湖南省长沙市某中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试卷（含解析）

A.15xl09B.1.5xl09C.1.5xlO10D.0.15X1011

3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（)

1

A.y/sB.C.D.I

4.下列计算正确的是（)

A.2b+30=5近B.372x375=3710

C.5A/2-V2=5D.瓜+=2

5.已知VABC的三条边分别是mb,c,下列条件不能判断VABC是直角三角形的是（）

A.NA:NB:NC=3:4:5B.ZA+ZB=ZC

C.a=3,b=4,c=5D.a12=c2-b2

6.下列函数中，y是关于x的一次函数的是（)

126

A.y=——x+5xB.y=——

2X

C.y=3x+5D.y=+1

7.如图，为测量池塘边上两点A,8之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点。，测得0A03的中点分

别是点D,E,且DE=15m,那么A,2两点间的距离是（）

o

C.30mD.28m

8.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,即相交于点O,过点。的直线分别交AD,边于点E,F,若

AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.y/3B.2C.2x/3D.4

9.春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约500km的铜仁旅游，出发前将油箱加满油.如表记录了轿车行

驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据:

轿车行驶的路程x/km0100200300400

油箱剩余油量y/L5042342618

下列说法不正确的是（）

A.该车的油箱容量为50L

B.该车每行驶100km耗油8L

C.当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油8L

D.油箱剩余油量y（L）与行驶的路程x（km）之间的关系式为y=50-0.08x

10.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在

《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅鼓成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在图

②的基础上，运用“出入相补”原理完成的.如图，在VABC中，ZACB=9Q°,四边形ABDE,ACFG,BCHI

均为正方形，印与AE相交于点J,可以证明点。在直线印上.若AAHJ,△£>£/的面积分别为2和6,

则直角边4c的长为（）

图①

A.2D.几

二、填空题

11.函数y=的自变量x的取值范围是

12.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD是斜边A3上的中线，若NA=23。，则NOCB的大小为

13.在平面直角坐标系中，点4（3,4）到原点的距离为.

14.已知点4（占,%）,3（孙力）在直线〉=-3尤上，且为＞%，则为%.（填或“=”）

15.已知，菱形ABC。的面积为40,一条对角线长为10,则另一条对角线长为.

16.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AB=4cm,AD=12cm,BC=13cm,点P从点A出

发，以lo〃/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以3s/s的速度向点8运动.规定其中一个动点

到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当尸Q=。时，贝口的值为.

三、解答题

-2

17.计算：V9+(-l)2025一卜一码+

,c,,A*-HJX，士「2a八—4a+4廿ql

18.先化间，再求值一--1--------，其中a=2+夜.

1a+2)a+2

19.在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式,

聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为30。(即NACB=30。)，接着往前走10米到达点D,观察旗杆顶端的仰

角为60。(即ZADB=60。).

(1)请你帮助聪聪判断AACD的形状，并说明理由；

(2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度A3.(人的身高忽略不计，结果保留根号)

20.在平行四边形ABCD中，连接4C,过点B作的，AC于点E,过点。作。尸工AC于点孔连接

⑴求证：四边形BED尸为平行四边形；

(2)若AC=3C,NACB=40。，求NCDP的度数.

21.已知直线4：y=2x和直线4：y=-x+6的图象如图所示,

⑵己知直线4和直线4相交于点C,求△AOC的面积.

22.某中学为落实长沙市教育办公厅《关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮

球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3

个篮球和5个足球需要810元.根据以上信息解答：

(1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？

(2)若学校计划采购篮球、足球共30个，并要求购买篮球不少于19个，又不超过足球个数的2倍，怎样购

买才能使总费用最少？并求出最少费用.

23.如图，nABCD的对角线AC,8。相交于点O,VAO3是等边三角形，AB=4.

⑴求证：四边形A8CD是矩形；

⑵求四边形ABCD的面积；

(3)若庞〃47,CE//BD,连接BE,求线段8E的长.

24.在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解

析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”,

而“函，，同”含，，，是包含之意.于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”.如《代数学》第七卷中有

“凡式中含天，为天之函数”(在古代以天、地、人、物四元表示未知数).在初中阶段的函数学习中，我们

历经“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题”的学习过程.现在我们定义:

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.例如：

1)

+1)

⑴若函数y=|区-3|+b过点(2,T)和(0,-1),求左和。的值；

(2)已知函数y=|x-4(。为常数)，当-1W尤W3时，y有最小值5,求。的值；

⑶已知关于x的方程〃式+3=|x-l|-2|x+3|+|x-5|(/"0)有三个解，求机的取值范围.

25.在平面直角坐标系中，四边形。4BC是正方形，A(a,0),C(0,c),其中a,c满足/k+c?-12c+36=0.

(1)直接写出点8的坐标;

(2)如图1,在线段0C上有一动点E(点E不与。、C重合)，连接BE,在班下方以E为直角顶点作等腰

直角若点/恰好落在直线y=-2x+4上，求点尸的坐标；

(3)如图2,点D是03上的一点，加，。4于点凡E是8。的中点，连接CE,CF,EF,线段C尸交03于

上..OM-+BE2A科

点M,求-----；—的111值.

《湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷》参考答案

1.D

解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形，

故选：D.

2.C

数科学记数法表示为1.5x101。.

故选C.

3.C

•:号2近,，口=也,

忘2V22

，最简二次根式的是垃

故选C.

4.D

解：A、与30不是同类二次根式，不能合并，错误，故不符合题意;

B、3后3#>=9屈,错误，故不符合题意；

C、50-71=40,错误，故不符合题意；

D、亚+6=2,正确，故符合题意；

故选D.

5.A

解：A选项：•.•ZA:ZB:ZC=3:4:5,

设ZA=3x,则N3=4x,ZC=5x,

,3%+4%+5%=180°,

解得：x=15。，

.•.最大角：NC=5x=75。，

.•.△ABC不是直角三角形，

故A选项符合题意；

B选项：•.■ZA+ZB+ZC=18O°,且ZA+N3=NC

\2?C180?,

.-.zc=90°,

.1△ABC是直角三角形，

故B选项不符合题意；

C选项：Va=3,b=4,c=5

32+42=25=52,

a2+b2=c2

.•.△ABC是直角三角形，

故C选项不符合题意；

D选项：•..3=02一从,

C2=/

.'.AABC是直角三角形，

故D选项不符合题意.

故选：A.

6.C

解：A.y=-g/+5x不符合一次函数的一般形式，是二次函数，故该选项不符合题意;

B.y=-9不符合一次函数的一般形式，是反比例函数，故该选项不符合题意；

X

C.y=3x+5符合一次函数的一般形式，是一次函数，故该选项符合题意；

D.y=自变量次数不为1,不是一次函数，故该选项不符合题意；

故选：C.

7.C

解：：OA,03的中点分别是点D,E,

：.AB=2DE=30m.

故选：C.

8.B

解：：四边形ABC。是矩形，

AOA=OC,AD//BC,AC=BD,OB=OD,440=90。，

・・2LAEO—/CF。,^/\AOD~S4AOB-S/XCOB~S/\COD，

在Z\A0E和△CO尸中,

ZAEO=ZCFO

<ZAOE=ZCOF

OA=OC

：.AAOE^ACOF(AAS),

,•OAAO£一°ACOF，

,•S阴影=S«AOE+S«EOD=Syc®=S矩形ABC。=ZABxAD=2,

故选：B.

9.C

解：由表格可得，该车的油箱容量为50L,故A正确，不符合题意；

由表格可得，该车每行驶100km耗油8L,故B正确，不符合题意；

50-1^X8=10L,故当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油10L,故C错误，符合题意；

油箱剩余油量y(L)与行驶的路程x(km)之间的关系式为y=50-志x8=50-0.08x,故D正确，不符合题

忌；

故选：C.

10.A

解：：四边形ABDE,BCHI为正方形，

:.AB=BD,BC=BI,1ACB1DIB90?,

RtAABC^Rt^DBl(HL),

…•0Q△ABC—=oQGBI，

设AC=a,BC=b,AB=c,

由勾股定理得，/+/=/,

++

S正方形A"G+S&ABC+S&AHJ+S四边形ABIDADEJS四边形人期，

••S正方形ACFG+S&AHJ=S&DEJ，

S正方形AbG=^^DEJ~=6-2=4

即〃=4,

:・Q=2,

即AC=2,

故选：A.

11.x<2

解：万工在实数范围内有意义，

则2—xNO；解得xW2

故答案为无V2

12.67°

解：VZACB=9Q°,ZA=23°,

ZB=90°-ZA=67°,

VC£)是斜边A3上的中线，

:.BD=CD,

ZDCB=ZB=6T,

故答案为：67°.

13.5

解：依题意，点4(3,4)到原点的距离为反不=5.

故答案为：5.

14.<

解：=-3<0,

・•・一次函数y=-3x的y随着尤的增大逐渐减小，

故答案为：<

15.8

解：...菱形ABCD的面积为40,一条对角线长为10,

另一条对角线的长为40x2+10=8,

故答案为：8.

16.3或3.5

解：依题意得：AP=t,

PD=AD-AP=12-t,

CQ=3t,

BQ=BC-CQ=13-3t,

若PQ=CD,分为两种情况：

①当四边形尸QC。为平行四边形时，

即尸£>=C。，

12—?=3?,

解得：t=3,

②当四边形PQCD为等腰梯形时，

即CQ=PO+2（3C-AD）,

3r=12-r+2（13-12）,

解得：t=3.5,

综上：当t=3s或t=3.5s时，PQ-CD.

故答案为3或3.5.

17.7-72

解：A/9+(-1)*2°25-|1-V2|+

=3-1-72+1+4

=7-A/2.

瓜/f

2a]]/—4。+4

解:

〃+2J〃+2

2a-ci-2(a-2)

Q+26Z+2

。一2。+2

-------x----------

。+2(〃-2)2

1

。一2

当”=2+0时，原式=——=

2+0-22

19.(1)等腰三角形；理由见解析

(2)5代米

(1)解：VZACB=30°,ZADB=60°,

：.ACAD=ZADB-ZACB=60°-30°=30°,

.・・ZCAD=ZACB,

：.CD=AD,

・・・△ACO是等腰三角形.

(2)由(1)可知CD=AT)=10,ZADB=60°,ZABC=90°f

：.NZMB=30。，

DB=-AD=5,

2

在RtAADb中，AB=y/AD1-DB2=5^3^-

(2)20°

(1)证明：・・•四边形A3CD是平行四边形,

:.AB〃CD,AB=CD,

：.ZBAE=ZDCF,

・.・BE±AC,DF±ACf

：・BE〃DF,ZAEB=ZCFD=90°,

在和VCDb中，

ZAEB=ZCFD

<ZBAE=/DCF,

AB=CD

・・・△ABE物△CD尸(AAS),

：・BE=DF,

・・・四边形BE/m是平行四边形；

(2)解：VAC=BC,ZACB=40°,

ii

・•・/CAB=ZCBA=-(180°-ZACB)=-(180°-40°)=70°,

•.・ZAEB=90°,

：.ZABE=90°-ZCAB=90°-70°=20°,

由(1)可知，△AB石丝△CD产，

ZCDF=ZABE=20°.

21.(l)A(6,0),5(0,6)

⑵12

⑴解：:l2:y=-x+6

・••当)=0时，0=-x+6,

解得x=6,

・・・A(6,0),

当x=0时，y=6,

・・・8(0,6).

（2）解：依题意，｛；=2x

=—x+6'

C(2,4),

S%c=goA%=；x6x4=12.

22.(1)1207C；90ye

⑵篮球19个，足球11个；3270元

（1）解：设购买1个篮球需要尤元，购买1个足球需要y元.

j2x+3y=510

卜+5>=810

|x=120

解得：on

[y=90

答：购买1个篮球需要120元，购买1个足球需要90元.

（2）方法一：设购买篮球/"个，则购买足球（30-m）个，总费用为w元.

m>19,

m<2（30-m）,

解得：19V7WW20

:他为整数，所以加=19,20.

当相=19时，费用^=120x19+90*（30-19）=3270元，

当机=20时，费用w=120x20+90x（30-20）=3300元，

,/3270<3300,

当m=19时，30—m=11；

答：购买篮球19个，足球H个时，总费用最少，最少费用是3270元.

方法二：设购买篮球机个，则购买足球（30-m）个，总费用为w元.

m>X9,

m<2（30-/77）,

解得：19<m<20

为整数，所以帆=19,20.

w-120m+90（30-=30m+2700,

30>0,

随,"的增大而增大.

当〃z=19时，w有最小值，

此时30—根=11,%”=30x19+2700=3270（元），

答：购买篮球19个，足球11个时，总费用最少，最少费用是3270元.

23.⑴证明见解析

⑵16百

(3)477

(1)证明：•.•△AOB是等边三角形，AB=4,

：.OA=OB=4,

四边形43co是平行四边形，

：.OA=OC=4,OB=OD=4,

AC=BD=8,

，平行四边形A8CD是矩形.

(2)解：：四边形ABCD是矩形.

.\ZBAD=90°.

在RtZXABD中，

AD=^Blf-AB1=782-42=473,

・•・S=4x46=16g.

(3)解：作的延长线于点从

CE//BD,

・・・四边形DECO是平行四边形.

.•.CE=OD=4,

•/ZABO=60°,

.-.ZDBC=90°-60°=30°,ZECH=ZDBC=30°,

1/---------厂

・・EH=—EC=2,CH=^42—22=2上，

BH=6A/3,

BE

3

24.(I)%、；〃=T

(2)—6或8

(3)—3<m<0

（1）解：将坐标（2,-4）和（0,—1）代入函数丁=同一3|+6中，

.[\2k-3\+b=-4

"[|0-）t-3|+/?=-l，

\=1

解得：＜2,

b=-4

⑵解：：y=|x-a|='）当-!VxW3时，y有最小值为5,

—x+Q（xva）

・•.①当av—l时，由图象可知％=-1时，y有最小值为5,

••—1—CL=5,

解得：a=-6

②当-时，由图象可知％=〃时，y有最小值为0,不符合题意;

③当，＞3时，由图象可知尤=3时，y有最小值为5,

解得：。=8

综上：Q=-6或8

(3)解：设％=mr+3,y2=|x-l|-2|x+3|+|x-5|

12(x<-3)

-4x(-3<x<l)

依题可知：

-2x-2(l<x<5))

」2g5)

如图所示，将％=〃吠+3,y2Tx-1-2,+3|+归-目的图象表示在同一坐标系中,

直线M=〃zx+3恒过定点(0,3),

当直线％=如+3过点(-3,12)时，此时恰有2个交点,

此时12=—3〃?+3,

得：m=—3,

・••加的取值范围为—3〈根vO.

25.(1)(6,6)

(2)(4,-4)

(3)1

(1)解:,,,y/a—6+c2-12c+36=0,

Ja—6+(c-6)=0，

一.a—6=0,c—6=0,

..Q=6,c—6,

点B的横坐标与点A的横坐标相同，点B的纵坐标与点C的纵坐标相同,

，点B的坐标为3(6,6)；

(2)如图，作轴于

•・•四边形Q4BC是正方形，Z\B£F是等腰直角三角形,

ABE=EF,NBEF=90。,ZBCE=90°.

・.•ZCBE+ZBEC=90°,ZBEC+ZFEH=90°,

ZCBE=ZFEH.

在ABCE■和AEHF中,

ZCBE=ZFEH,

<ZBCE=/EHF,

BE=EF,

：.ABCE均EHF(AAS),

・・・FH=CE,BC=EH,

：.OC=EH,

：.OC-OE=EH-OEi

^CE=OH,

：.FH=OH.

设FH=OH=a,

则尸(a,—a),

・・,点/在直线y=—2x+4上,

・・-2a+4=­a,

••a=4,

(3)法一：延长FE、AB交于点H.

:.DF//AH,

:.ZDFE=ZEHB,

IE是班)中点,

：・BE=DE.

在△石DF和中