集合（讲）-2025年高考数学一轮复习（新高考）原卷版

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)

第01讲集合(精讲)

考点归纳

①集合的含义及其表

示

②集合间的基本关系

③集合的交并补运算

④加m图的应用

⑤集合新定义问题

一、必备知识整合

一、集合的有关概念

1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

3.元素与集合的两种关系：属于，记为£;不属于，记为W.

4.五个特定的集合及其关系图：N'或N+表示正整数集，N表示非负整数集(或自然广,

数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

二、集合间的基本关系

(I)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素，都是集合8中的元素，就称集合A

为集合B的子集.记作AG8(或心A).

(2)真子集：如果集合4G&但存在元素且就称集合4是集合B的真子集，记作A臬注

(3)用等：若AG8,且BGA,则A=8.

(4)空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号表示AUBAC\B若全集为U,则集合

A的补集为CM

图形表示JO

AU/J

集合表示{x|xGA,或工£用{巾£4,且{巾£U,且xCA)

常用结论

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空真子

集有2"-2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

(3)Aq8。4r=A=8=8。QBqQA.

二、考点分类精讲

【迓型一集合的含义及其表示】

解决与集合中的元素有关问题的一般思路

看元素构成一；确定集合是数集还是点集；

他兼戴藤居隘莞集苍m葩完篆最消

明限制条件

;参数的值：

检元素特性IT汪叁窠谷,元素的克弃桂...........：

【典例1](单选题)若集合A={xcZ|〃?<x<4}中有5个元素，则实数〃?的取值范围为()

A.r-kO)B.(-1,0]C.(-1,0)D.[-2,-1)

【典例2】(单选题)已知集合S={)，|y=/-1},7={0,刈工+)，=0},下列关系正确的是()

A.-2eSB.(2,—2)任7C.一1史SD.(-1,1)GT

【典例3】(单选题)已知集合4={1,/+4凡〃-2},—3wA,则”()

A.-1B.-3C.-3或-1D.3

题型训练

一、单选题

1.（23-24高三下.江西抚州.阶段练习）若集合4={123}l={x+yU£A），£A},则8中的元素个数为（）

A.4B.5D.7

2.（23-24高三下.四川雅安•阶段练习）若集合A={-2,4,8},5=A,），wA},则B中元素的最小值

为（）

A.-16B.-8C.-2D.32

3.（2024•全国•模拟预测）已知集合4=b仃=34+1/wZ},则下列表示正确的是（）.

A.—2aAB.2023名人

C.3^+1任AD.-35/A

4.（2024.陕西榆林•二模）若集合A={（x,y）l），=x}]={（x,），）|y=V},则（）

A.leAB.Ac8={（l,l）}C.（-2,4）D.ADA=R

1

5.（2023•新疆•一模）已知集合A=1sinailkwN,且0Wk44卜则集合A的元素个数为（）

A.3B.2C.4D.5

二、填空题

6.（2024高一上•全国•专题练习）已知集合4={。-2,〃2+4.10},且一3eA,则。=.

7.（23-24高三上.北京海淀•阶段练习）已知集合4=3工＞。（。-1）},OeA,则。的取值范围是

【迓型二集合间的基本关系】

判断集合关系的三种方法

A.M=NB.MqNC.McN=0D.M垃N

二、填空题

6.（2024高三・全国•专题练习）满足{1}A±{123}的集合A的个数是.

7.（2024・广西•二模）已知集合A=k〃+2』,4},B=若BgA,则实数〃?=.

8.（23-24高三下•上海.阶段练习）设。>0,若关于工的不等式八二-⑪<0的解集是区间（0」）的真子集，则。

的取值范围是.

9.（2024・山东济宁•一模）设集合A={X|_?_X_6V0},B^{x\-a<x<a},若AgB,则实数。的取值范

围是.

【款型三集合的交并补运算】

集合运算三步骤

确定确定集合中的元素及其满足的条件，如函数

元素「I的定义域、值域，一元二次不等式的解集等

化简根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素

集合|一：满足的最简条件.将集合清晰地表示出来

司」莉席爰篥最彝集而定文兼辟,其萋后牙应用

求解尸数轴或Venn图来直观解决

【典例1】(单选题)己知集合4={123},5={x|(x+3)(x-2)<0},则()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.0

【典例2】(单选题)设集合A={0，l,2},B=[y\y=2\xGA\,则4=4=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,4}D.{0,1,2,4}

【典例3】（单选题）已知集合〃={（U2,3,4,5},A=JxwN—eN/则64二（）

、*

A.{013,5}B.{1,3,5}C.{0,2,4,5}D.{2,4,5}

■题型词练■

一、单选题

I.（2024高三下・北京・专题练习）已知集合A={x[l<xv3},B={x\0<x<2],则Au8=（）

A.{x|l<x<2}B.%{x|l<xv3}

C.{x[0<xv2}D.{x|0<x<3}

2.（23-24高三下•云南•阶段练习）设集合A={即Mx<3},B={0,1,2,3,4},则£A）C8=（）

A.{0,1,3,4}B.{0,3,4）C.{0,4}D.{0,1,4）

3.（2024・陕西西安•模拟预测）设全集U=R,集合A={xwN|f-2公3K（）},B=3|2X—U<3},则A08=

A.{1}B.{A1-I<X<2}C.{0,1}D.{0,1,2）

4.（2024・四川成都•模拟预测）已知集合-4x>0},N=32<x<8},则（）

A.（-OO,0）U（2,-H»）B.（0,+o>）C.（4.8）D.（2,4）

5.（2024・四川德阳•二模）已知集合4=卜|丁-x-2N0},B={x|y=lnx},则（QjA）cB=（）

A.{邓）<x<l}B.1.v|0<x<2}

C.{x\-\<x<2]D.{x\x>2]

6.（2024•全国•模拟预测）已知集合A={1,16,8。},8={1,/},则满足的实数。的个数为）

A.IB.2C.3D.4

7.（2024・全国•模拟预测）已知集合M={x|2x-3>0},N=Wy=eX+l},则（）

8.（2024・全国•模拟预测）若集合月=卜€2,+.-240},八,忙>1},则AB=（）

A.{1}B.{0,1}C.（0,1]D.[-2,1]

9.（2024.辽宁・三模）已知集合4二次|ln（x-2）W0},8={y|y=2K-l,x"},则AuB=（）

A.（2,3]B.（2,7]C.（-1,7]D.（f+s）

10.（2024•广东佛山•二模）已知集合人二卜尸一工之。},4=卜,<力，且4l〃=R,则实数a的取值范围

是（）

A.«>0B.«>0C.a>\D.a>\

11.（2024.全国.模拟预测）已知集合人={（乂），）卜=土集合人{伍），）/+（）,_1）2=；,,则AcB的子集

个数为（）

A.8B.3C.2D.I

二、多选题

12.(2024.河南新乡•二模)已知集合”={%|%<3},唾={刈炉一3“20},则()

A.McN=0B.用uN=RC.a“=ND.«(M-N)=(0,+co)

13.(2023•山东潍坊・一模)若非空集合M,N,P满足：MCN=N,MDP=乙则()

A.PQMB.MlP=M

C.NuP=PD.McbpN=0

三、填空题

14.（2024・全国•模拟预测〉已知集合"={-2,-1,0.1},N={x\a-3<x<\}t若McN中有2个元素，则实数

〃的取值范围是.

15.（2024.辽宁.二模）已知集合人={-1,0,1,2,3},区=卜卜一心加j,若人一夕=".则，〃的取值范围是.

16.（2024.吉林白山.二模）已知集合4=任口—/U0},8={x|y=lg（2x-3）},若Ac8=0,则实数％的取

值范围为.

【题型四口6〃〃图的应用】

【典例1】（单选题）如图，已知集合A={x|log/<l},4={xU<l},则阴影部分表示的集合为（）

A.(1,2)B.[1,2)C.(OJ]D.(0,1)

■题型训练■

一、单选题

I.（2024高三.全国・专题练习）已知全集〃={小>0},集合4={巾。<8},B={x|x-1>5）,则图中阴

影部分表示的集合为（）

A.{x|3<x<6}B.{邓vi<6}C.1x|6<A<8}D.1X|6<X<8)

2.（2023・广东•模拟预测）已知全集。=口，集合A={x|x24或XK0},8=3人>4或x?2},则图中阴影

部分表示的集合为（）

A.（-2,0]B.[-2,0]

C.[-2,0]LJ{4}D.（-2,0]^{4}

3.（2024.广西柳州•三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学

生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.70%B.60%C.50%D.40%

4.（2024.山东烟台.一模）已知集合〃=孔集合A={X|X2+2X_3V0},8={X0W2},则图中阴影部分表

示的集合为（）

A.(-3,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,3)

5.（23-24高三上•山东聊城•期末）已知全集。=乩集合A={xk（x—3）＞0},B={^|log2（x-1）＜2},则图

中阴影部分所表示的集合为（）

C.{x|l<x<3}D.{x|l<x<3}

6.（2023・湖南邵阳•模拟预测）如图，集合A4均为U的子集，表示的区域为（）

7.（23-24高三上•湖北•期末）某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学

至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%,选择另一项活动的人数

占50%到55%,则下列说法正确的是（）

A.同时选择两项参加的人数可能有100人

B.同时选择两项参加的人数可能有180人

C.同时选择两项参加的人数可能有260人

D.同时选择两项参加的人数可能有320人

8.（2023高三・全国・专题练习）“匹书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书''指《大

学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读

过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大

学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位.则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学

生人数与该校学生总数比值的估计值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【邈型五集合新定义问题】

触类旁通解决与集合的新定义有关问题的一般思路

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用

到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处

用好集合的运算与性质.

【典例1】对于正整数集合力=…,q}(〃WN：〃N3),如果任意去掉其中一个元素q(i=L2,,〃)之

后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就

称集合A为“可分集合”；

⑴判断集合{2,46,8,10}和{3,5,7,9,11,13,15}是否是“可分集合”(不必写过程)；

(2)求讦：四个元素的集合A={4，/q.a4}一定不是“可分集合”：

⑶若集合4={69，-叫}(〃61<〃23)是“可分集合”，证明：〃为奇数.

■题型词练■

一、单选题

1.(2024・陕西咸阳・模拟预测)如图所示的Venn图中，A、3是非空集合，定义集合AN8为阳影部分表示

的集合.若4=卜€2卜2-3X-4<。},^={A-eZ||x|<2},则A③8=()

AB

A.{-1,0,3}B.{-2,—1,2}

C.{-2,—1,2,3}D.{-2,-1,3}

2.（23-24高三下•湖南长沙•开学考试）若集合“满足：仞蛊，若awM,则-acM,则称集合“是一

个"偶集合''.已知集合A={x|xv-1},^={x|x<l）,那么下列集合中为“偶集合”的是（）

A.AcBB.A<JBC.AD.@4）仆8

3.（23-24高三下・甘肃•阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的

非空子集44,认（提NF"）,且满足AU&ULU&=U,那么称子集组A，4,,,从构成集合u的

一个人划分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

4.（2024・上海静安•二模）如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构

成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的有8eG；

（2）结合律，即对于任意的a〃,ceG,有（a*8）*c=a*（b*c）；

（3）对于任意的〃力wG,方程“与〃*y=〃在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于

任意的八Z,方程与〃+），=〃都有整数解.；而实数集R关于实数的乘法（x）不构成群，因为方

程0x），=l没有实数解.

以下关于“群”的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积L）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.。个；B.1个；C.2个；D.3个.

5.（23-24高一上•上海•期末）已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若awS,则当且仅当。=，〃+〃

（其中正整数〃?、〃wS且，"〃）或。=〃+q（其中正整数〃、42s且"“）.现有如下两个命题：①5wS：

②集合Wx=3〃,〃wN"}=S.则下列判断正确的是（）

A.①对②对B.①对②f告C.①错②对D.①错②错

二、解答题

6.(23-24高三下•北京•阶段练习)设上是正整数，4是