平行四边形的性质（知识讲解）-2023学年八年级数学下册（人教版）

专题18.1平行四边形的性质（知识讲解）

【学习目标】

1.理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解平行四边形的性质定理；

2.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的

知识解决四边形的问题.

3.认识平行四边形对角线分得的二角形的关系及拓展关系

4.灵活运用综合运用平行四边形的性质定理进行证明和计算.

【要点梳理】

要点一、平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记

作“QABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

特别说明：

（1）平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；

（2）相对的边为对边，有两对；

（3）相邻的两角为邻角，有四对；

（4）相对的角为对角，有两对；

（5）对角线有两条.

要点二、平行四边形的性质

1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2.角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；

3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

特别说明：

（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两

角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形

三边的不等关系来解决.

要点三、平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条

平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长

度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2.平行四边形的面积：

1.平行四边形的面积=底X高；等底等高的平行四边形面积相等；

要点四、平面直角坐标系中平行四边形

【典型例题】

类型一、平行四边形的性质作图曲球线段长会企求角度金物求面积

e1.如图，在平行四边形4BCD中，4c为对角线，4c=805,AB=6,AE是△ABC

的中线.

（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高C”（保留画图痕迹）；

（2）求△ACE的面积.

【答案】（1）详见分析；（2）6

【分析】（1）连接8。，BD与AE交于点F,连接。/并延长到AB,与48交于点从

则C”为△ABC的高；根据平行四边形的性质可得6。为aAHC的中线，根据可

得AACEg△/3C。，从而得到AE=50,进而得到可得到/%=五8,再根据

线段垂直平分线的判定定理，即可求解:

(2)根据等腰三角形三线合一的性质可求得A”的长，再由勾股定理求得CH的长，

继而求得AABC的面积，又由AE是aABC的中线，求得AACE的面积.

(1)解：如图，连接BO,BD与AE交于点F,与4C交于点。，连接CF并延长到A8,

则它与人8的交点即为从

理由如下：

•:BD、AC是平行四边形A8C。的对角线，

・••点O是AC的中点，即80为△A8C的中线,

•••4E是AABC的中线，4GBe

：・C0=CE,A0=BE,

ZBAC=ZBAC,

JAACE^ABCO,

：,AE=B0,

*：AO-BE,AB-BA,

•••△A3。0△84E(SSS),

・•・NABO=NBAE,

工FA=FB,

'：AC=BC,

・・・C”是AB的垂直平分线，

・・・CH是△A6c的高；

(2)解：*：AC=BC=5,AB=6,CHA.AB,

：.AH=^AB=3,

：,S^ABC=gA^CH=yx6x4=12,

是△ABC的中线，

•••SMCK=gsj"C=6.

考点：（i）平行四边形的性质；（2）全等三角形n勺判定与性质.

（2）尺规作图：作的垂直平分线ER分别交A。，BC于点E,尸（不写作法，保留作

图痕迹）；

【答案】（1）见分析（2）见分析（3）50°

（2）根据垂直平分线的作法即可解答：

解：（1）;四边形A3c。是平行四边形，

（2）如图,E尸即为所求;

（3）B。的垂直平分线为ER

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法

和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）46

•・•点E是8边的中点，

【点拨】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定

与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.

举一反三:

AD

BC

【分析】（1）利用尺规作图画出图形，即可求解;

（1）解：如图所示，点E、尸即为所求；

【点拨】本题主要考查了平四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握平

四边形的性质，尺规作图的作法是解题的关键.

【答案】（1）见分析（2）AB=J4

类型三、平行四边形性质的应用等分面积会企作平分线会企求面积（周长）

3.如图四边形A8CO是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图:

【分析】（I）做出平行四边形的一条对角线即可；

（2）先确定对角线的交点。，然后再作过0、E的直线即可.

（1）解：如图所示，线段4C（或8。）即为所示.

AD

图1

(2)解：如图所示，直线0E即为所示.

图2

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题

的关键.

举一反三：

【变式I】探究：如图1，在。ABCD中，AC,BD交于点0,过点0的直线交A。于点

E,交B交于点尸.

(I)求证：四边形A"/与四边形/后尸。的周长相等.

(2)音线EF是否将A8C。的面积分成二等份？试说明理由.

(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P,如图2,张大爷计划

把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷

把地分开.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行

四边形的性质是解题关键.

【答案】（1）见分析；（2）见分析

【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到4C平分/D4E；

（2）依据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可得到平分NAEC.

解：（1）如图所示，连接AC,则AC平分NZME；

图1

（2）如图所示，连接AC,BD,交于点O,连接E。，则E0平分NAEC.

理由：•・•四边形4BCD是平行四边形，且AC,BD交于点0,

：,AO=CO,

又・；AE=CE,OE=OE

・：△AOEgZXCOE

・•・ZAEO=ZOEC

・・・七0平分NAKC.

【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

类型四、平面直角坐标系平行四边形性质＞♦»求坐标会会求线段长

（1）试说明点A在线段4c的垂直平分线上；

（2）在直线4c和），轴上，是否分别存在点M和点N,使得以点M,N,A,C为顶点的

四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见分析（2）点。的坐标为（1,0）或（2,3）；（3）存在，点M的坐标

284

为（4,鼻）或（2,Q）或（2,—）.

【分析】（1）由两点间的距离公式可得A8二AC从而说明结论；

（2）利用勾股定理的逆定理可知△/18c是等腰直角三角形，则点。与点A重合，利用

对称性得出点Q的另一个点的坐标为（2,3）；

（3）设M（/,-1/+2）,N（0,〃），利用中点坐标公式可得答案.

（1）解：•・•点4（1,0）,B（0,2）,C（3,I）,

：,AB=AC,

・・・点A在线段BC的垂直平分线上；

（2）解：设Q（4,y）,

■:AB=小,AC=y/5,BC=5,

•••△ABC是等腰直角三角形，

・••点。与点4重合，

J点。（1,0）,

利用时称性得出点Q的另一个点的坐标为（2,3）,

，点Q的坐标为（1,0）或（2,3）；

（3）解：•:B（0,2）,C（3,I）,

，直线8C的表达式为：y=-^x+2,

•・・M在直线8C上，N在y轴上，

设M（3-1/+2）,N（0,〃）,

①当AC、MN为平行四边形的对角线时，

2

.,.r=4,

:.M(4,1)；

②当AN、CM为平行四边形的对角线时，

"2,

Q

:.M(2,-)；

3

③当AM、CN为平行四边形的对角线时，

AM中点的横坐标为:，CN中点的横坐标为:，

22

.r-l_3

••---二-9

22

.\r=2,

4、

:.M(2,j)；

284

综上所述：点M的坐标为(4,§)或(2,§)或(2,y).

【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平

分线的判定，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

举一反三：

(1)直接写出A、8两点的坐标：

(2)如图1,若点。在y轴负半轴上，且44="C,求点石的坐标；

(3)如图2,若点C与原点。重合，于，，M为44的中点，求M〃的长.

图1图2

【分析】(1)利用非负性求出〃?、〃的值即可得到A、B两点的坐标；

(2)根据A8=8。求出。点坐标，利用平行四边形的性质和中点坐标公式即可求出点

£的坐标；

(3)根据等积法和勾股定理求出。〃和根据。〃和求出H点的坐标，再结合

M点的坐标即可求出的长.

，A(4,0),B(0,4)

(2)解：*：OB=OA=4

•・•点E是AC中点，

(3)解：・・・。与O重合，

为OA的中点，

：.OE=2,

设〃点的坐标为(x,y)则:

又・・・M为A8的中点，

(2,2)

【点拨】本题考查坐标系和几何的综合应用.本题的综合性较强，利用非负性、平行四

i力形的性质和中点坐标公式，以及勾股定理进行解题.

(1)补全图形，并写出平行四边形A8CQ各顶点坐标；

(2)平行四边形48CZ)的面积是多少？

(3)在x轴上是否存在点M,使△MB。的面积等于平行四边形A8C。的面积？若存在,

求出点M坐标：若不存在，请说明理由.

【点拨】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换'平行四边形的面积、坐标与图形,

熟练掌握平移作图是解题关键.

类型五、平行四边形性质”»折叠问题》a证明会企求线段长金曲其他

W，5.【发现与证F月】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结

论：

•••四边形48co是平行四边形,

【点拨】本题考查平行四边形的性质即三角形翻折的性质，难点在于找到两者的联系.

举一反三：

(1)求A。的长度；

B'

【分析】（1）由折叠的性质可得NAC8=ZACE,由平行线的性质可得NOAC=ZACB,

可证AE=EC,由等边三角形的性质可求解：

（2）由勾股定理求出AC的长，再证明A,B,夕三点共线，则可得出答案.

（1）解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD=3cn\,AD//BC,

：,ZDAC=ZACB,

•・•将纸片沿对角线AC对折，

/.ZACB=^ACE,

：.ZDAC=ZACE,

：,AE=EC,

•••△QEC是等边三角形，

：.DE=EC=CD=3cm,

；・AE=3cm,

.•.AZ）=6cm；

（2）•••△QEC是等边三角形，

・•・ZD=NECD=NDEC=60。,

•・•将纸片沿对角线AC对折，

•・•将纸片沿对角线4c对折，

VZ«=ZD=60°,

・•・NACB=30。，

BC=2AB=6cm,

由（1）可知AE=CE=3cm,

・•・△AEC的周长为AE+CE+AC

=3+3+36

【点拨】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等

腰三角形的判定等知识，证明AE=EC是解题的关键.

（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果.

（2）解：如图，设AE与CD的交点为产，

D

E

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判

定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况.

类型五、平行四边形性质“»最值问题》a证明曲会求最小（大）值食食其他

（I）若点N是x轴上的一个动点，直接写出线段ON的最小值：，数学依据

是：.

【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案;

（2）利用平行四边形的面积公式计算即可；

故答案为：6；

数学依据为：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

故答案为：3；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.

【点拨】本题考查了作图■平移变换、平行四边形的面积公式、点到直线的距离，熟练

掌握平移的性质是解答本题的关键.

举一反三：

【变式1】如图1,在，A8CO中，ZB=45°,过点C作CE_L4。于点E,连接AC,过

点。作。以LAC于点尸，交CE于点G,连接EF.

(1)若。G=8,求对角线AC的长；

(2)求证：AF+FG=gEF；

(3)如图2,点P是直线/W上一动点，过点人作AM上BC于点M,取线段人B的中点M

作点B关于直线PM的对称点8',连接N康，若48=10,请直接写出当N那取得最大值时

PB的长.

【分析】(1)证明△OEG0△CEA,可得结论：

(2)过E作EHLEF于点E,交。产于点”，证明△。暇7g△(7£/,可得EF=EH,

DH=CF,进而人/="G,在△EFH中FH=FG+GH=近EF,即可得结论；

解：(1).・•在。ABC。中，ZB=45°,

・•・NAOC=NB=45。，

*：CELAD,

.・.ACDE是等腰直角三角形，

:.CE=DE,NOEC=NAEC=90。，

•・•DFLAC,

・・・NC77)=NDEC=90。，

又♦:4DGE=4CGF,

:・/EDG=/ECA,

：・4DEGW4CEA(ASA),

・・・AC=OG=8；

(2)如图，过七作产于点E,交。尸于点从

•：NFEH=NDEC=90。,

,ZFEH^GEH=ZDECGEH,

J/DEH=4CEF,

•・•ZEDH=ZEC3DE=CE,

:•△DEg^CEF(ASA),

:・EF=EH,DH=CF,

：,AC-CF=DG-DH,

即AF=HG,

，：FH=FG+GH=五EF,

:・AF+FG=&EF.

(3)如图2,连接"8'、MM

VAB=10,4M8=90。，AN二BN,

,.・598'关于。河对称，

・•・当"在NM的延长线上时，N8如勺值最大，如图3,

NBMN=45。，

工ZAMP=112.5°90o=22.5°,

•・•ZBAM=ZPMA+ZAPM=45°,

/.ZPMA=ZAPM=22.5°,

：,AP=AM=5sj2f

【点拨】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确找出全等三角形解决问题，学

会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.

【变式2】如图，在平行四边形A8C。中，A4=l(),AD=\6,ZA=60°,P是射线AO

上一点，连接P8,沿P8将△APB折叠，得△AP8.

⑴如图1所示，当/川沟=10。时，NA'PB=度：

(2)如图2所示，当网_LBC时，求线段雨的长度；

(3)当点P为A。中点时，点尸是边4B上不与点A,8重合的一个动点，将^APF沿

户户折叠，得到△A，PF,连接求△8A/周长的最小值.

【答案】(1)85(2)5+56(3)2721+2

【分析】(1)根据平角的定义，翻折的性质求解即可；