以PE=<3.

又PF=1,EF=2,所以PE_LPE

3

所以尸”=坐,-

-2

则”(000),电，0,坐)，，一1,-1,U),

而=(i,|,坐),济=卜,o,坐)

又成为平面ABFD的法向量，

设OP与平面4BFO所成的角为仇

3

-

4

\HPDP\

则(HP,DP)

sinO=|cos1=\HP\\DP\小

所以。户与平面48FO所成角的正弦值为亍.

思维升华若直线/与平面夕的夹角为仇直线/的方向向量/与平面a的法向量〃的夹角为

6,则夕=尹〃或一看故有sin夕=lcosM=1柒

跟踪训练2(2018・全国II)如图，在三棱锥P-4BC中，AB=BC=2叵PA=PB=PC=AC

=4,。为AC的中点.

(1)证明：PO_L平面ABC；

(2)若点M在棱8C上，且二面角加一以一。为30。，求PC与平面附M所成角的正弦直.

(1)证明因为PA=PC=AC=A,

。为AC的中点,

所以OP_LAC,且0P=24

如图，连接08.

因为A8=5C=

所以△ABC为等腰直角三角形,

所以0B_L4C,OB=^AC=2.

由OP2+OB1=PB2知PC)1OB.

因为O?J_OB,0P1AC,OBOAC=。，OB,4CU平面ABC,

所以PO_L平面ABC.

⑵解由(1)知。。，OB,0C两两垂直，则以。为坐标原点，分别以。仅0C,0。所在直

线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Q.yyz,如图所示.

由已知得。(0,0,0),8(2,0,0),

4(0,-2,0),C(0,2,0),

尸(0,0,2V5),崩=(0,2,2小).

由(1)知平面%C的一个法向量为励=(2,0,0).

设M(a,2—a,0)(0WaW2),则AM=(a,4—a,0).

设平面小”的法向量为/i=(x,y,z).

由=/Uf/i=0,得

⑵+2小z=0,L_LL

]可取丫=小。，得平面以M的一个法向量为〃=(53—4),巾a,—a),

3+(4—a)y=0,

.VI‘柩'OBfi2V5(4—4)

所以cos(OB,加=——=_r--一，一，।,

\OB\\n\2V3(。-4)2+3/+。2

由已知可得|cos{OB,n)|=cos30°=^,

所以一广2小。—4|_仍

2y3(〃-4/+3/+/2，

4

解得。=一4(舍去)或a=y

所以尸(一零零号)

又正=(0,2,一2®所Xcos(PC,n)=乎.

所以PC与平面南M所成角的正弦值为坐.

题型三求二面角…•一^师生共研

例3(2018•达州模拟)如图，在梯形A8C。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,NABC=60。,

平面ACERL平面A8CQ,四边形ACE尸是菱形，NC4尸=60。.

鼻cD

(1)求证：BF1AE；

(2)求二面角尸一。的平面角的正切值.

⑴证明依题意，在等腰梯形A8CO中，AC=2小，AB=4,

VBC=2,：,AC2+BC2=AB2,即8CJ_AC,

又•・•平面ACE/LL平面ABC。，平面ACE/n平面A8CO=AC,BCU平面A8CO,

，8CJ_平面ACE/，而AEU平面ACE尸，AAE±«C,

连接C/，•・•四边形ACEF为菱形，・・・4E_LR7,

又•.•4cnc尸=c,BC,CFU平面8c/,

，AEJ_平面BCF,

•••8FU平面8CR.\BF1AE.

(2)解取"的中点M,连接MC,

•••四边形ACEF是菱形，且NC4F=6（）。，

，由平面几何易知MC1AC,

又•.•平面ACE/LL平面A6CD,平面ACEFA平面A8CQ=AC,CMU平面ACE/，

，MC_L平面AliCD.

以CA,CB,CM所在直线分别为x,.y,z轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为C（00,0）,

4（2小，0,0）,B（0,2,0）,D（小,-1,0）,E（一小，0,3）,F巾,0,3）,

设平面8EF和平面。E/的一个法向量分别为〃]=（m,瓦，Q）,〃2=（。2，02,C2）,

,.傣=（小,-2,3）,EF=（2<3,0,0）,

BFm=U,小〃L28i+3ci=0,

即<

2小山=0,

EF/i]=0,

即《

=

2bl3c\9

不妨令〃i=3,则〃|=（0,3,2）,

同理可求得〃2=（0，3,-1）,

设二面角尸一。的大小为仇由图易知。为锐角,

Acos<9=|cos（小，〃2〉尸端

9

故二面角3—£尸一。的平面角的正切值为亍.

思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有

两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，

列方程组求解.

跟踪训练3（2018・仝国IH）如图，边长为2的正方形"6所在的平面与半圆弧所在平面

垂直，M是C。上异于C。的点.

（1）证明：平面4MO_L平面BMC：

（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求平面MAB与平面所成二面角的正弦值.

⑴证明由题设知，平面CMO_L平面48c。，交线为CD.因为8C_LC。，8CU平面A8CQ,

所以4C_L平面CMO,又OMU平面GWO,

故BCLDM.

因为M为。Q上异于C,。的点，且。C为直径,

所以DMA.CM.

又8CPCM=C,BC,CMU平面BMC,

所以DU_L平面BMC.

又。MU平面AM。，故平面AMO_L平面BMC

(2)解以。为坐标原点，/次的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。孙z.

当三棱锥M—ABC体积最大时，M为。。的中点.由题设得

。(0,0,0),4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),MiO,1,1)，

AM=(~2,1,1),AB=(O,2,0),DA=(2,0,0),

设〃=(x,y,z)是平面MA5的法向量，则

n-AM=0,[―2r+j+z=0,

即

”赢=0,12y=0.

可取〃=(1,0,2),

扇是平面MC。的一个法向量，因此

/次、〃苏君

cos\n,DA)-------看，

\n\\DA\

sin〈〃,DA)=邛^.

所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是芈.

-----------------.答题模板.-----------------

利用空间向量求空间角

例(12分)如图，四棱锥S-ABCD中，/XABD为正三角形，ZBCD=\20°,CB=CD=CS

=2,Z^SD=90°.

(1)求证：AC_L平面S右。；

(2)若SC_LBD,求二面角人一58一。的余弦值.

(1)证明设ACnBD=O,连接S。，

如图①，因为A3=A。，CB=CD,

所以AC是8。的垂直平分线，

即O为BD的中点，

且AC_LBD.[1分]

在△BC。中，

因为CB=CD=2,ZBCD=120°,

所以BD=25,CO=\.

在RtZ\S8O中，因为/BSO=90。，。为8。的中点，

所以SO=^D=y[3.

在△SOC中，因为CO=1,SO=3,CS=2,

所以S^+CGnCSz,所以SO_LAC.[4分]

因为BDCSO=O,BD,SOU平面SBD,

所以AC_L平面SBD.[5分]

⑵解方法一过点。作OKJ_S8于点K,连接AK,CK,如图②,

由(I)知AC_L平面S8O,所以人O_LS8.

因为。KnAO=O,OK,AOU平面AOK,所以SB_L平面AOK.[6分]

因为AKU平面AOK,所以AKJLS8.

同理可证CK±SB.[7分]

所以NAKC是二面角4—SB—C的平面角.

因为SC_L3。，

由（I）知AC_L8。，且4CnsC=C,AC,SCU平面SAC,

所以8O_L平面SAC.

而SOU平面SAC,所以SO_LB。.

SOOB_y[6

在RtASOB中，OK=SB=2•

_________rrz

在RtAAOK中，AK=y[A^O^=^-t

同理可求CK=+＜［10分］

AK2-\-CK2-AC2

在△中，cosZAKC=

AKC2AKCK35•

所以二面角A—SB-C的余弦值为一噂.［12分］

方法二因为SC_L8。，由（1）知，AC_LBO,且ACnSC=C,AC,SCU平面SAC,所以BD_L

平面SAC.

而SOU平面S4C,所以SO_LBD.［6分］

由（1）知，AC_L平面S4Q,SOU平面S8O,

所以SOLAC.

因为ACn8Q=O,AC,BQU平面ABC。,

所以SO_L平面AAOJ7分］以O为原点，04,6B,丞的方向分别为.r轴，），轴.2轴的正

所以赢=（一3,小,0）,Cfi=（l,小，0）,

的=（0,小，一小）.［8分］

设平面SA8的法向量zi=5，＞,i,zi）,

ABn=-3xi+小受=0,

则仁

。/1=小》一小zi=0.

令），1=小，得平面SAB的一个法向量为〃=（1,小，小）.

同理可得平面SQ?的一个法向量为m=（一小，1,1）.[10分]

—小+小+小、105

所以cos(ii,m}

一1印制|一6X4—351

因为二面角A-SB-C是钝角，所以二面角A-S4-C的余弦值为一嘤2[12分]

JJ

答题模板

利用向量求空间角的步骤

第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；

第二步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标;

第三步：计算向量的夹角1或函数值），并转化为所求角.

课时作业

“基础保分练

I.已知两平面的法向量分别为6=（1，—1，0）,〃=（0,I,-I）,则两平面所成的二面角

为（）

A.60°B.120°

C.60°或120°D.90°

答案C

解析‘os〈孙〃〉=箭=品=一/

即<m,n>=120°.

，两平面所成二面角为120。或180。-120。=6（）。.

2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱A8C-Ai8G，CA=CCi=2CB,则直线BG与直

线AS所成角的余弦值为（）

A坐B坐

C或D或

。64

答案A

解析设C4=2.则0.0).4(2.0.0),«(0.0.1).Ci(0.2.0),«)(0.2.1).可

得向量靠i=(—2,2,1),丽产(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos〈Bi,BCi)=迪空_

\ABx18cli

0+4-1

44+4+1＞、0+4+1—小―5，故选A.

3.在正方体ABCO-48GU中，点E为88的中点，则平面4E7)与平面ABC。所成的

锐二面角的余弦值为()

A1R2「龙0范

/>.32

答案B

解析以A为原点，AB,A。，A4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系Axyz,设棱长为1,

①5

75

E

B,

则4(0,01)，E(l,0,0(0,1,

0),

ft

，AQ=(0,l,-1),AiE=1,0,

设平面A\ED的一个法向量为〃i=(l,必z),

y-z=0

A]Dfi\=0,t)=2,

则铝一即

22=2,

.AI£WI=0,I-2=0,

=(1,2,2).

•・•平面ABC。的一个法向量为〃2=(0,0,1),

22

.'.COS51,〃2〉=荻7=亨

即所成的锐二面角的余弦值为东2

4.在正方体ABCD—AiBiGDi中，AC与所成角的大小为()

.兀c九c兀c兀

A-6B4C3D2

答案D

解析以4为坐标原点，A4,AD,44所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，设正方体的边长为1,

则A(0,0,0),C(l,1,0),8i(l,0,1),D(0,1,0).

・••启=(1,1,0),帅=(一1,1,-1),

vAc/M；=lx(-1)4-1X1+0X(-1)=0,

»»IT

AAClBiD,：.AC与BiD所成的角为

5.（2018•上饶模拟）已知正三棱柱ABC-ABC】，AB=Mi=2,则异面直线4囱与C4所成

角的余弦值为（）

A.0B.—4C.TD.4

44/

答案C

解析以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为），轴，以

44所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),S(小，1,2),AM0,0,2),C(0,2,0),

嬴1=(小,1,2),祝=(0,2,-2),

设异面直线和4C所成的角为0,

IA8MC_|-2|」

贝Icose=画.屈］乖不不

.,.异面直线A囱和4c所成的角的余弦值为:.

6.（2019•上海松江、闵行区模拟）如图，点A,B,C分别在空间直角坐标系。一个z的三条

坐标轴上，5（7=（0,0,2）,平面48c的法向量为〃=（2,I,2）,设二面角。一48一。的大小

为0,则cos0等于（）

c

/'O

----一)

‘X

A4B坐c.zD.—I

JJJ1

答案c

解析由题意可知，平面A80的一个法向量为。D=(0,0,2),

由图可知，二面角。一48一。为锐角，

由空间向量的结论可知，号.

IOCIMI2X33

7.在三棱锥P-A3C中，出，平面A3C,ZBAC=90°,D,E,”分别是棱A&BC,CP

的中点，AB=AC=\,以=2,则直线办与平面。£/所成角的正弦值为.

答案?

解析以A为原点，AB,AC,4P所在直线分别为％轴、)，轴、z轴建立如图所示的空间直

角坐标系，

由4B=4C=1,朋=2,

得40,0,0),8(1,0,0),

C(0,I,0),P(0,0,2),%,0,0),

的,2,O1

/.M=(0,0,-2),DE=(O,I，0),

际=(-*I，］).

设平面OE/7的法向量为“=(x,y,z),

〃•命=0,y=0,

则由＜得

x+y+2z=0.

5•。/=0,

取z=l,贝ij/i=(2,0,1),设直线出与平面QEF所成的角为优则sinO=|cos〈〃，宠〉|

_\PAn\_yf5

一_.5，

mn\"

・•・直线PA与平面所成角的正弦值为害.

8.如图，在正方形"CO中，EF//AB,若沿Eb将正方形折成一个二面角后，AE：ED：AD

=1：1：地，则A尸与CE所成角的余弦值为________.

4

答案5

解析9：AE：ED：AO=1：1：啦,

：.AE±EDf即AE,DE,E尸两两垂直,

所以建立如图所示的空间直角坐标系，

万

设A8=E/=CO=2,

则E(0,0,0),A(l,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),

・••乔=(-1,2,0),EC=(0,2,1),

・-而无4

..cos{AFyEC)——s，

丽的

4

・・・A产与CE所成角的余弦值为导

9.如图所示，在三棱柱A5C—A出1G中，底面/IBC,AB=BC=AA\,ZABC=90°,点

E,尸分别是棱48,的中点，则直线EF和BCy所成的角是_________.

f.

1

B

答案60°

解析以B点为坐标原点，以8c所在直线为x4由，84所在直线为y轴，88所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系.设48=BC=AAi=2,

则G(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),

则济=(0,-1,1),比i=(2,0,2),

.\EFBCi=2,

Acos(前欧=-^-

CTIBCil

2I

=y[2X2y[2=r

•••异面直线所成角的范围是(0。，90。],

・・・E尸和BG所成的角为60°.

10.(2019・福州质检)已知点E,尸分别在正方体48a>-A/iCG的棱BR,CG上,且&E

=2EB,CF=2FC\,则平面与平面/WC所成的锐二面角的正切值为.

答案当

解析方法一延长所，CB相交于点G,连接AG,如图所示.

不DyC。,

G

设正方体的棱长为3,则G/3=8C=3,作8〃_L4G于点儿连接£77,则N£H3为所求锐二

面角的平面角.

方法二如图，以点。光坐标原点，DA,DC,。/)所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立空间直角坐标系Dxyz,

设D4=l,由已知条件得

A(\,0,0),1,£),

/^0,1,AE=(0,1,；),

能=(-1,1,|),

设平面AE"的法向量为/[=(■y,z),

y+；z=0,

〃AE=0,

由J_得

7IAF=0,—x+y+；z=0.

令y=l,z=—3,x=—1,则〃=(一1,1,—3),

取平面ABC的法向量为朋=(0,0,-1),

设平面AEr与平面ABC所成的锐二面角为仇

则cos9=|cos<n,in)|=tan。=坐

11.(2018・皖江八校联考)如图，在几何体ABC—AiSG中，平面AiACG_L底面A8C,四边

形/MCG是正方形，B\C\〃BC,。是A山的中点，且AC=8C=28Q,ZACB=y.

(1)证明:BiQLAiC；

⑵求直线AC与平面AM所成角的正弦值.

⑴证明如图所示，连接AG与AC交于M点，连接MQ.

•・•四边形4ACG是正方形,

是AG的中点,

又。是A山的中点,

：,MQ〃BC,MQ=；BC,

又：81G〃BC且BC=2«（Ci,

・•.四边形81GMQ是平行四边形，・・・SQ〃GM,

VCiA/±4iC：.B\QA-A\C.

⑵解•・•平面4ACGJ_平面ABC,平面AACGn平面ABC=AC,CCxlAC,CGu平面

A\ACC\,

••・CG_L平面ABC.

如图所示，以C为原点，CB,CG所在直线分别为），轴和z轴建立空间直角坐标系，

令4c=8C=28iG=2,

则C（0,0,0）,A（小，-1,0）,人i（小，-I,2）,4（0,2,0）,9（0,1,2）,

，3=（5，-I,0）,疝尸（小，一2,0）,

布=（0,I,-2）,

设平面4BB1的法向量为〃=（x,y,z）,

则由〃〃_L瓦力，

可得，可令y=2小，

ly-2z=0,

则x=4,z=小，

・•・平面4BS的一个法向量〃=（4,2小，小）,

设直线AC与平面所成的角为小

…|〃•前2小通

贝ijsinan^―ZT=7/T7=71•

\n\-\CA\25131

12.（2019・赣州模拟）如图，在四棱锥P-4BCO中，侧面以Q_L底面ABCQ,底面ABCO为

直角梯形，其中A8〃C。，ZCDA=90°,CD=2AB=2,AD=3,%=小，PD=25点E

在棱AQ上且AE=1,点”为棱。。的中点.

(I)证明：平面BE/J■平面PEC；

(2)求二面角A-BF-C的余弦值.

⑴证明在中，

由A4=A£=1,得NAEB=45°,

同理在RtZSCOE中，由C/)=OE=2,得NOEC=45。，

所以N8EC=90。，即8E_LEC.

在△心。中，

PA^AD-PD15+9-8近

C"以。=—2P^AD-=2义3义下=5'

在△心£中，PE1=PA2-\-AE2-2PAAECOSZPAE=5~\-1-2X小X1X坐=4,

所以。序+4£；2=附2,即P£_LAD

又平面以。_L平面人8CD平面外。G平面A8CO=A。，PEU平面以。，

所以P瓦L平面ABCZ),所以尸ELBE.

又因为C£nPE=£,CE,PEU平面P£C,

所以/3E_L平面PEC,所以平面8EEL平面PEC.

(2)解由(1)知EB,EC,EP两两垂直，故以正为坐标原点，以射线E&EC,石尸分别为x

轴、)，轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

仇小，0,0),CO2®0),尸(0,0,2),A俘，一堂，0),例一正，小，0),《一坐，喙,]

而=(察零0)，济=(一乎,乎,1)，

就：=(一"2碑，0),

设平面ABF的法向量为机=(总，M，zi),

不妨设处=1,则加=（1,一1,2陋），

设平面BFC的法向量为〃=（X2，＞,2，Z2）,

{n-BC=一立已+2班9=o,

"j〃•际=一平工2+察,2+Z2=O,

不妨设》=2,则〃=（4,2,5班），

记二面角A—BF—C为。（由图知应为钝角）,

|4-2+20|_11<7

贝|Jcos0=-VioVTo—一35

故二面角八一8尸一。的余弦值为一喀

JJ

3技能提升练

13.如图，在四棱锥S-ABC。中，SA_L平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZBAD

SFCF

90。，且A8=4,SA=3£,“分别为线段8C,S8上的一点（端点除外），满足诉=京=人

当实数2的值为时，NAFE为直角.

答案.9

解析因为SA_L平面/WCO,Z/M/9=90°,

以人为坐标原点，AD,ABtAS所在直线分别为x轴、｝，轴、z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系Axyz.

VAB=4,SA=3,

，8(0,4,0),5(0,0,3).

设BC=m,则C(m,4,0),

♦:*•SF=XFB.

：.AF-AS=/.(AB-AF).

—*1-*-*1

，A/=T^T(AS+M8)=H(0,4X,3),

1"i"A1i"X

••・心备南.

同理可得a岸；，％0),

•・•加=(o,造，诒)，要使N4FE为直角,

即现在=0,

小,m,一444,一3一3

川°T+I+1+2l+z+I+2'1+2=0J

9

A16；.=9,解得几=而.

14.(2018•海南五校模拟)如图,已知直三棱柱A3C-4B]C]中,AAi=AB=AC=\fAB1AC,

M，N,Q分别是CG，BC,AC的中点，点夕在直线4田上运动，且山丘£[0,1]).

(1)证明：无论2取何值，总有其例3_平面。网2；

(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面4AC的夹角为60。？若存在，试确定点P的位置,

若不存在，请说明理由.

⑴证明连接4Q.

VA4i=AC=l,M,Q分别是CG,AC的中点,

・・.RtZVUiQ0RtZ\CAM,

：.ZMAC=ZQAiA,

：.ZMAC4-ZAQAi=ZQAiA-^-ZAQAi=90°,

・・・AM_LA。

•：N,。分别是BC,AC的中点，・・・NQ〃A8.

ABLAC,：.NQ±AC.

在直三棱柱ABC—AIBIG中，A4_L底面ABC,

：.NQ±AA\.

又ACn/Ui=A,AC,