幂函数（含答案）-2025年新高一数学暑假专项提升 （人教A版）

【02-暑假预习】第14讲塞函数(含答案版)-2025年新高

一数学暑假衔接讲练(人教A版)第14讲幕函数

期内容导航一预习三步曲

第一步：学

教材精讲精析、全方位预习

练习题讲例教材习题学解题、快速掌握解题方法

5大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

8析教材学知识

》知识点1幕函数的定义

一般地，形如y=x°(aGR)的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数.

当知识点25个常见幕函数的图象与性质

23_—1

函数y=xy=xy=xy二户y=x

定义域RRR{x|x20}{xxWO}

值域R{yy三0}R{yy20}{y|yWO}

非奇非偶

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

函数

在(一8,0)

在(一8,0)

在R上单调递上单调递减，在R上单调递在(0,+°0)

单调性和(0,+°°)

增在(0,+°°)增上单调递增

上单调递减

上单调递增

图象

vOi234J

-1

~2

%-3

过定点（0,0）,（1,1）(1,1)

⑤知识点3一般塞函数的性质

1、所有的幕函数在（0,+00）上都有定义，并且图象都过点（1,1）;

2、如果a>0,那么幕函数的图象过原点，并且在区间［0,+8）上单调递增；

3、如果a<0,那么幕函数的图象在区间（0,+8）上单调递减，在第一象限内，当x从左边趋向于原点

时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于+8时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在（1,+8）上，随塞指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴。

8练习题讲典例

解题方法

由题意可知，两个幕函数y=x与的图象如图，

X

忆一

V\0方

教材习题01

函数y=可以看作两个幕函数

V-p定义域为（T,0）U（。,”），

y=x与>=工的差，请通过函数图对于函数丁二

象讨论这个函数的函数值符号的变当%时，^=^--<0,当x=_］时，

化情况和单调性.当九£（—1,0）时，y=%_工>0,

y=x~—=0,

X

%£（-8,0）时,函数y='是增函数；

X

当％£（0,1）时,y=x--<0当元=1时，

X9

y=x~—=0,当无£（1,+8）时，y=x-->0,

XX

%£（0,+OQ）时,函数y二冗-4是增函数；

【答案】见解析

解题方法

y=4x［尤_0

解：如图所示，令X，解得「一门或

y=—［y=o

I4

(x—16

jy=4'

即两个函数的图象交点为(0,0),(16,4),

开始y=4一路领先，但越来越慢；y=?匀速前

进；在x=16处两者相等.

教材习题02

当x>16时，可得X>4A/7,即一直有而且

_X

比较>=«和,-工在［°，内)上增长的快慢.

前者与后者之比正越来越大，

4

所以y=9增长得更快.

4

【答案】见解析

解题方法

设幕函数“司=》、

由已知条件得

教材习题0314

f（8）=8a=16=8x2=8x85=8〉

设/(X)是幕函数,已知〃8)=16*求”9),

44

故，

“64).a=§=3

4

于是〃9）=9”

4

/（64）=643=256-

4,、

【答案】"9）=93，"64）=256

考点一判断函数是否是塞函数

1.下列函数中，属于累函数的是（）

A.y=(2x)2B.y-y/xC.y=--D.y=2x

X

2.下列函数是幕函数且是奇函数的是(

A.y=2xB.)=尤2

i

jCy=x~3D.y=x0

（多选题）3.下列关于募函数＞=犬的性质，描述正确的有（）

A.当〃=-1时，函数在其定义域上为减函数B.当。=0时，函数y=/不是哥函数

C.当1=2时，函数是偶函数D.当，=3时，函数与龙轴有且只有一个交点

（多选题）4.已知函数/（x）=岳，命题P：3xeN,〃x）=x,则镇牛的有（）

A.“X）为幕函数B./（2，）=2的

C.P是真命题D.。的否定是VxeN,=x

考点二求暴函数的定义域、值域和对应法则

（多选题）1.下列关于幕函数y=x"的性质，描述正确的有（）

A.当a=-l时，函数在其定义域上为减函数B.当a=0时，函数y=x"不是募函数

C.当。=2时，函数是偶函数D.当。=3时，函数与x轴有且只有一个交点

（多选题）2,已知函数〃x）=V^,命题P：HxeN,f[x）=x,则皆毛的有（）

A.“X）为幕函数B.f（Y）=r+'

C.P是真命题D."的否定是VxeN,/（x）=x

3.已知幕函数y=/（x）的图像经过点

（1）求此幕函数的表达式和定义域；

（2）若〃a+l）Wf（4—2a）,求实数。的取值范围.

4.已知幕函数〃尤）=（3疗—2帆产的定义域不为R.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵若不等式/（。+1）+/（2。-3）＜0恒成立，求a的取值范围.

5.已知函数/（尤）=廿一2,且了（4）—15/（2）=16.

⑴求的解析式;

⑵求函数g（x）=/（2x）-4炉+3在［-1,2］上的值域.

考点三寨函数图象的判断及应用

1.已知幕函数〃尤）=（/的图象与坐标轴无公共点，则，”=（）

A.-2B.1C.—2或1D.—1或2

2.如图所示的曲线是基函数＞=尤”在第一象限的图象，已知w取±2,土;四个值，则相对应的曲线

3.函数了=|尤］；的图象大致为（）

4.累函数y=一及直线y=l,x=l将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②,

⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）.那么幕函数丫=%的图象经过的“卦限”是（）

A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤

5.若直线>=《0<t<l)与幕函数〉=尤3,,=«,2=：的图象依次交于不同的三点4,民(7,则下列说法正

确的是()

A.\AB\=--^/tB.忸C|=舫

C.\AC\=--t-D.以上说法都不正确

考点四基函数的单调性

1.下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)单调递增的是()

A.丁=尤3B.y=|x|+l

C.y=—元2+1D.>=2*

2.下列函数既是偶函数，又在(-j0)上单调递减的函数是()

A89

A.y=x4B.y=—C.y=-2x2+1D.y=7x

x

3.已知/(尤)=(尤一4,g(x)=I,〃⑺=|北；弁

若/2(X)N1恒成立，则。的取值范围是

()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[L+8)D.,

4.已知函数=若对于任意转1,/(|x-a|)>/f-l则实数a的取值范围是()

III,>Vy5IXJ

A.(-00,1)B.(-l,+oo)C.D.

i

5.函数〃x)=(尤2_2x-3)5的单调递减区间为()

A.(-°o,—1]B.(0,1]C.[l,+8)D.[3,+00)

6.6知函数=则()

A./(x)的最大值为挺B.f(x)的最大值为1

C./(x)的最小值为1D./(x)的最小值为0

考点五事函数的奇偶性

1.已知幕函数〃尤)=(疗-3m+3)/是R上的偶函数，且函数8("=〃耳-2依在区间[1,3]上单调递

减，则实数。的取值范围是()

A.[3,+<x>)B.(-co,l]C.D.(-oo,l]u[3,+(»)

2.若幕函数〃x)=(疗-机-5卜”的图象关于原点对称，则实数加的值为()

A.-2B.2C.-3D.3

3.已知函数/'（》）=（疗-3利-3）/是幕函数，且“X）是奇函数，则机=.

4.已知募函数〃元）=（2疗—9帆+5）/是偶函数.

⑴求”尤）的解析式；

⑵设g（x）是定义在R上的奇函数，当*20时，g（x）=-J丽+2无，求函数g（x）的解析式.

5.已知幕函数y=x329（〃zeN*）的图象关于>轴对称，且在（0,+8）上单调递减，求满足

（a+3p<（5-2ap的a的取值范围.

ES知识导图记忆

幕函数的定义形如）口.『的函数

幕函数的概念d系数为1

幕函数的特征产的底数X是自变量

\

的指数"是常数

五个具体幕函数的图象J'♦=.,y=.,y=%T,产一

幕函数的图象与性质/五个具体幕函数的性质

一般幕函数的性质

鬲函数

当"<0时，代表函数尸L

作幕函数图像的步骤

三个代表当0<°<1时，代表函数,.=v

当。>1时，代表函数「=.\2

利用幕函数解不等式的步骤

0知识目标复核

1.募函数的定义

2.五种常见募函数的图象与性质

3.易函数恒过定点

1

1.函数/(x)=E7的单调递减区间为（)

A.(-8,0)B.(10,-Fw)C.（5.10）D.(5,+oo)

|\b=j,c=23,

2.已知4=II则（)

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

已知函数〃元）=2尤+一二对称中心在直线y=ar+Ma>0）上，则”的最小值为（）

3.

X—1

A.4^-4B.473+4C.2A/6-4D.2#+4

4.a>0”是，函数=在区间（0,+力上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4

5.函数>=/的图象是（）

6.)

B.

7.设幕函数的图象经过点（4,2）.若。则下列关系正确的是（）

A.｛）＜"＞）B.。力0侬）＜小）

C.｛）＜"6）＜（）＜（]口.|卜山）＜毛卜〃6）

8.若函数〃x）=（苏-是基函数，则实数加的值是（）

A.1或一2B.-1C.2D.—1或2

9.已知函数/（》）=1卢""2则不等式/（〃）2f（2a-l）的解集为（

)

lx—x,x＜0,

A.B.卜〃C.7,D.

a

8

_丫2IO"Y-[A/"/Y__1

"3,'一’在R上单调递增，则实数。的取值范围是（）

元’+1,尤2-1

A.B.[-1,0]C.[O,1JD.[-1,1]

11.已知函数/（*）=（疝-3加-3）/时1是幕函数，对任意的％,%«F,0）且x产%,满足

^a,bER,a+b＜0,贝|/（a）+/（6）的值（）

再-x2

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

二、多选题

12.已知〃尤）是定义在R上且不恒为0的图象连续的函数，若/（x+y）+/（x-y）=2〃x）/（y）,

"1）=0,则（）

A./（0）=0B.〃尤）为偶函数

C.4是“X）的一个周期D.TW〃x）Wl

13.已知定义在R上的函数〃x）,g（x）满足"3—x）=〃l+x）,g（2—x）+g（x）=2,

g[x+£|="2x）+1,则下列结论正确的是（）

A./(6-x)=f(6+x)B.g(x+2)=g(x)

24

C./（6-x）+/（x）=0D.Z"⑴+g（祝=48

i=l

三、填空题

14.“点P(a⑼在幕函数/(X)=(7〃+2)/图象上”的充要条件是.

15.若幕函数”x)=f,4e{-，-2,3}在(—e,—1)上是严格减函数，则后=.

16.已知幕函数/'(》)=(加-5加+5卜'I是R上的偶函数，且函数g(x)=〃x)-(24-6卜在区间[1,3]上单

调递减，则实数。的取值范围是.

17.已知ae{-若幕函数/(尤)=/是偶函数且在区间(0,+")上单调递增，则£=—.

18.已知幕函数/(X)=(2〃L3)/T,则〃-2)=—.

19.已知幕函数y=xM+2w+3(〃zeN*)的图象关于y轴对称，且在[0,+8)上单调递增，则满足

(2a+l)-m<的a的取值范围是.

四、解答题

20.已知累函数/(x)=(加-3卜加(根eR)满足/(2)</(3).

⑴求函数〃%)的解析式；

(2)若函数gM=[/(x)]2+kf(x),xe[1,9],且g(x)的最小值为0,求实数左

的值.第14讲幕函数

州内容导航一预习三步曲

第一步：学

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”「"洪教材习题学解题、快速掌握解题方法

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第三步：测

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8析教材学知识

知识点1幕函数的定义

一般地，形如y=x0（aGR）的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数.

⑤知识点25个常见幕函数的图象与性质

j_

23_—1

函数y=xy=xy=xy=x2y=x

定义域RRR{x|x^0}{xxWO}

值域R{yy三0}R{yy10}{y|yWO}

非奇非偶

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

函数

在（一8,0）

在（一8,0）

在R上单调递上单调递减，在R上单调递在（0,+°0）

单调性和（0,+8）

增在（0,+°°）增上单调递增

上单调递减

上单调递增

%

图象V

Oi234X

-1

-2

-3

过定点(0,0),(1,1)(1,1)

⑤知识点3一般幕函数的性质

5、所有的募函数在（0,+oo）上都有定义，并且图象都过点（1,1）；

6、如果a>0,那么幕函数的图象过原点，并且在区间［0,+8）上单调递增；

7、如果a<0,那么幕函数的图象在区间（0,+8）上单调递减，在第一象限内，当x从左边趋向于原点

时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于+8时，图象在x轴上方无限接近x轴；

8、在（1,+8）上，随幕指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴。

练习题讲典

解题方法

由题意可知，两个幕函数丁=》与>=’的图象如图，

y)

\Zi

/\0x

教材习题01

函数y=可以看作两个募函数/I

X

1对于函数〉=*」，定义域为(YO,0)U(0，+°°)，

丁二%与丁=-的差，请通过函数图X

X

当XW(-8,-1)时，y=x--<0,当X=_］时，

象讨论这个函数的函数值符号的变X

化情况和单调性.11

y=x——=0,当xw(—1,0)时，y=%——>0,

X

%£(-8,0)时函数y=X-'是增函数；

X

当xe(0,l)时,y=x--<0,当x=l时，

X

y=x--=Q,当％£(l,+oo)时，y=%-—>0,

X%

%w(0,+oo)时,函数y=是增函数；

X

【答案】见解析

解题方法

b=&fx=0

解：如图所示，令X，解得八或

y=-b=°

I4

卜=16

jy=4'

教材习题02

X

比较>=«和,-W在1°，”)上增长的快慢.即两个函数的图象交点为(0,0),(16,4),

开始y=4一路领先，但越来越慢；y=:匀速前

进；在x=16处两者相等.

当x>16时，可得x>4«,即一直有而且

前者与后者之比正越来越大，

4

所以y=?增长得更快.

y

>X

4

X

1

O16"X

【答案】见解析

解题方法

设募函数〃x)=/.

由已知条件得

教材习题0314

/(8)=8a=16=8x2=8x85=8§.

设〃龙)是幕函数，已知"8)=16,求”9),

44

“64).故口=§，〃x)=J，

4

于是〃9)=9§，

4

/(64)=64i=256-

4,、

【答案】49)=93，"64)=256

考点一判断函数是否是塞函数

1.下列函数中，属于幕函数的是()

A.y=(2x)2B.y=\[xC.y=-■-D.y=2"

x

【答案】B

【详解】形如y=x"(a为常数且aeR)为幕函数，要求底数为变量且系数为1,

对比选项仅有B：>=«=/符合要求.

故选：B.

2.下列函数是幕函数且是奇函数的是（）

A.y=2xB.y=x2

C.y=x^D.y=x°

【答案】C

【详解】对于A,易知不是暴函数，错误；

对于B,易知其为偶函数，错误；

,1I

对于C,由解析式可知为幕函数；〃x）=x3=艰，定义域为（f,O）U（O,y）,

又==-：=-/（X）,奇函数，正确；

对于D,易知其为偶函数，错误；

故选：C

（多选题）3.下列关于幕函数丫=/的性质，描述正确的有（）

A.当a=-1时，函数在其定义域上为减函数B.当a=0时，函数y=x"不是塞函数

C.当。=2时，函数是偶函数D.当。=3时，函数与x轴有且只有一个交点

【答案】CD

【详解】暴函数产工在（-叫。）和（0,+功上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当。=0时，函

X

数y=x"是幕函数，故3错误；y=V是偶函数，故C正确；当。=3时，函数为>当y=0时，只有

唯一解尤=0,故。正确.

（多选题）4.已知函数〃%）=岳，命题P：3XGN,/（X）=X,则第送的有（）

A.“X）为幕函数B.〃2，）=2，"

C.。是真命题D.。的否定是VxeN,〃x）=x

【答案】ABD

【详解】对选项A：若为幕函数，则〃x）=x"（a为有理数），且系数为1,而〃*）=岳=0%，

・•.〃尤）不是累函数，故A选项不正确；

对选项B：・."（x）=岳，f（2）=d2x2x=FW,故B选项不正确；

对选项C:1.-/（%）=42x,/./（2）=72x2=2,GN,/（x）=x,二。是真命题，故C选项正确；

对选项D:,命题P：3xeN,=的否定是:VxeN,了（尤）中，故口选项不正确；

故选：ABD

考点二求塞函数的定义域、值域和对应法则

（多选题）1.下列关于幕函数y=x"的性质，描述正确的有（）

A.当。=-1时，函数在其定义域上为减函数B.当。=0时，函数y=x"不是累函数

C.当。=2时，函数是偶函数D.当。=3时，函数与x轴有且只有一个交点

【答案】CD

【详解】幕函数产工在（-叫。）和（。,+功上是减函数，但是在定义域上不单调，故A错误；当。=0时，函

X

数,=/是幕函数，故3错误；是偶函数，故C正确；当，=3时，函数为y=V,当y=o时，只有

唯一解X=0,故。正确.

（多选题）2.已知函数〃力=后，命题P：3xeN,f（x）=x,则镇考的有（）

A.〃x）为寻函数B.〃2，）=2，"

C.P是真命题D."的否定是VxeN,f[x）=x

【答案】ABD

【详解】对选项A：若“X）为幕函数，则〃x）=x"（a为有理数），且系数为1,而〃。=岳=缶5,

..・/（X）不是幕函数，故A选项不正确；

对选项B：•."（%）=岳，f（2A）=72x2'=72^2X+1,故B选项不正确；

对选项C:1.1/（%）=>/2x,/（2）=^2x2=2,GN,/（x）=x,二P是真命题，故C选项正确；

对选项D:•.・命题P：EXGN,=的否定是:VxeN,/⑺♦,故D选项不正确；

故选：ABD

3.已知幕函数y=的图像经过点

（1）求此幕函数的表达式和定义域；

⑵若/（a+l）W/（4-2a）,求实数。的取值范围.

1,、

【答案】（1）〃X）=”，（0，+8）

（2）l<a<2

【详解】（1）设〃力=二,则有16jg,解得=

故/（X）=fl,其定义域为（0,+8）；

（2）由/（%）=/,则“X）在（0,+向上单调递减，

〃+1>0a>

故有<4一2〃〉0,即<。<2,即l<av2.

4+124-2。a>\

4.已知幕函数〃x）=（3疗-2m*的定义域不为R.

⑴求〃尤)的解析式；

⑵若不等式/(。+1)+/(2。-3)<0恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴f(x)=或

【详解】(1)由幕函数的定义可得3疗-2m=1,解得机=1或加=-，

若加=1,则/(x)=x的定义域为R,不符合题意,

1_1京的定义域为(-8,。)口(0,+8),符合题意,

若加=一］,贝1］/(犬)=尤3

1

所以〃尤)的解析式为〃X)

y/x

(2)由⑴得，“X)的定义域(-8,0)5。,+力)关于原点对称，且“-司=亡=-2=-〃司,

所以“X)为奇函数，

由〃。+1)+/(2。-3)<0可得〃。+1)<-〃2。-3)=〃3-2。),

因为/(x)在(-8,0)上递减且恒负，在(0,+力)上递减且恒正，

6Z+1>04+1<0

〃+1<0

所以3-2〃>0或<3-2〃<0或

3—2。>0'

。+1>3—2cl。+1〉3—2。

23

解得QV—1或

23)

所以a的取值范围为(-。,-1)口352J-

5.已知函数/(x)=x*2,且〃4)—15〃2)=16.

⑴求/'(x)的解析式；

⑵求函数g(x)=〃2x)-4x2+3在［-1,2］上的值域.

【答案】⑴

11…

⑵了，243

【详解】(1)因为〃4)一15〃2)=16,所以4”-2T5x2*2-16=0,

整理得(2吁2-16)3"-2+1)=0,即产2=16或2时2=-1(舍去)，

则加一2=4,故/(x)=、.

(2)由(1)可知，g(%)=16x4-4x2+3=16(x2)2-4x2+3=161j+2.

因为xe[-l,2],所以，£e[0,4],所以I61x2-gj+?e?,243.

故g(x)在[-1,2]上的值域为243.

考点三幕函数图象的判断及应用

1.已知幕函数〃尤)=(/+〃2-1)/的图象与坐标轴无公共点，则，”=()

A.-2B.1C.-2或1D.-1或2

【答案】A

【详解】因为〃x)为募函数，所以苏+利_1=1,

即加2+%_2=0,解得m=—2或机=1.

当机=-2时，〃x)=x-2=《，其定义域为{TXHO},图象与坐标轴无公共点，符合题意；

当机=1时，/(x)=x,其图象与坐标轴有公共点，不合题意.

综上，m=-2.

故选：A.

2.如图所示的曲线是幕函数＞=尤"在第一象限的图象，已知a取±2,±3四个值，则相对应的曲线

£,。2，。3，°4的"值依次为()

【答案】A

【详解】